Cinematica

 


Cinematica

 

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Nozioni fondamentali di Cinematica

 

  • Mobile: qualsiasi oggetto o corpo che  è in grado di muoversi
  • Posizione di un oggetto: è il punto nello spazio da esso  occupato; si indica con la lettera S seguita dalle tre coordinate oppure dalla lettera “t” quando cambia nel tempo, S(x;y;z;) oppure S(t). E’ specificata senza possibilità di errori  quando dello oggetto si danno le sue coordinate (3 nello spazio,2 nel piano,1 sulla retta).
  • Traiettoria: è la linea continua che unisce tutte le posizioni (punti dello spazio) attraverso le quali un oggetto in movimento è passato.
  • Punto Materiale: E’ una semplificazione di un corpo esteso (e mobile) considerato però come un punto geometrico, cioè privo di dimensioni, ed individuabile univocamente (cioè senza possibilità di errore) per mezzo solo di tre coordinate (invece che infinite), e dotato di massa. Tutti i corpi estesi possono essere considerati come punti materiali quando gli spostamenti che compiono durante il loro moto sono molto più grandi delle loro dimensioni (almeno 100 o 1000 volte).
  • Sistema di Riferimento: E’ l’insieme di una terna di assi cartesiani mutuamente ortogonali, di un metro (per misurare le distanze percorse) e di un orologio (per specificare l’istante di tempo al quale la posizione è stata rilevata).

 

 

 

  • Spostamento: è la variazione di posizione di un mobile; si indica con la combinazione di caratteri DS = variazione di posizione = Posizione finale – Posizione iniziale = S(tfin)-S(tin)

Moto uniforme: è il moto di un mobile che compie spostamenti uguali in intervalli di tempo uguali.


Moto rettilineo: è il moto di un mobile la cui traiettoria è una linea retta.
Moto rettilineo uniforme: è il moto di un mobile che risulta simultaneamente rettilineo ed uniforme.

Velocità: grandezza fisica che fornisce informazioni (quantifica) sugli spostamenti percorsi da un mobile al trascorrere del tempo. E’ calcolabile come rapporto tra lo spostamento percorso e l’intervallo di tempo impiegato a percorrerlo:     v = DS/Dt
Nel S.I. l’unita di misura della velocità è data da: [v] = [DS]/[Dt]
In base alla definizione data di velocità un moto si può dire uniforme,in moto equivalente, quando la velocità del mobile è costante nel tempo:

 


MOTO UNIFORME a VELOCITA COSTANTE

Legge del moto o legge oraria: è una legge matematica, una tabella o un grafico che consente di determinare la posizione del mobile S al trascorrere del tempo,cioè istante per istante .
Delle tre modalità nelle quali può essere data la legge del moto la più completa è sicuramente la legge matematica perchè da essa è sempre possibile ricavare sia la tabella che il grafico mentre non sempre è possibile il contrario. Insieme alla legge V(t) che fornisce la variazione della velocità al trascorrere del tempo, rappresenta il massimo dell’informazione che è possibile avere sul moto di un mobile.

 

 

Legge del Moto Rettilineo Uniforme:
Tale moto rappresenta il modo più semplice per iniziare lo studio della cinematica poiché rappresenta il moto più semplice da descrivere. In esso infatti è sufficiente un'unica coordinata per determinare la posizione del mobile ed inoltre la legge V(t) non cambia nel tempo ed è una semplice costante dimensionale. A partire proprio da tale condizione, impiegando la definizione stessa di velocità è possibile ricavare con semplici passaggi matematici la legge del moto rettilineo uniforme:
   ®   DS = v0 * Dt   ®   Sfin – Sin = v0 * (tfin – tin)   ®   Sfin = Sin + v0 * (tfin – tin), oppure, come è generalmente riportato nei testi di Fisica:
S(t) = S(t0) + v0 * (t – t0)

dove:   S(t) = posizione all’istante t (generico)
S(t0) = posizione all’istante t0 (nota)
                t0 = istante di tempo “iniziale” (noto)
                v0 = velocità costante del mobile (nota)
t = istante generico al quale si intende calcolare la posizione del mobile S(t)

Conoscendo t0, S(t0) e v0 è possibile calcolare la posizione del mobile in qualsiasi altro istante di tempo t, futuro ma anche passato ( cioè precedente a t0):
s(t0)                                         S(t)
                        0m                              5m                                          11m                                        S(m)
S(t)
3s                                            7s                                            t(s)

(Esempio di calcolo, automatizzato, di cinque diversi moti uniformi)

 

Moto vario
Il moto di un mobile che si muove a velocità non costante (in almeno una delle tre proprietà del vettore, modulo, direzione o verso), si dice  moto vario. Esso rappresenta il moto più complicato da studiare e descrivere e per tale motivo generalmente fra tutti i possibili moti vari si preferisce iniziare con lo studio di un moto vario semplice, il moto rettilineo uniformemente accelerato. Prima di ciò è necessario però introdurre alcune nuove definizioni cinematiche.
Quando la velocità varia nel tempo risulta spesso difficile se non impossibile specificarla istante per istante (V(t));per tale motivo è in genere possibile dare una prima informazione ,meno dettagliata, circa la velocità del mobile, la sua velocità media.


Velocità media
Si definisce velocità media il rapporto fra lo spostamento totale compiuto dal mobile in un certo intervallo di tempo e l’intervallo di tempo stesso:

La velocità media, pur non essendo la velocità del mobile istante per istante, né talvolta la velocità assunta dal mobile in alcun momento, rappresenta comunque un informazione valida perché risulta essere, in pratica , la velocità che un altro mobile avrebbe dovuto mantenere in modo costante, nello stesso intervallo di tempo, per compiere lo stesso spostamento totale (e giungere quindi nella stessa posizione finale nello stesso istante, cioè contemporaneamente al mobile che si è mosso di moto vario).


Velocità istantanea
Per aumentare l’informazione sulla velocità del moto l’unica possibilità praticabile è suddividere l’intervallo di tempo totale impiegato in intervalli di tempo più piccoli e calcolare in ognuno di essi la velocità media con la quale il mobile si è mosso. Maggiore sarà il numero delle suddivisioni maggiore sarà l’informazione disponibile, a prezzo però di una maggiore quantità di informazioni ed elaborazioni necessaria. Portando alle estreme conseguenze questo ragionamento si intuisce che il massimo delle informazioni si ottiene considerando intervalli di tempo piccolissimi, praticamente prossimo a 0. In effetti in tal modo si arriva alla definizione operativa di velocità istantanea, che è calcolabile come rapporto tra lo spostamento effettuato e l’intervallo di tempo impiegato quando quest’ultimo tende a 0:

 

Moto uniformemente accelerato
Dal momento che il moto vario non è così semplice da studiare e descrivere come il moto rettilineo uniforme è lecito chiedersi se tra tutti gli infiniti possibili moti vari ne esiste qualcuno più semplice da descrivere.
In realtà è possibile rispondere affermativamente a questa domanda considerando che, se in un moto vario la velocità non è più costante come nel moto uniforme, ma varia istante per istante, è possibile che essa vari non in modo casuale ma in un modo ben preciso.
Esiste infatti un moto vario più semplice degli altri perché in esso il mobile viaggia ad una velocità che non varia a caso ma a parità di intervallo di tempo aumenta (o diminuisce) sempre della stessa quantità; si può per esempio considerare un mobile la cui velocità aumenti sempre di 3 m/s al trascorrere di ogni secondo, per cui, se per esempio parte da fermo, dopo il I° secondo raggiunge una velocità di 3 m/s, dopo il II° secondo raggiunge una velocità di 6 m/s, dopo il III° 9 m/s e così via.
Dal punto di vista matematico ciò si esprime dicendo che la velocità sta aumentando linearmente nel tempo.
Per esprimere concisamente tale particolare moto è necessario però a questo punto introdurre una nuova grandezza cinematica che consente di descrivere esattamente come la velocità varia nel tempo, l’accelerazione.
Si definisce accelerazione la grandezza fisica che quantifica le variazioni di velocità al trascorrere del tempo.


Si definisce operativamente come rapporto tra la variazione di velocità Dv del mobile e l’intervallo di tempo in cui tale variazione Dt è avvenuta:

Passando alla sua equazione dimensionale è possibile ricavare la sua unità di misura nel S.I.:

In base alla definizione data di accelerazione si può ora affermare che un moto in cui la velocità del mobile cresce linearmente nel tempo è necessariamente un moto ad accelerazione costante (nel tempo); se infatti la velocità varia sempre della stessa quantità Dv a parità di intervallo di tempo Dt il rapporto Dv/Dt deve necessariamente essere sempre lo stesso qualsiasi Dt si consideri, e quindi:

 


Moto uniformemente accelerato Û

 

Legge oraria della velocità del moto uniformemente accelerato
In un moto uniformemente accelerato è allora semplice ricavare la legge oraria della velocità v(t), cioè la legge che permette di calcolare la velocità del mobile al trascorrere del tempo (istante per istante). Dal punto di vista matematico è lo stesso calcolo eseguito per la legge del moto uniforme; si parte dalla condizione appena ricavata sulla accelerazione:
   ®   Dv = a0 * Dt   ®   vfin – vin = a0 * (tfin – tin)   ®   vfin = vin + v0 * (tfin – tin)
o, come usualmente, si scrive:
v(t) = v(t0) + a0 * (t – t0)

dove:   v(t) = velocità all’istante t
v(t0) = velocità all’istante t0 (nota)
                t0 = istante di tempo “iniziale” (noto)
                a0 = accelerazione costante del mobile (nota)
t = istante generico al quale si intende calcolare la velocità del mobile S(t)

 


Moti nel piano e nello spazio
Quando un mobile non effettua moti rettilinei (unidimensionali) ma si muove nel piano o nello spazio le grandezze cinematiche fondamentali finora studiate, spostamento, velocità ed accelerazione, sono da ridefinire necessariamente in forma vettoriale e questo comporta ovviamente una maggiore difficoltà nella loro definizione e determinazione.
Innanzitutto è da considerare infatti che già la posizione del mobile non è più esprimibile attraverso una singola coordinata ma tramite due o tre (moto nel piano e nello spazio rispettivamente) e questo comporta che in realtà vanno calcolate  due o tre leggi del moto, una per ogni coordinata del mobile: Sx(t), Sy(t) e Sz(t) e analogamente per la legge oraria della velocità e dell’accelerazione: v(t) e a(t).

 

  • Spostamento: generalizzando la definizione adottata nel moto rettilineo (come variazione di posizione), è definibile come il vettore che ha come modulo la distanza tra la posizione finale e quella iniziale, come direzione la retta passante per i due punti dello spazio che specificano le due posizioni del mobile e come verso quello che va dalla posizione iniziale e finale del mobile
  • Velocità: per tale grandezza è necessario distinguere tra il vettore velocità media e quello velocità istantanea poiché hanno generalmente direzione, modulo e verso distinti, eccetto che nel caso del moto rettilineo uniforme, in cui coincidono:

Velocità media: generalizzando al caso tridimensionale la definizione data nel moto rettilineo () ne consegue necessariamente che il vettore velocità media ha direzione e verso coincidenti con quelli del vettore spostamento totale e modulo pari al rapporto tra il modulo di quest’ultimo vettore e l’intervallo di tempo totale impiegato a percorrere tale spostamento:

 

Velocità istantanea:

 

 

Moto circolare: si definisce moto circolare quello di un mobile la cui traiettoria è una circonferenza.
Moto circolare uniforme:si definisce moto circolare uniforme quello di un mobile la cui traiettoria è una circonferenza e il cui modulo della velocità è costante nel tempo:

In tal caso la velocità istantanea del mobile risulta non costante per quanto attiene la direzione ed il verso.


Per un moto circolare uniforme si definisce periodo T di rivoluzione l’intervallo di tempo che il mobile impiega a percorrere l’intera circonferenza.
Per un moto circolare uniforme è abbastanza semplice calcolare il modulo del vettore velocità; basta infatti considerare come spostamento una circonferenza completa e come intervallo di tempo il periodo T di rivoluzione del mobile:

 

fonte: http://www.ipsiaformia.it/documenti/DidaMat/Russo/Nozioni%20fondamentali%20di%20Cinematica.doc
Autore: Russo

 


 

Cinematica

CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE I
Si occupa di dare un descrizione quantitativa degli aspetti geometrici e temporali del moto indipendentemente dalle cause che lo producono.

  • Il moto di un punto risulta completamente determinato quando se ne conoscono:
    • Legge oraria del moto P = P(t)
    • Traiettoria:
      • Curva che rappresenta il luogo dei punti descritti dal punto materiale: y= y(x)

 

  • Il compito della cinematica consiste nel determinare le espressioni del vettore velocità, vettore accelerazione, forma della traiettoria.

Descrizione cartesiana del moto

  • Caso unidimensionale (lineare)
      • Moto di un punto su una retta

 

  • Vettore posizione x
    • individua la posizione di un punto sulla traiettoria ( retta)
  • Vettore spostamento Dx = xf-xi
    • individua lo spostamento di un punto tra due istanti t1 e t2.
  • Vettore velocità
    • Velocità media       vm = Dx/Dt
      • Pendenza della curva x-t
    • Velocità istantanea  v = limDtà0Dx/Dt = d/dt x
      • Tangente della curva x-t

 

  • Vettore accelerazione
    • Dv = v1 - v2 variazione di velocita' tra due istanti t1 e t2
    • Accelerazione media  am = Dv /Dt
    • Accelerazione istantanea a = limDt à 0 Dv /Dt = dv/dt = d2x/dt2
      • Tangente della curva vx-t
      • Concavità della curva x-t

CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE II
Moto in due e tre dimensioni.

  • Descrizione vettoriale e cartesiana

 

    • Vettore posizione r  individua la posizione di un punto sulla traiettoria
    • Vettore spostamento Dr = r2 - r1  individua lo spostamento di un punto tra due istanti t1 e t2.
    • Vettore velocità media    vm = Dr /Dt
    • Vettore velocità istantanea  v = limDt à 0 Dr /Dt = d/dt r (tangente alla traiettoria)
      • Tramite le coordinate cartesiane:
        • r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k
        • v = vx i + vy j + vz k = (dx/dt) i + (dy/dt) j + (dz/dt) k

 

    • Vettore accelerazione
    • Dv = v2 – v1 variazione di velocità tra due istanti t1 e t2
    • Accelerazione media am = Dv /Dt
    • Accelerazione istantanea a = limDt à 0 Dv /Dt
      • Tramite le coordinate cartesiane:
        • r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k
        • v = ax i + ay j + az k  

= (dvx/dt) i + (dvy/dt) j + (dvz/dt) k
= (d2x/dt2) i + (d2y/dt2) j + (d2z/dt2) k

 
Fonte: http://www.fe.infn.it/~lenisa/2008_1/lezioni/cinematica_lez_1.doc
Autore: non indicato nel documento di origine

 

CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE III

  • Significato geometrico dell'accelerazione


Dv = v1 - v = Dvt + Dvc

a = limDt à 0 Dvt /Dt + limDt à 0 Dvc /Dt = at + ac
at = lim Dt à 0 dvs /dt = d2s/dt2 t
Ds = a R à Dvc = v a = v Ds/R
ac = lim Dt à 0  Dvc/Dt = v2/R Dv/Dt = v2/R n

Il vettore accelerazione è dato dalla somma di due termini che individuano:

  • variazioni di velocità in modulo (acc. tangenziale)
  • variazioni di velocità in direzione (acc. centripeta).

 

 


CINEMATICA ROTAZIONALE

Analoga alla cinematica del punto materiale:
definisce le grandezze che utilizzeremo per descrivere il moto.

    •  Definizione parametri (analoghi a s, v, a del moto rettilineo)

 

      • Posizione angolare:            q = s/r
      • Velocità angolare:             w = dq/dt
      • Accelerazione angolare:    a = dw/dt
  • q (spostamenti angolari finiti) non sono vettori perché non godono della proprietà commutativa dell’addizione

 

  • w, a invece sono grandezze vettoriali: è quindi necessario definirne direzione e verso. (Caso del corpo rigido à regola mano destra)
  • Relazione tra grandezze angolari e lineari (r = distanza dall’asse di rotazione)

 

    • v = ds/dt = r dq/dt    = r w
      • notazione vettoriale: v = w x r
    • at = dv/dt = r dw/dt = r a. (accelerazione tangenziale)
    • ar = v2/r                     = rw2 (accelerazione centripeta)
  • Moto angolare uniformemente accelerato:
      • w = w0 + at (a costante)
      • q = q0 + wt +1/2 at2

 

MOTO ARMONICO SEMPLICE

Moto del punto P proiezione su un qualunque diametro di un punto P che si muove di moto circolare uniforme.

  • x(t) = R cos (wt + d)

 

    • d fase iniziale (fase dell'oscillazione per t=0)  radianti)
    • R  ampiezza (il punto si muove tra x = R e x = -R)

(metri)

    • w = 2p/T   pulsazione  (radianti/sec)

 

    • T = 2p/w periodo (intervallo più breve per il quale il moto si ripete) (secondi)
    • n = 1/T frequenza (numero di cicli nell'unità di tempo)

cicli/sec (Hertz)

  • vx = dx/dt = -w R sen (wt + d)

 

  • ax = d2x/dt2 = dvx/dt = -w2R cos(wt +d)
  • equazione del moto armonico:

 


CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO
Un corpo (sistema di punti materiali) si dice rigido o indeformabile quando si mantiene inalterata nel tempo la distanza tra una coppia di punti comunque scelti.

I tipi di moto di corpo rigido sono:

 

  • Moto traslatorio

Il segmento orientato relativo ad un qualunque coppia di particelle si mantiene costante in modulo ed orientamento

  • Le particelle descrivono traiettorie uguali ottenibili l'una dall'altra per traslazione
  • Ad ogni istante tutti i punti del sistema possiedono la stessa velocità e la stessa accelerazione
  • Moto rotatorio

Il moto di un corpo rigido si dice rotatorio attorno ad un asse se le posizioni di due dei suoi punti si mantengono inalterate nel tempo

  • Ogni particella del sistema descrive una circonferenza il cui centro giace sull'asse di rotazione
  • Moto rototraslatorio

Scelto in modo arbitrario un punto A il moto più generale del sistema consiste in una traslazione con velocità vA ed in una successione di rotazioni elementari con velocità w attorno agli assi di istantanea rotazione passanti per A.

  • La velocità di un generico punto P e' uguale alla somma della velocità di traslazione del punto A e della velocità lineare che compete a P nel moto relativo di rotazione:

 


CENNI DI CINEMATICA RELATIVA
Si propone di studiare le grandezze cinematiche del moto di un corpo puntiforme da sistemi di riferimento diversi.

Caso 1: il riferimento O' si muove di moto traslatorio rettilineo rispetto al riferimento fisso.

  • Legge degli spostamenti:

r(O) = vO t + r (O')

  • Legge delle velocità

va = v0 + vr
va = v(O)        velocità assoluta (rispetto riferimento fisso)
vr = v(O')        velocità relativa (rispetto riferimento mobile)
v0 =             velocità di trascinamento (riferimento mobile rispetto a quello fisso)

  • Legge delle accelerazioni

aa = a0 + ar
aa = a(O)               acc. assoluta (rispetto riferimento fisso)
a0 =                 acc. di trascinamento (rif. mobile rispetto a quello fisso)
ar = a(O')            accelerazione relativa (rispetto riferimento mobile)

 

Caso particolare importante: se due sistemi di riferimento si muovono di moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro si ha a0= 0 à aa = ar
(sistemi di riferimento inerziali o galileiani).

Caso 2: il riferimento mobile si muove di moto generico rispetto al sistema di riferimento fisso

  • Legge delle accelerazioni

aa = a0 + ar+ acc
acc          accelerazione complementare o di Coriolis

acc   = 2 v x w0

 

fonte: http://www.fe.infn.it/u/lenisa/2007/lezioni/cinematica_lez_2.doc
Autore: non indicato nel documento di origine

 

Cinematica
Nello studio della cinematica ci occuperemo del moto dei corpi in funzioni del tempo. Trascureremo le le loro dimensioni, ogni corpo sarà studiato come punto materiale.
Si chiama traiettoria di un punto materiale la curva descritta da esso al variare del tempo.
Ogni volta che si studia un fenomeno, si fissano opportuni riferimenti cartesiani e un opportuna origine., che possono essere a tre dimensioni xyz, a due dimensioni x-y se il fenomeno si svolge in piano,  o a una dimensione se  la traiettoria è rettilinea.
Ad ogni traiettoria si può associare, con buona approssimazione,   un grafico e quindi  un equazione o legge matematica.
La geometria analitica ci aiuta ad stabilire una corrispondenza biunivoca tra grafici e equazioni algebriche.
Si chiama posizione del punto rispetto agli assi cartesiani, le coordinate di tale punto.
Si chiama spostamento del punto da una posizione ad un’altra, il vettore che unisce  la posizione iniziale a quella finale
Si chiama spazio percorso dal punto materiale,  la somma dei moduli degli spostamenti del punto.
In caso di traiettorie curvilinee,
Traiettoria rettilinea.
Sia dato un punto materiale P, ed esso si muova descrivendo una traiettoria rettilinea.  Descriviamo il fenomeno lungo un’asse x (oppure  s)
Fissiamo un origine e un verso , e un una unità  ( metro nel  S.I.) alla retta orientata.

Da quando parte il fenomeno  assegnamo un tempo t.  All’inizio del fenomeno assegnamo il tempo t=0.
Ad ogni istante t, il corpo assumerà una posizione s , rispetto all’origine.
Si chiamerà legge oraria la legge che regola la posizione s rispetto al tempo t   s=s(t).
La legge oraria sarà rappresentata in opportuno grafico cartesiano t-s, chiamato grafico orario.

Sia P un punto materiale che si trova in un tempo t1 nel posizione s1 e al tempo t2 nella posizione s2 .
Si definisce velocità media, relativa all’intervallo t1 t2 :  
Si definisce velocità istantanea , relativa all’istante t1 :  il rapporto     quando t2 tende a t1.          
In grafico s-t  la velocità media vm relativa all’intervallo  t1 t2 .corrisponde alla pendenza m  della corda  P1P2
Quando t2 tende a t1 , P2 tende a P1 e in coefficiente angolare di P1P2 tende coefficiente angolare  della retta tangente nel punto P1.

Fonte: http://www.liceoalatri.it/personale/terza/fisica/cinematica.doc
Autore: non indicato nel documento di origine del testo

 

Cinematica
 
La cinematica ha per oggetto le proprietà geometriche del movimento; comprende pertanto la cinematica del punto e la cinematica dei sistemi rigidi. D'Alembert riconobbe l'importanza di questa parte della meccanica come scienza distinta, e Ampère per primo mostrò la necessità di formulare una teoria geometrica a fondamento della dinamica. La descrizione del movimento di un punto o di un sistema avviene individuandone la posizione in ogni istante, cioè determinando il modo di variare nel tempo della sua configurazione nello spazio. A questo scopo è necessario innanzi tutto assegnare un ente di riferimento rispetto al quale descrivere il moto: anzi il concetto stesso di moto o di quiete richiede che si stabilisca l'oggetto rispetto al quale il corpo considerato risulta in moto o in quiete. Nella cinematica classica viene assegnato solo il sistema di riferimento spaziale rispetto al quale è descritto il moto, mentre il tempo è assunto come un parametro universale, indipendente dal sistema di riferimento spaziale; la cinematica relativistica ha superato questa impostazione e ha stabilito un nuovo significato della variabile tempo, che risulta strettamente legata alla posizione nello spazio, attraverso una mutata definizione operativa dei concetti di simultaneità, futuro, passato. Le leggi formulate dalla cinematica classica e relativistica devono quindi soddisfare esigenze diverse, poiché dipendono da concezioni diverse del sistema di riferimento: nel caso classico, si richiede che esse abbiano la stessa formulazione quando siano espresse in sistemi di riferimento che si muovono di moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro, ma per i quali il tempo è lo stesso. Per le proprietà di invarianza richieste dalla teoria relativistica.
v Cinematica del punto
Tutte  le volte che le dimensioni del mobile sono praticamente trascurabili rispetto a quelle della regione entro cui si svolge il movimento, conviene trattare il corpo stesso come un punto. Questa parte della cinematica studia quindi il caso ideale di un punto mobile e si propone di determinare la funzione P = P(t) che individua la posizione del punto P in ogni istante di tempo t, rispetto a un sistema di riferimento assegnato (per la formulazione analitica della teoria, si usano quasi sempre sistemi di riferimento cartesiani, oppure coordinate polari o cilindriche). Il luogo delle posizioni occupate dal punto nello svolgersi del tempo è la traiettoria, che può essere o rettilinea o curvilinea; nel caso particolare in cui sia contenuta in un piano, il moto si dice piano. Per caratterizzare il moto è necessario anche descrivere il modo in cui la traiettoria è percorsa durante il tempo: se s è la lunghezza del tratto di traiettoria percorso, interessa la sua dipendenza dal tempo, espressa dalla funzione s = s(t) (equazione del movimento sulla traiettoria o equazione oraria). Quando lo spazio percorso non cresce in modo costante nel tempo, occorre anche precisare la legge della sua variazione: si introduce così il concetto di velocità; quest'ultima è una grandezza vettoriale definita dalla relazione

essendo P = P(t) l'equazione del moto del punto P. Poiché anche la velocità può variare nel tempo, si introduce l'accelerazione

che serve a caratterizzare ulteriormente il moto. Tanto la velocità quanto l'accelerazione sono direttamente connesse a proprietà geometriche della traiettoria: la velocità è sempre un vettore tangente a quest'ultima, mentre l'accelerazione ha una componente tangenziale (che si annulla per tutti i moti uniformi, cioè con velocità di modulo costante, qualunque sia la forma della traiettoria descritta) e una componente lungo la normale principale (detta accelerazione centripeta), la cui grandezza è legata al raggio di curvatura della traiettoria. Le leggi P = P(t), v= v(t), a = a(t) caratterizzano i diversi tipi di moto: moto rettilineo, rettilineo uniforme, uniformemente accelerato, centrale, armonico, ecc. In particolare, la cinematica ha potuto studiare completamente il caso del moto dei gravi (moto naturalmente accelerato, con un'accelerazione costante, che è l'accelerazione di gravità) e i moti centrali, classe in cui rientrano i moti dei pianeti, le cui proprietà sono state definite dalle leggi di Keplero. Infatti, la descrizione delle caratteristiche della traiettoria non richiede l'intervento esplicito di alcuna ipotesi sulla natura della forza che determina il moto (il cui esame rientra piuttosto nella teoria della gravitazione, appartenente alla dinamica).
v Composizione di movimenti
Molto  spesso accade di dover considerare un mobile soggetto a più movimenti contemporaneamente (moti componenti); il moto risultante del mobile è in ogni istante determinato dalla composizione degli spostamenti che - fino a quello stesso istante - il mobile avrebbe subito per azione di ciascuno dei moti componenti. Tale proprietà (principio della composizione dei movimenti, determinato sperimentalmente da Galileo) ha una chiara rappresentazione grafica nella somma vettoriale degli spostamenti: nel caso ad esempio di due moti componenti, se s1(t) e s2(t) sono gli spostamenti che il punto P subirebbe nel tempo t a partire dalla posizione iniziale Po sotto l'azione dei due singoli moti, allora per effetto del moto risultante il suo spostamento è s(t) = s1(t) + s2(t). Inoltre nella cinematica classica la velocità del moto risultante è anch'essa la somma vettoriale delle velocità dei moti componenti.
v Cinematica dei sistemi rigidi
Un  sistema rigido è per definizione un insieme di punti materiali tale che la distanza tra due suoi punti qualunque, considerati macroscopicamente, si mantiene costante comunque si muova il sistema. I corpi solidi possono ritenersi rigidi in prima approssimazione, fino a che non si debba tenere conto delle deformazioni che essi subiscono se sollecitati da pressioni e trazioni. Per caratterizzare il moto di un sistema rigido occorre in genere individuare sia la posizione di un suo punto rispetto a un sistema fisso sia la posizione di ogni altro punto rispetto a quello: a questo scopo si assegna anche un sistema di riferimento (in genere, assi cartesiani ortogonali) che si muova solidalmente con il sistema, e rispetto al quale è individuata la posizione di ogni punto del sistema. Casi particolarmente interessanti dei moti dei sistemi rigidi sono il moto traslatorio (in cui il segmento che congiunge due punti qualunque si sposta mantenendosi parallelo a se stesso) e il moto rotatorio assiale, in cui rimangono fissi tutti i punti di una retta (asse di rotazione), mentre ogni altro punto descrive una traiettoria circolare in un piano normale all'asse. Anche per i sistemi rigidi si può estendere la composizione dei movimenti: nel moto composto, o risultante, ogni punto del sistema ha in ogni istante dell'intervallo di tempo considerato la velocità risultante dalla composizione vettoriale delle velocità che a esso competono - nello stesso istante - per ciascuno dei moti componenti. La cinematica dei sistemi ha permesso di stabilire che il più generale moto rigido può essere espresso in ogni istante come composizione di un moto traslatorio e un moto rotatorio attorno a un asse istantaneo di rototraslazione (moto istantaneo di rototraslazione, o atto di moto rototraslatorio).
In particolare interessano i moti rigidi piani: sono tali i moti rigidi in cui ogni punto descrive una traiettoria piana; si possono perciò studiare come moti di una figura piana (che può essere per esempio una sezione del corpo) su un piano assegnato. Anche per essi il caso più generale è una composizione di un moto rotatorio e uno traslatorio: esiste sempre un punto che è polo o centro istantaneo di rotazione (e corrisponde all'intersezione con il piano considerato dell'asse istantaneo di rotazione introdotto nel caso generale). Consideriamo particolarmente il caso di una pura rotazione istantanea (nella traslazione, tutte le traiettorie dei punti del sistema sono parallele); poiché il punto che è centro istantaneo di rotazione varia all'interno del sistema (cioè in tempi diversi punti diversi sono poli istantanei) e d'altra parte esso si sposta sul piano fisso, interessa considerare due traiettorie polari: il luogo delle posizioni assunte dal polo C sul piano fisso (curva polare fissa o base) e il luogo dei punti del piano del sistema mobile che in ogni istante sono centro di rotazione (curva polare mobile o rulletta). Una delle proprietà fondamentali del moto rigido piano si esprime dicendo che la rulletta rotola senza strisciare sulla base: le due curve sono tangenti in ogni istante di tempo. Tra i moti rigidi piani, interessano particolarmente i moti cicloidali, in cui entrambe le traiettorie polari sono circolari; la circonferenza mobile può essere o esterna alla circonferenza base, oppure interna: si hanno così rispettivamente i casi in cui la traiettoria descritta da ogni punto è un'epicicloide oppure un'ipocicloide. Se invece la curva base è una retta, la traiettoria descritta è una cicloide(caso di una ruota che rotoli sul terreno).
Infine, altro caso interessante è quello di un sistema rigido che abbia un punto fisso: in ogni istante il sistema ruota attorno a un asse di rotazione istantanea che è necessariamente una retta passante per il punto fisso. Il luogo delle posizioni occupate nello spazio fisso dall'asse di rotazione è detto cono polare fisso, o cono erpoloide, mentre il luogo delle rette del sistema mobile che divengono successivamente assi di rotazione è detto cono polare mobile, o cono della poloide. Questi due coni (coni di Poinsot) permettono di caratterizzare il moto di ogni sistema rigido avente un punto fisso come equivalente al rotolamento del cono mobile sul cono fisso. Per lo studio di questo tipo di moto sono utili parametri opportuni, per individuare le posizioni del sistema: si introducono a questo scopo gli angoli di Eulero.
v Moto relativo
Accade  spesso di dover considerare il moto di un punto o di un sistema quale appare a un osservatore che sia esso stesso in moto: oltre al sistema di riferimento fisso (ad es. una terna di assi cartesiani Oxyz) introduciamo allora anche un sistema di riferimento mobile (ad es. la terna Wxhz). Un punto P è caratterizzato dalle coordinate x, y, z e x, h, z nei due sistemi e le sue equazioni del moto sono quindi x = x(t), y = y(t), z = z(t) e x = x(t), h = h(t), z = z(t) rispettivamente nei due riferimenti. La velocità rispetto al sistema fisso (velocità assoluta) risulta va= vr + vtdove vrè la velocità rispetto al sistema mobile (velocità relativa) e vtla velocità di trascinamento, cioè quella che il punto P avrebbe se, essendo in quiete nel sistema mobile, si muovesse solidalmente con questo: coincide quindi con la velocità del sistema mobile rispetto a quello fisso. Tra le accelerazioni nei due sistemi vale la relazione espressa dal teorema di Coriolis: aa= ar+ at+ ac, dove aae ar sono le accelerazioni rispetto al sistema fisso (accelerazione assoluta) e a quello in moto (accelerazione relativa); atD(accelerazione di trascinamento) è l'accelerazione che il punto avrebbe se fosse rigidamente solidale con il sistema mobile e venisse trascinato da questo nel suo moto (non è quindi altro che l'accelerazione assoluta del riferimento mobile). Infine acè l'accelerazione complementare o di Coriolis, nulla in particolare quando il punto è in quiete rispetto al sistema mobile (vr= 0) o quando il moto del riferimento mobile è di pura traslazione. In modo analogo al caso del moto relativo di un solo punto, si può descrivere anche quello di un insieme di punti e in particolare di un sistema rigido: il moto assoluto di esso si ottiene componendo, in ogni istante, il suo moto relativo con quello di trascinamento. È importante infine osservare che se il riferimento mobile si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a quello fisso ed è quindi costante la velocità di trascinamento vtrisulta allora at= 0 e ac = 0; il teorema di Coriolis si riduce perciò semplicemente alla relazione aa = ar: l'accelerazione di un punto è cioè la stessa rispetto a osservatori in moto di traslazione con velocità uniforme l'uno rispetto all'altro (principio di relatività galileiana). Nella cinematica classica questa proprietà si deduce sotto l'ipotesi che il tempo sia un parametro universale, comune a tutti i sistemi di riferimento.
 
Accelerazione
 
Considerato  un punto materiale che si muove di moto rettilineo uniformemente vario, nel quale cioè la velocità si modifica per una stessa quantità in tempi uguali, l'accelerazione è la variazione subita dalla velocità nell'unità di tempo. Sia v0la velocità all'istante t0, v la velocità all'istante t, indicando con a l'accelerazione, si ha:
    a = vv0/tt0.
Secondo che a sia positiva o negativa, il moto si dice uniformemente accelerato o uniformemente ritardato. Se il punto materiale si muove con moto rettilineo arbitrario - indicando con Dv la variazione subita dalla velocità nell'intervallo di tempo Dt a partire dall'istante t - il rapporto Dv/Dt rappresenterà l'accelerazione media nell'intervallo di tempo Dt: se Dt tende a zero, Dv/Dt tende a dv/dt che si assumerà come accelerazione del mobile all'istante t. In un moto rettilineo, quindi, l'accelerazione si definisce come la derivata della velocità rispetto al tempo, ed essendo v = dx/dt risulta:
    at = d2x/dt² .
Nel caso più generale, l'accelerazione sarà data da una quantità vettoriale le cui componenti lungo gli assi di un riferimento cartesiano ortogonale valgono:
    d²x/dt², d²y/dt², d²z/dt².
Se un corpo si muove di moto relativo, la sua velocità assoluta è la somma geometrica, o risultante, della velocità relativa e della velocità di trascinamento; questa regola non vale per l'accelerazione assoluta, che risulta invece dalla somma geometrica di tre accelerazioni: 1. l'accelerazione nel movimento relativo; 2. l'accelerazione nel moto di trascinamento; 3. l'accelerazione complementare detta anche accelerazione centrifuga composta o di Coriolis. Questa terza accelerazione è quella che, nel moto di caduta dei gravi sulla terra, giustifica la lieve loro deviazione verso oriente dovuta alla rotazione terrestre. L'unità di accelerazione nel sistema MKSA e nel SI (sistema internazionale di unità di misura) è il metro al secondo per secondo (m/s²), nel sistema CGS è il centimetro al secondo per secondo (cm/s²); quest'ultima prende il nome di gal, ed è cento volte più piccola della prima.

 

Fonte: http://riappunti.net/fisica/cinematica.doc
Autore: non indicato nel documento di origine

 

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