Reti elettriche in corrente continua e alternata

 

 

 

Reti elettriche in corrente continua e alternata

 

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Elettrotecnica

 

Reti elettriche in corrente continua e alternata

 

Trasformazione triangolo - stella e viceversa

Con riferimento ad un circuito in corrente continua :

Trasformazione di generatori reali

I modelli di generatore elettrico si dicono reali se tengono conto delle dissipazioni di potenza e delle cadute di tensione che si hanno internamente ai generatori stessi, in tal caso il circuito equivalente presenta il parametro resistenza interna Ro. Con riferimento ai generatori reali di tensione e corrente continua si ha:

Osservazione : se in una rete elettrica è presente un generatore ideale di tensione, allora è nota la d.d.p. tra i due punti ai quali è applicato il generatore e tale d.d.p. è pari alla f.e.m. del generatore ideale di tensione. Se in una rete elettrica è presente un generatore ideale di corrente, allora è nota la corrente nel ramo in serie al quale è inserito il generatore e tale corrente è pari alla corrente impressa del generatore ideale di corrente.

Legge di Joule

Quando una resistenza elettrica è attraversata da una corrente accade che parte dell'energia elettrica potenziale posseduta dalla carica elettrica (il cui flusso costituisce la corrente stessa) si trasforma in calore (infatti il potenziale elettrico diminuisce mano a mano che la corrente attraversa la resistenza). La quantità di calore sviluppato si calcola moltiplicando la potenza elettrica per il tempo. Con riferimento ad un circuito in corrente continua (ma la cosa è analoga in corrente alternata) si ha:

Additività delle potenze elettriche

In una rete elettrica qualsiasi (purché non interconnessa con altre reti), la somma delle potenze generate dai generatori elettrici (calcolate come prodotto della f.e.m. per la corrente erogata) è sempre uguale alla somma delle potenze dissipate per effetto Joule nelle resistenze elettriche presenti nella rete.

 

Resistività e coefficienti di temperatura dei materiali più comuni: tabella

 

La tabella sottostante riporta la resistività elettrica ed il coefficiente di temperatura di alcuni materiali riferiti alla temperatura di 0 [°C]

 

 

Se servono la resistività ed il coefficiente di temperatura ad una temperatura t [°C] diversa da 0 [°C], si possono calcolare con le seguenti espressioni:

 

Risoluzione mediante i principi di Kirchhoff

In una rete elettrica, indicando con n il numero dei nodi, con m il numero delle maglie indipendenti e con r il numero dei rami, si ha sempre (r = n - 1 + m) . La risoluzione mediante i principi di Kirchhoff consiste nello scrivere un sistema di r equazioni in r incognite (le correnti nei rami). Le prime (n -1) equazioni consistono nel primo principio di Kirchhoff applicato ad (n -1) nodi, le rimanenti (r - n + 1) equazioni consistono nel secondo principio di Kirchhoff applicato a (r - n + 1) maglie indipendenti. Più maglie si dicono indipendenti se nessuna di loro è una combinazione lineare delle altre, ad esempio tutte le maglie topologicamente contigue e che non si comprendono l'una nell'altra sono sicuramente indipendenti.

Con riferimento alla rete in corrente continua riportata nella figura sottostante, si individuano quattro nodi, otto maglie delle quali tre sono indipendenti e sei rami. Quindi, dopo aver prefissato un arbitrario verso per la corrente in ciascuno dei sei rami e per l'orientamento di ciascuna maglia indipendente, scriveremo un sistema lineare di sei equazioni in sei incognite. Delle sei equazioni, tre saranno relative ai rami e tre alle maglie. Risolvendo il sistema si determineranno le intensità delle sei correnti. Se l'intensità è positiva si potrà dire che il verso prefissato è quello effettivo, diversamente il verso effettivo sarà opposto a quello prefissato.

 

 

Risoluzione mediante il metodo di Maxwell

 

Si assumono come incognite le correnti di circolazione delle maglie indipendenti che sono correnti fittizie e non rappresentano quelle che percorrono ciascun ramo della rete. Quindi, detto m il numero delle maglie indipendenti, si ha m = r - (n-1) e di conseguenza il numero delle incognite è minore di quello del metodo precedente. Il sistema risolvente si comporrà di tante equazioni, corrispondenti al secondo principio di Kirchhoff, quante sono le maglie indipendenti. Con questo metodo il primo principio di Kirchhoff risulta senz'altro verificato in quanto la corrente in ogni nodo si intende una volta entrante ed una volta uscente. La corrente in ogni ramo comune a due maglie contigue risulta la somma algebrica delle due correnti fittizie relative alle due maglie.

 

Applichiamo il metodo alla rete già risolta con Kirchhoff, assumendo quali correnti fittizie di maglia Im1 (maglia superiore di sinistra), Im2 (maglia superiore di destra), Im3 (maglia inferiore). I versi delle correnti di maglia sono stati scelti arbitrariamente. Si dovrà comporre un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite (le correnti fittizie di maglia) essendo tre il numero delle maglie indipendenti:

 

Risolvendo il sistema si determinano le tre correnti di maglia Im1 , Im2 , Im3. Per le correnti nei sei rami della rete bisogna, per prima cosa, prefissarne i versi. Supponendo che i versi siano quelli riportati nello schema elettrico, le correnti varranno:

 

I1 = -Im1 [A], I2 = -Im2 [A], I3 = +Im1-Im2 [A]

I4 = -Im3 [A], I5 = +Im1-Im3 [A], I6 = +Im2-Im3 [A]

 

Teorema del generatore equivalente di Thevenin

 

Risulta particolarmente adatto per determinare la corrente Ir che circola in un qualsiasi ramo (o la tensione Vr ai capi di esso) di una rete elettrica lineare comunque complessa. Considerata allora una rete elettrica lineare nella quale siano accessibili due morsetti P e Q qualsiasi, il teorema afferma che, per quanto riguarda il calcolo della corrente (o della tensione) relativa al ramo ad essi collegato, il resto della rete equivale ad un generatore reale di tensione avente f.e.m. Veq e resistenza interna Req :

 

Il generatore reale di tensione Veq , Req è chiamato generatore equivalente di Thevenin e la rete semplificata è chiamata rete equivalente di Thevenin.

La f.e.m. Veq del generatore equivalente è il valore della tensione a vuoto (cioè dopo aver distaccato il ramo interessato) esistente tra i morsetti P e Q.

La resistenza Req è quella della rete di partenza, resa passiva e priva del ramo interessato, vista dai morsetti P e Q. Per rendere passiva la rete di partenza bisogna annullarne i generatori, ovvero aprire i generatori ideali di corrente e cortocircuitare quelli di tensione.

 

E' importante osservare che la polarità positiva del generatore equivalente di Thevenin deve essere rivolta verso lo stesso morsetto del ramo interessato rispetto al quale si è assunta positiva la d.d.p. Veq quando questa è stata calcolata.

 

 

Teorema del generatore equivalente di Norton

E' il duale di quello di Thevenin, solo che il generatore reale equivalente, anziché di tensione, è di corrente. Esso viene chiamato generatore equivalente di Norton.

La sua resistenza interna Req si determina così come già visto per il generatore di Thevenin. La sua corrente impressa Ieq è quella corrente che, nella rete lineare di partenza, circolerebbe nel cortocircuito che unisce i punti P e Q .

E' importante osservare che il verso della corrente impressa Ieq è legato al verso col quale si è trovata la corrente nel cortocircuito che unisce i punti P e Q . Più precisamente la corrente impressa Ieq deve puntare verso P se la corrente nel cortocircuito è stata determinata col verso che va da P a Q .

 

Principio di sovrapposizione degli effetti

 

La corrente in un ramo qualsiasi (o la d.d.p. ai capi dello stesso) appartenente ad una rete elettrica lineare comunque complessa nella quale agiscono simultaneamente più generatori di tensione e/o di corrente, si ottiene facendo la somma algebrica delle correnti (o delle d.d.p.) relative al ramo considerato e dovute a ciascun generatore supposto agente da solo, con i rimanenti annullati (cortocircuitati se di tensione, aperti se di corrente).

 

Principio di Millman

 

Si applica quando la rete ha solo due nodi M ed N , cioè è costituita da rami tutti in parallelo tra di loro. Se J è il numero di rami, Vok è la f.e.m. totale per il ramo k-esimo , Rk è la resistenza totale per il ramo k-esimo , la d.d.p. fra i due nodi vale:

 

 

Nella somma algebrica a numeratore, il singolo termine è positivo se la f.e.m. Vok è tale da rendere positivo il potenziale del punto M rispetto al potenziale del punto N .

 

Caratteristica esterna e rendimento dei generatori, teorema della massima potenza trasferita

 

Caratteristica esterna di un generatore

I generatori elettrici sono macchine che trasformano energia di altro tipo in energia elettrica. Per ora ci limitiamo a considerare generatori di tensione e corrente continua, ma esistono (ed anzi sono molto più diffusi in ambito elettrotecnico) anche i generatori di tensione e corrente alternata. Il motivo per il quale esistono due diversi modelli, generatore di tensione e generatore di corrente, per la stessa macchina è dovuto al fatto che nelle applicazioni si hanno sia dispositivi che tendono a mantenere costante la tensione d'uscita al variare della resistenza dell'utilizzatore alimentato, e per essi è più opportuno come modello il generatore di tensione, sia dispositivi che tendono a mantenere costante la corrente erogata al variare della resistenza dell'utilizzatore alimentato, e per essi è più opportuno come modello il generatore di corrente.

 

Per caratteristica esterna di un generatore si intende la funzione V = f (I) ovvero la tensione d'uscita in funzione della corrente erogata.

Vediamo nel caso di generatori ideali (cioè privi di dissipazioni interne di potenza) quale è l'andamento della caratteristica esterna, allo scopo supponiamo che i generatori alimentino un utilizzatore avente una resistenza Ru che dobbiamo immaginare variabile tra ¥ [W] (funzionamento a vuoto del generatore) e 0 [W] (funzionamento in cortocircuito del generatore):

Per il generatore ideale di tensione la caratteristica esterna sarà una retta orizzontale di equazione V = Vo in quanto la sua tensione d'uscita è rigorosamente uguale alla sua forza elettromotrice, qualsiasi sia la resistenza dell'utilizzatore alimentato e quindi qualsiasi sia la corrente erogata. Per il generatore ideale di corrente la caratteristica esterna sarà una retta verticale di equazione I = Io in quanto la corrente erogata è rigorosamente uguale alla sua corrente impressa, qualsiasi sia la resistenza dell'utilizzatore alimentato e quindi qualsiasi sia la tensione d'uscita.

Passiamo ora ad esaminare il caso di generatori reali (cioè generatori per i quali si considerino i fenomeni dissipativi interni). Il circuito equivalente dei generatori dovrà ora prevedere una resistenza interna Ro grazie la quale si può tenere conto delle perdite interne di potenza. Tale resistenza verrà messa in serie nel caso del generatore di tensione (e vale zero se il generatore è ideale), mentre verrà messa in parallelo nel caso del generatore di corrente (e vale infinito se il generatore è ideale). Infatti la resistenza interna, oltre che delle perdite di potenza, dovrà pure tenere conto della diminuzione della tensione d'uscita all'aumentare della corrente erogata per il generatore reale di tensione e della diminuzione della corrente erogata all'aumentare della tensione d'uscita per il generatore reale di corrente.

 

 

Vediamo la discussione nel caso del generatore reale di tensione, il caso del generatore reale di corrente è del tutto analogo.

L'equazione della caratteristica esterna V = f (I) si determina applicando la legge di Ohm al tronco di circuito comprendente il generatore:

V = Vo - Ro·I

si tratta dell'equazione di una retta sul piano cartesiano (I,V) avente pendenza negativa, la pendenza è tanto più accentuata quanto più è grande la resistenza interna del generatore. L'intersezione con l'ordinata rappresenta il punto di funzionamento a vuoto essendo nulla la corrente erogata, quindi con resistenza dell'utilizzatore di valore infinito, e la tensione d'uscita è in tal caso pari alla f.e.m. del generatore. L'intersezione con l'ascissa rappresenta il punto di funzionamento in cortocircuito essendo nulla la tensione d'uscita, quindi con resistenza dell'utilizzatore di valore nullo, e la corrente erogata è in tal caso uguale a:

 

V = 0 Þ Icc = Vo / Ro

Per una generica condizione di funzionamento del generatore si avrà una tensione d'uscita che risulterà inferiore alla f.e.m. del generatore stesso di una quantità pari a Ro·I che rappresenta la caduta di tensione interna al generatore dovuta alla sua resistenza interna.

Viene chiamata retta di carico l'equazione corrispondente alla legge di Ohm applicata all'utilizzatore, ovvero:

 

V = Ru·I

Sul piano cartesiano (I,V) tale equazione rappresenta una retta passate per l'origine ed avente pendenza positiva. Se i due assi hanno il medesimo fattore di scala, risulta essere:

tg(a) = Ru

 

quindi la retta di carico coincide con l'ascissa se Ru = 0, coincide con l'ordinata se Ru = ¥. Il punto di intersezione tra la caratteristica esterna e la retta di carico individua il punto di lavoro del sistema formato dal generatore e dall'utilizzatore, ovvero la coppia di valori (I,V) che soddisfa il sistema elettrico complessivo.

Rendimento elettrico di un generatore

Data una qualsiasi macchina si definisce rendimento h il rapporto tra la potenza erogata Pe e la potenza assorbita Pa. Siccome ogni macchina reale è inevitabilmente sede di perdite di potenza Pd, risulterà la potenza erogata sempre inferiore alla potenza assorbita e quindi il rendimento sarà sempre inferiore all'unità:

Per un generatore elettrico si definisce rendimento elettrico h_E il rapporto tra la potenza elettrica erogata Pe e la potenza elettrica generata Pg:

 

 

Naturalmente il termine (Ro·I²) rappresenta le perdite di potenza per effetto Joule sulla resistenza interna del generatore. Abbiamo considerato un generatore reale di tensione, per quello di corrente valgono considerazioni analoghe.

Teorema della massima potenza trasferita

Vediamo, sempre per il generatore reale di tensione, come varia la potenza erogata in funzione della resistenza dell'utilizzatore. Allo scopo è necessario studiare la funzione Pe = f(Ru):

 

Si osserva che per Ru = 0 risulta essere Pe = 0, inoltre per Ru tendente ad infinito di nuovo Pe tende a zero, infine Pe assume valori sempre positivi. Quindi la funzione Pe = f(Ru) ha un andamento a campana e si potrebbe dimostrare che il massimo della campana si ha quando Ru è uguale a Ro:

Ponendo nell'equazione Pe = f(Ru) al posto di Ru la Ro si ottiene l'espressione della massima potenza erogabile dal generatore:

Per quanto riguarda il rendimento elettrico in coincidenza della condizione Ru = Ro di massima potenza erogata si ha:

 

 

Si può quindi enunciare il seguente teorema della massima potenza trasferita:

se una rete elettrica (o un generatore reale) alimenta un'altra rete (o un carico) si ha il massimo trasferimento di potenza quando la resistenza di uscita della rete alimentante (o la resistenza interna del generatore) è uguale alla resistenza d'ingresso della rete alimentata (o alla resistenza del carico), si suole dire allora che il carico è adattato in potenza. In queste condizioni il rendimento vale 0,5 e, quindi, il problema dell'adattamento è particolarmente sentito nei circuiti a basso livello di potenza (telefonia, telegrafia, ecc.) e non in quelli ad alto livello di potenza tipici delle applicazioni industriali dell'elettrotecnica.

 

Fonte: http://www.itiscopernicofe.it/itis/didattic/matdid/3H/3%5EH-Elettrotecnica.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

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