Misura delle grandezze
Misura delle grandezze
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LA MISURA DELLE GRANDEZZE
Qualsiasi ipotesi scientifica deve sempre basarsi su dei dati, e quindi qualsiasi ricerca scientifica deve partire da una fase di osservazione, finalizzata alla raccolta di dati (misure, descrizioni, rilevazioni, analisi, ecc.), che deve essere fatta nel modo più esatto, rigoroso e sistematico possibile. Molte scoperte scientifiche sono state rese possibili proprio dal fatto che lo scienziato che ne è stato l’autore non ha trascurato niente (Copernico e Mendel).
Per verificare le nostre capacità di osservare proviamo ad:
- Elencare gli oggetti che si trovano sul banco, riportando per ognuno le caratteristiche che si ritengono importanti per descriverlo. Alcune caratteristiche (lunghezza) sono misurabili, altre ( ruvidità ) invece no.
- Elencare i materiali che formano ciascuno degli oggetti. Alcuni corpi sono formati da un solo materiale, altri da due o più materiali. Alcuni materiali sono presenti in più corpi. Esistono proprietà caratteristiche dei corpi (lunghezza, peso, forma, ecc.), mentre altre sono caratteristiche dei materiali (colore, durezza, rigidità, ecc.). Anche i materiali possiedono caratteristiche misurabili ( peso specifico, durezza, ecc.) e caratteristiche non misurabili ( lucentezza).
Le caratteristiche misurabili hanno il vantaggio, grazie alla misura, di eliminare ogni possibile ambiguità e/o soggettività ( cosa significa essere “alto”, “caldo”, “pesante”, “bello”, ecc.).
Le proprietà misurabili sono dette grandezze fisiche.
Per misurare un oggetto dobbiamo scegliere una unità di misura, costituita da una qualità dello stesso tipo di quella in esame, il cui valore viene fissato pari a 1.
Misurare una grandezza vuol dire stabilire quante unità di misura sono contenute al suo interno.
La misura di una grandezza è sempre data da un valore numerico e da una unità di misura (es. m = 65 kg).
Per essere valida da un punto di vista scientifico una unità di misura deve:
- Essere definita con molta precisione;
- Essere uguale per tutti.
- Possedere multipli e sottomultipli.
Città lombarde e loro misure |
Misure della città in metri |
Metro in misura della città |
Bergamo, braccio mercantile |
0,659 |
1,517 |
Bergamo, braccio da fabbrica |
0,531 |
1,881 |
Brescia, braccio mercantile da panno |
0,674 |
1,483 |
Brescia, braccio da seta e tela |
0,640 |
1,561 |
Braccio mercantile di Como, Cremona, Lodi, Pavia e Milano |
0,594 |
1,680 |
Mantova, braccio mercantile |
0,637 |
1,567 |
Sondrio, braccio lungo |
0,671 |
1,488 |
Sondrio, braccio corto |
0,530 |
1,884 |
Crema, braccio mercantile |
0,670 |
1,402 |
Per risolvere tutti questi problemi è stato istituito il Sistema Internazionale delle Unità di Misura (SI), costituito dalle sette unità di misura delle sette grandezze fondamentali.
Tutte le altre grandezze fisiche, che si ottengono dalla composizione delle grandezze fondamentali, si definiscono invece grandezze derivate. Ne sono esempi la superficie (che si misura in m2 o la velocità, che si misura in m/s).
La notazione esponenziale
Ogni unità di misura deve possedere multipli e sottomultipli, che vengono utilizzati a seconda delle dimensioni degli oggetti da misurare, al fine di rendere più semplice la lettura ed i calcoli con le misure stesse. Multipli e sottomultipli variano secondo le potenze di 10 e sono rappresentate con
dei prefissi, secondo lo schema riportato nella tabella a lato. Per passare da un multiplo, o sottomultiplo, ad un altro è necessario fare delle equivalenze. Queste possono essere risolte tramite una proporzione oppure semplicemente ricordando che, per passare
100 = 1 |
10-1 = 1/10 = 0,1 |
101 = 10 |
10-2 = 1/100 = 0,01 |
102 = 100 |
10-3 = 1/1000 = 0,001 |
da una certa grandezza ad un’altra maggiore, la virgola deve essere spostata verso sinistra in base alla distanza tra le due unità di misura (ad esempio 5,0 m = 0,005 km); in modo analogo si sposta la virgola verso destra quando si passa ad una unità minore (ad esempio 5,0 m = 5000 mm). Quando i valori sono molto piccoli (vedi ad esempio il raggio dell’atomo di idrogeno, pari a 0,0000000529 mm), o molto grandi (come ad esempio la distanza Terra Sole, pari a 149 000 000 km), si vengono ad avere molti zeri, che complicano la lettura e le operazioni con tali numeri. Per ovviare a tali problemi si utilizza la notazione esponenziale, o scientifica, con la quale è possibile esprimere tali numeri attraverso le potenze di 10, eliminando così gli zeri e semplificando i calcoli. Ricordando le proprietà delle potenze riportate nella tabella
a fianco, i numeri prima citati diventano:
0,0000000529 = 529 • 10 –10
149 000 000 = 149 • 10 6
Convenzionalmente, per facilitare al massimo i calcoli, quando si scrivono numeri in notazione esponenziale si lascia una sola cifra diversa da zero prima della virgola. I due numeri precedenti diventano allora: 529 • 10 –10 = 5,29 • 10 –8 e 149 • 10 6 = 1,49 • 10 8
Un numero espresso con la notazione esponenziale è costituito da un numero compreso tra 1 e 10, moltiplicato per una potenza di 10. L’esponente della potenza, detto anche ordine di grandezza del numero, è dato dal numero di posti di cui è stata spostata la virgola rispetto al numero originale ed è positivo se la virgola è stata spostata verso sinistra ( il numero originale è maggiore di 1), mentre è negativo se la virgola è stata spostata verso destra ( il numero originale è minore di 1). All’ordine di grandezza corrisponde in genere un prefisso ed un nome, secondo la tabella in alto.
Nelle operazioni coi numeri espressi secondo la notazione esponenziale si opera separatamente sui numeri decimali e sulle potenze di dieci, applicando a queste ultime le proprietà delle potenze elencate nella tabella a lato.
Misure di distanza
Si definisce metro la distanza tra due tacche incise su di una sbarra metallica conservata nell’Ufficio Internazionale dei Pesi e delle misure di Sèvres, presso Parigi.
Nella misura con metodo diretto la grandezza da misurare viene direttamente messa a confronto con una unità di misura appropriata alle sue dimensioni. La scelta dello strumento per effettuare una misura dipende dalla quantità da misurare e dalla precisione richiesta. Ogni strumento di misura è caratterizzato da una portata, che corrisponde alla massima misura eseguibile con lo strumento; e da una sensibilità, uguale alla minima misura leggibile sullo strumento stesso. Così per misurare un quaderno utilizzerò un righello, di portata pari a 50 cm e di sensibilità pari ad 1 mm, per misurare il cortile della scuola utilizzerò una bindella metrica, di portata pari a 50 m e di sensibilità pari ad 1 cm, mentre per misurare lo spessore di una mina da matite utilizzerà un calibro, con portata pari a 10 cm e sensibilità pari a 0,1 mm.
Nelle misure eseguite con metodo indiretto, le grandezze da misurare sono troppo grosse per essere misurate direttamente e la misura si affida allora a calcoli matematici. Ne sono esempi la misura della distanza di due città effettuata su di una carta, oppure con il contachilometri di un’auto.
La misura della superficie, se l’oggetto da misurare ha forma regolare, viene eseguita con metodo indiretto, attraverso il calcolo dell’area della figura corrispondente (vedi tabella 3 pagina 19 Randazzo Stroppa). Se l’oggetto ha invece forma irregolare si ricorre a metodi diretti (vedi figura 13 pagina 19 Randazzo Stroppa). E’ importante ricordare che, poiché 1 m2 = 1 m x 1 m, → 1 m2 = 10 000 cm2.
La misura del volume, se l’oggetto è un solido regolare, viene effettuata con metodo geometrico, mentre se l’oggetto è un liquido essa si ricava da quella del volume del recipiente occupato. Se il solido ha forma irregolare lo si immerge in un liquido ed il suo volume corrisponderà a quello del liquido spostato (vedi figura). E’ importante ricordare che la lettura del livello dell’acqua deve essere effettuata all’altezza del livello inferiore del menisco (vedi figura). Inoltre non dobbiamo dimenticare che talvolta il volume totale di due materiali può essere diverso dalla somma dei loro volumi iniziali (vedi fig. 17 pag. 21 Randazzo Stroppa). Infine, poiché 1 m3 = 1 m x 1 m x 1 m, → 1 m3 = 1 000 dm3. Per le misure del volume dei liquidi si usa spesso anche il litro, ove 1L = 1 000 cm3, per cui 1mL = 1 cm3.
Gli errori della misura
Qualsiasi misura di grandezza fisica è sempre affetta da errore, qualunque sia la sensibilità dello strumento o il metodo impiegato. Le misure non sono quindi mai esatte, possono però essere più o meno precise; per aumentare la precisione debbo ridurre l’incertezza, migliorando la procedura oppure utilizzando strumenti migliori. Possiamo innanzitutto valutare l’incertezza di una misura dalla sensibilità dello strumento utilizzato. Così se effettuiamo una singola misura di un quaderno con un righello la cui sensibilità sia 1 mm, possiamo ad esempio trovare che la sua lunghezza è compresa tra 21,1 e 21,2 cm, ovvero 21,1 < L < 21,2; il valore inferiore è approssimato per difetto (Ld), mentre quello maggiore è approssimato per eccesso (Le). Il valore più probabile della misura corrisponde al valore medio (Lm), corrispondente alla semi somma, o media, delle misure per eccesso e per difetto.
Errore assoluto
Il valore medio presenta un’incertezza pari, al massimo, al suo errore assoluto (eass), corrispondente alla semi differenza dei due valori misurati. Nel caso di una misura singola l’errore assoluto è pari a metà della sensibilità dello strumento utilizzato per la misura. Il risultato della misura si indica quindi come: L = Lm ± eass, a significare che il valore reale della grandezza può variare tra (Lm + eass) e (Lm - eass). L’errore assoluto va espresso nella stessa unità di misura della grandezza misurata, per cui nel nostro caso avremo: L = (21,15 ± 0,05) cm . Possiamo quindi 
concludere che l’errore assoluto indica l’ambito in cui posso trovare valori validi.
Errore relativo ed errore percentuale
L’errore assoluto non è sufficiente per valutare la precisione di una misura, in quanto questa dipende anche dalla quantità che deve essere misurata. Così, ad esempio, se un errore assoluto di 0,5 mm è accettabile per la misura di un quaderno, e trascurabile per quella di una stanza, è inaccettabile per la misura di una lamina metallica. Si ottiene invece una valutazione quantitativa della precisione se si considera l’errore relativo (erel) risultante dal rapporto tra l’errore assoluto e la grandezza da misurare ( o il suo valore medio). Essendo il rapporto tra due quantità espresse con la stessa unità di misura, l’errore relativo è un numero puro, ovvero una grandezza adimensionale. Per comprendere meglio il significato dell’errore relativo proviamo a fare altri esempi. Se consideriamo infatti un errore assoluto di 0,5 mm nella misura di un’aula di 5 metri troviamo un errore relativo pari a 0,0001 (23 volte inferiore a quello del quaderno), mentre nel caso di una lamiera dello spessore di 2,5 mm esso darebbe luogo ad un errore relativo pari a 0,2 (quasi 100 volte superiore a quello del quaderno).
Poiché l’errore relativo è sempre un numero molto piccolo è più comodo considerare l’errore percentuale (e%), che si ottiene moltiplicando per 100 l’errore relativo della stessa misura. Nei tre casi prima considerati avremo dunque:
e% (quaderno) = 0,23%; e% (aula) = 0,01%; e% (lamina) = 20%;
In conclusione l’errore relativo e quello percentuale indicano quanto il mio errore sia significativo in relazione al problema che sto trattando. Infatti la precisione di una misura deve essere valutata in relazione con gli scopi della misura stessa, in base ai quali vanno scelti gli strumenti e le procedure per effettuarla, in quanto più la misura è precisa e più è costoso realizzarla. Per esempio, può essere utile approssimare l’altezza di una quaderno al centimetro, quando essa deve servire solo per distinguere tra loro quaderni di vario tipo; può essere utile approssimarla al millimetro, quando si deve valutare se il quaderno può entrare in un determinato scaffale; può essere necessario approssimarla al decimo di millimetro quando si deve impostare nella cartiera la macchina che effettuerà il taglio dei fogli per la sua produzione.
L’incertezza della misura
Cerchiamo ora di conoscere i principali tipi di errori che si commettono nell’esecuzione di una misura, valutandone le procedure di riconoscimento, di prevenzione e di correzione.
Errori banali
Nel caso di misura diretta sono dovuti a sbagli effettuati durante le operazioni di misura, per distrazione, lettura o trascrizione sbagliata nel caso invece di misura indiretta sono dovuti ad errori nei calcoli. Essi sono riconoscibili in quanto forniscono valori che si discostano molto da gli altri misurati o attesi.
Lunghezza di un’aula: a) 5,34m; b) 5,37m; c) 53,5m; d) 5,36m; e) 5,34m.
Errori sistematici
Si ripresentano regolarmente tutte le volte che si esegue una misura e sono dovuti a limitazioni o difetti dello strumento utilizzato o dell’operazione di misura. E’ ad esempio un errore sistematico quello di misurare la lunghezza di un oggetto senza allineare correttamente il bordo dello stesso con lo zero della scala (vedi figura sotto); parimenti si commette un errore sistematico leggendo uno strumento, come ad esempio una bilancia, che non si azzera perfettamente, oppure utilizzando un orologio che va avanti o indietro. Solitamente gli errori sistematici influenzano la misura sempre nello stesso senso.
Errori casuali
Sono dovuti a cause sconosciute o a fenomeni di cui è impossibile prevedere gli effetti e non si possono quindi eliminare. Ad esempio, la prontezza con cui un operatore preme il tasto di un cronometro al passaggio di un oggetto da un traguardo dipende dai tempi di risposta dell’operatore medesimo, che variano da persona a persona ed in funzione della situazione di attenzione o di stanchezza dell’operatore: difficilmente prove ripetute potranno dare gli stessi risultati. Misurando ripetutamente la lunghezza di un oggetto di legno con un metro si otterranno probabilmente valori diversi perché, ad esempio, non sempre il metro viene posto nella stessa posizione e l’oggetto può avere lunghezza diversa da punto a punto, anche se le differenze non sono apprezzabili ad occhio nudo (far misurare uno stesso alunno da diversi suoi compagni e confrontare i risultati). Per ridurre l’incidenza di tali errori sulla misura si effettuano misure ripetute della stessa grandezza e se ne fa poi la media aritmetica; tale operazione ha il vantaggio di compensare tra loro le misure errate per eccesso con quelle errate per difetto. Tuttavia la media non costituisce il valore reale della misura, ma solo quello che possiamo ritenere sia il più probabile. Riprendendo ad esempio le misure dell’aula prima riportate in precedenza, una volta che sono stati eliminati gli errori banali e/o sistematici, il valore più probabile della lunghezza sarà:
Dispersione
La dispersione (d) di una sequenza di valori misurati di una determinata grandezza rappresenta la differenza tra il valore massimo ed il valore minimo misurato. Essa influenza il grado di attendibilità, ovvero l’incertezza, del valore medio, che 
aumenta quanto più le misure sono sparpagliate intorno ad esso. Nel caso della lunghezza dell’aula prima esaminata la dispersione è
Analogamente a quanto abbiamo già visto per una misura singola, l’errore assoluto (eass) del valore medio si definisce come la semidispersione delle misure effettuate. Il valore della grandezza misurata deve quindi essere espresso come:
Nel caso dell’aula la misura diviene quindi:
Come già visto per le misure singole gli errori sono dati dalle seguenti espressioni:
Numeri approssimati e cifre significative
Poiché ogni misura è affetta da errore, i risultati delle misure vanno espressi da numeri che devono essere usati compatibilmente all’errore stesso: si parla quindi di numeri approssimati fino ad una certa cifra ( a meno di una certa cifra). Per approssimare un numero dobbiamo trascurarne alcune cifre; a tal fine si conviene che l’ultima cifra considerata rimanga invariata se la prima cifra trascurata è minore di 5 (approssimazione per difetto), mentre la si aumenta di una unità se la prima cifra trascurata è maggiore o uguale a 5 (approssimazione per eccesso). Si dice poi che un numero è approssimato a meno dell’ultima cifra considerata.
Se vogliamo ad esempio approssimare il numero 27,3680237 a meno di un milionesimo si ottiene 27,368024 e si dice anche che il numero è approssimato a meno della sesta cifra decimale. Lo stesso numero può inoltre essere variamente approssimato in altri modi ottenendo:
Dobbiamo osservare che gli zeri dopo la virgola, che non hanno significato dal punto di vista matematico, ne acquistano dal punto di vista fisico, in quanto indicano l’approssimazione con cui viene indicato il numero. Ad esempio 27 g e 27,00 g indicano due misure con diversa approssimazione: a meno del grammo, la prima, a meno del centigrammo la seconda. E’ quindi necessario definire quali sono le cifre significative che esprimono la misura, che dipendono dagli strumenti utilizzati per effettuarla. Se ad esempio utilizziamo una bilancia che apprezza il milligrammo sarà corretto esprimere una pesata come 7,023 g, mentre non avrebbe senso la scrittura 7,0230 g; analogamente misuriamo una lunghezza con un 
metro la cui sensibilità sui un millimetro potremo esprimere una misura come 42,1 cm, mentre non avrebbe senso esprimerla come 42,100, in quanto non abbiamo effettivamente misurato decimi e centesimi di millimetro. Un maggior numero di cifre significative si può ottenere solo utilizzando uno strumento più preciso, cioè con una sensibilità superiore.
In generale si definisce gruppo di cifre significative quello che inizia da sinistra con la prima cifra non nulla e termina a destra con l’ultima cifra nota, anche se questa è zero e/o anche se su di essa grava l’intervallo di incertezza . Per orientarsi si possono ricordare le seguenti regole:
- Ogni cifra diversa da zero è cifra significativa; così 152 cm ha tre cifre significative, mentre 2511 Km ne ha quattro;
- Ogni zero compreso tra numeri diversi da zero è cifra significativa; ad esempio 207 g ha tre cifre significative, mentre 50,102 Kg ne ha cinque;
- Ogni zero a sinistra della prima cifra diversa da zero non è una cifra significativa ovvero per i numeri decimali minori di uno sono significativi solo gli zeri alla fine dello stesso o quelli interposti tra numeri diversi da zero; ad esempio 0,007 mm ha una sola cifra significativa, in quanto può essere espresso attraverso la notazione esponenziale come 7 • 10 –3 mm, 0,20 ha due cifre significative e 0,4002 kg ne ha quattro;
- Per ogni numero decimale maggiore di uno sono significative tutte le cifre scritte a destra della virgola; ad esempio 40,20 m ha quattro cifre significativa, in quanto la distanza è stata evidentemente misurata con uno strumento che apprezza i centimetri.
Riguardo alle regole di calcolo, ricordando che il numero di cifre significative dipende dal modo e dallo strumento usato nelle misure, possiamo dare le seguenti:
1) Prodotto o quoziente del risultato di una misura per un numero adimensionale
Il prodotto o quoziente di una misura per un numero adimensionale (che non possiede cifre significative) deve avere lo stesso numero di cifre significative (e quindi la stessa precisione ed approssimazione) della misura di partenza. Ad esempio 0,6584 · 9 = 5,926 (4 cifre significative come la misura di partenza)
2) Addizione o differenza di misure
Il risultato dell’addizione o della differenza di misure deve avere le stesse cifre significative a destra della virgola (e quindi la stessa precisione ed approssimazione) della misura meno precisa. Ad esempio 3562,1 + 0,1948 = 3562,3. In pratica quando i dati da sommare o da sottrarre sono numeri interi oppure hanno lo stesso numero di cifre decimali, si eseguono le operazioni senza alcun vincolo (ad es. 47,75 t + 2,81 t = 50,56 t; 118,9 s - 27,6 s = 91,2 s). Quando invece i dati contengono un numero diverso di cifre decimali si deve arrotondare il risultato in modo che esso abbia cifre decimali pari al dato che ne ha di meno ( ad es. 58,6 cm + 13,72 cm = 72,3 cm; 17,28 s – 4,6 s = 12,7 s) .
3) Moltiplicazione o divisione di due misure
In una moltiplicazione o divisione di due misure il risultato deve avere lo stesso numero di cifre significative (e quindi la stessa precisione ed approssimazione) della misura meno precisa. Ad esempio 3,14 · 8,1248 = 25,5 (3 cifre significative soltanto). Oppure immaginiamo di dover calcolare l’area di un rettangolo la cui base è 28,2 cm e l’altezza 49,4 cm. Il risultato della moltiplicazione è 1393,08 cm2, che però, dovendo avere solo 3 c.s. conviene approssimare a 1,39· 10 3 cm2. Talvolta la calcolatrice tascabile può invece far sparire cifre significative: immaginiamo ad esempio di voler calcolare la base di un rettangolo di area 242 cm2, con altezza di 12,1cm. Il risultato della divisione è 20 cm, che però più esattamente va scritto come 20,0 ( tre c.s.).
4) Elevamento a potenza ed estrazione di radice
Tali operazioni non pongono problemi nuovi, in quanto sono riconducibili a moltiplicazioni, per cui valgono le medesime regole già viste per queste ultime. Quindi sia nell’elevamento a potenza, che nell’estrazione di radice, il risultato deve avere lo stesso numero di c.s. del dato di partenza.
5) Equivalenze
Nel trasformare un dato tramite un’equivalenza, il numero di cifre significative deve restare uguale a quello del dato di partenza.
6) Svolgimento di più calcoli in successione
In questo caso si possono applicare le regole già viste ad ogni singolo passaggio. E’ tuttavia possibile svolgere anche tutti i calcoli assieme (magari con la calcolatrice) ed assegnare poi al risultato finale il numero di c.s. del dato che ne ha meno.
Propagazione dell’errore
- Moltiplicando o dividendo una misura per un numero adimensionale anche il suo errore assoluto deve essere moltiplicato o diviso per lo stesso numero.
- L’errore assoluto per una somma o per una differenza di misure è dato dalla somma degli errori assoluti delle singole misure.
- L’errore relativo sul prodotto di due misure è pari alla somma degli errori relativi sulle singole misure.
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MISURE DI MASSA |
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Passando da una unità più grande ad una più piccola moltiplico per 10, spostando la virgola verso destra di un posto |
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kg |
hg |
dag |
g |
dg |
cg |
mg |
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Passando da una unità più piccola ad una più grande divido per 10, spostando la virgola verso sinistra di un posto |
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m |
milli |
Un millesimo |
1/1000 |
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c |
centi |
Un centesimo |
1/100 |
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1kL = 1m3 |
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d |
deci |
Un decimo |
1/10 |
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1L = 1dm3 |
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unità |
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1mL = 1cm3 |
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da |
deca |
10 |
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h |
etto |
100 |
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k |
chilo |
1000 |
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MISURE DI CAPACITA’ |
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Passando da una unità più grande ad una più piccola moltiplico per 10, spostando la virgola verso destra di un posto |
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kL |
hL |
daL |
L |
dL |
cL |
mL |
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Passando da una unità più piccola ad una più grande divido per 10, spostando la virgola verso sinistra di un posto |
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MISURE DI LUNGHEZZA |
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Passando da una unità più grande ad una più piccola moltiplico per 10, spostando la virgola verso destra di un posto |
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km |
hm |
dam |
m |
dm |
cm |
mm |
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Passando da una unità più piccola ad una più grande divido per 10, spostando la virgola verso sinistra di un posto |
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MISURE DI SUPERFICIE |
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Passando da una unità più grande ad una più piccola moltiplico per 100, spostando la virgola verso destra di due posti |
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km2 |
hm2 |
dam2 |
m2 |
dm2 |
cm2 |
mm2 |
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Passando da una unità più piccola ad una più grande divido per 100, spostando la virgola verso sinistra di due posti |
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MISURE DI VOLUME |
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Passando da una unità più grande ad una più piccola moltiplico per 1000, spostando la virgola verso destra di tre posti |
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km3 |
hm3 |
dam3 |
m3 |
dm3 |
cm3 |
mm3 |
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Passando da una unità più piccola ad una più grande divido per mille, spostando la virgola verso sinistra di tre posti |
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Svolgere le seguenti equivalenze, utilizzando ove necessario anche la notazione esponenziale |
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Lunghezza |
0,88 dm2 = |
mm2 |
6,2 dm3 = |
L |
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1,39 dam = |
cm |
11,9 m2 |
dm2 |
13,9 m3 = |
L |
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11,71 Km = |
m |
9.11 hm2 = |
dam2 |
22,8 mL = |
cm3 |
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215 cm = |
hm |
23000 dam2 = |
km2 |
2,5 L = |
cm3 |
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0,11 m = |
mm |
910 hm2 = |
km2 |
9,1 km3 = |
m3 |
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415 dam = |
m |
1,25 hm2 = |
m2 |
3,4 dm3 = |
mL |
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82,6 dm = |
mm |
0,98 m2 = |
cm2 |
17500 cm3 = |
L |
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7849 mm = |
m |
23.600 m2 = |
hm2 |
2680 L = |
m3 |
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23,87 hm = |
dm |
4,8 cm2 |
mm2 |
280 mL = |
dm3 |
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0,23 km = |
dam |
9600 dm2 = |
dam2 |
25,1 m3 |
kL |
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615,22 m = |
km |
3,5 km2 = |
m2 |
4,7 km3 |
L |
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929 dm = |
dam |
1,2 m2 = |
mm2 |
Massa |
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0,21 hm = |
m |
Volume e capacità |
1.456 g = |
hg |
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0,025 km = |
dm |
5,3 m3 = |
dm3 |
12.300 g = |
Kg |
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259,11 mm = |
dm |
0.035 km3 = |
hm3 |
12,3 hg = |
g |
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0,236 dam = |
cm |
4500 mm3 = |
dm3 |
0.99 kg = |
g |
||||||||||||
0,003 Km = |
mm |
0.125 L = |
mL |
0.69 dag = |
cg |
||||||||||||
Superficie |
49,21 hL = |
L |
0.56 hg = |
mg |
|||||||||||||
45,1 dam2 = |
m2 |
28900 dm3 = |
m3 |
3,5 kg = |
mg |
||||||||||||
6,23 Km2 = |
hm2 |
167 cL = |
L |
4,8 hg = |
cg |
||||||||||||
11.590 cm2 = |
dm2 |
8,9 m3 = |
mm3 |
6 · 105 mg |
hg |
||||||||||||
ESERCIZI SULLE MISURE
Notazione esponenziale
Ricordiamo che nelle equivalenze il valore dei numeri deve restare lo stesso, quindi:
- Se sposto la virgola a sinistra di un posto divido il numero per 10 e quindi devo anche alzare l’esponente di una unità
1,00 •106 = 0,1•107 = 0,01•108 = 0,001•109 = 0,0001•1010
- Se sposto la virgola a destra di un posto moltiplico per 10 e quindi devo anche abbassare l’esponente di una unità
1,00 •106 = 10,0 •105 = 100 •104 = 1 000 •103 = 10 000 •102 = 100 000 •101 =
= 1000 000 •100
Scrivi in numeri decimali i seguenti numeri espressi in notazione esponenziale
1) 1,00 •105 = 2) 1,00 •108 =
3) 3,25 •1012 = 4) 1,2 •10-3 =
5) 2,5 •10-10 = 6) 1,5 •106 =
7) 2 •10-7 = 8) 2,12 •102 =
9) 1,3 •10-4 = 10) 1.00•10 6 =
11) 3.52•10 9= 12) 2.5•10 –5=
13) 3.24•10 –3 =
Scrivi in notazione esponenziale i seguenti numeri decimali
14) 0,35 = 15) 18 000 =
16) 2 400 = 17) 0,000000042 =
18) 0,00087 = 19) 75 milionesimi =
20) 0.000236 = 21) 93.2 miliardi =
22)1 550 000 = 23) 3 897 000 =
24) 0,0000345 = 25) 0,0000012 =
26) 1/100 000 = 27) 150 000 =
28) 0.000323 = 29) 2 000 000 000 =
30) 0.000000012 = 31) 0.00000526 =
32) 145 000 000 = 33) 243 000•10-3 =
34) 0.00000062•109=
Eseguire le seguenti operazioni:
a) 1,4 •102 X 5 •104 =
Equivalenze
Lunghezze
a) 417 mm = dam b) 4,2 km = m c) 12 mm = m
d) 0,05 hm = cm e) 125 cm = m f) 1712 cm = hm
g) 82,6 dm = mm h) 615 m = km
i) se un batterio ha un diametro di 5 μm, quanti batteri potranno entrare in un metro? quanti in un millimetro?
l) se un virus ha il diametro di 50 nm, quanti virus potranno entrare in un metro?, quanti in un millimetro?
Superficie
a) 12 km2 = dam2 b) 2 m2 = mm2 c) 15 500 cm2 = m2
d) 0.325 m2= dm2 e) 97000 cm2 = m2 f) 11 km2 = m2
Volume e capacità
a) 1,4 m3 = cm3 b) 5.87 m3 = dm3 c) 350 cm3 = m3
d) 2,7 m3 = mm3 e) 412 m3 = mm3 f) 52 m3 = mL
g) 125 L = cm3
Massa
a) 100 mg = kg b) 13 g = kg c) 2.5 hg = kg
d) 3.2 t = kg e) 0,2 kg = mg
Cifre significative
Eseguire le operazioni esprimendo il risultato con il giusto numero di cifre significative
a) 3562,1 + 0,1948 = b) 88,57 – 5,231 =
c) 3,14 · 8,1248 = d) 0,036 : 563 =
e) 12,4 + 8,12 + 0,618 = f) 8,4 – 2,135 =
g) 0,015 · 1,04 =
Proporzioni
- Un deposito per la raccolta dell’acqua ha le seguenti dimensioni: 50 cm x 30 cm x 70 cm. Se il tubo che lo riempie porta 5 L di acqua al minuto, quanto tempo sarà necessario al suo riempimento?
- Un parallelepipedo di alluminio ha le seguenti dimensioni: 2 cm x 4 cm x 1 cm. Se un decimetro cubo di alluminio pesa 2,7 kg, quanti grammi peserà il parallelepipedo?
- In un litro di birra a 6° alcolici ci sono 60 mL di alcol. Se un litro di alcol pesa 0,8 kg, quanti grammi di alcol si introducono nell’organismo bevendo una lattina da 33 cL di quella birra?
- Un insegnante guadagna 1300 euro al mese; il 15% dello stipendio è destinato a pagare un debito con una banca del valore di 50 milioni di lire. Se un euro vale 1936,27 lire, quanti mesi saranno necessari per pagare l'intero debito?
- Consideriamo che nell’oro a 18 carati sia presente il 75% di oro puro ed il 25 % di rame. Quanto peserà un oggetto di oro del volume di 6 mL, se un dm3 di rame pesa 8,9 kg, mentre un dm3 di oro pesa 19,3 kg?
- Un muratore deve costruire un muro in mattoni con le seguenti misure: 2,5 m x 4,8 m x 18 cm. Se ogni mattone ha un volume di 700 cm3, quanti mattoni dovrà utilizzare? Se il materiale con cui sono fatti i mattoni pesa 2,7 kg ogni dm3, quanti quintali peserà il muro?
SOLUZIONI
Notazione esponenziale
Scrivi in numeri decimali i seguenti numeri espressi in notazione esponenziale
1) 100 000; 2) 100 000 000; 3) 3 250 000 000 000; 4) 0,0012;
5) 0,00000000025; 6) 1 500 000; 7) 0,0000002;
8) 212; 9) 0,00013. 10) 1 000 000;
11) 3 520 000 000; 12) 0.000025; 13) 0.00324;
Scrivi in notazione esponenziale i seguenti numeri decimali
14) 3,5 •10-1; 15) 1,8 •104; 16) 2,4 •103; 17) 4,2 •10-8;
18) 8,7 •10-4 19) 0.000075 = 7.5 •10 –5; 20) 2.36 •10 –4;
21) 93 200 000 000 = 9.32 •1010 22) 1.55 •10 6; 23) 3,897 •106;
24) 3,45•10-5; 25) 1,2 •10-6; 26) 1•10-5; 27) 1.5•105;
28) 3.23 •10 -4; 29) 2•10 9; 30) 1.2•10 -8; 31) 5.26•10-6;
32) 1.45•108; 33) 2.43•102; 34) 6.2•102;
Eseguire le seguenti operazioni: a) 7 •106;
Equivalenze
Lunghezze
a) 0,0417 dam; b) 42 000 m; c) 0,012 m; d) 500 cm;
e) 1,25 m; f) 0,1712 hm; g) 8260 mm; h) 0,615 km.
i) (200.000 in un metro), (200 in un millimetro)
l) (20.000.000 in un metro), (20.000 in un millimetro)
Superficie
a) 120 000 dam2; b) 2•106 mm2; c) 1,55;
d) 32.5 dm2; e) 9.7 m2; f) 1,1 107 m2
Volume e capacità
a) 1,4 •106 cm3; b) 5870 dm3; c) 0.00035 m3
d) 2,7 •109 mm3; e) 4,12 •1011 mm3; f) 5,2 •107 mL; g) 1,25 •103 cm3;
Massa
a) 0.0001 kg; b) 0.013 kg; c) 0.25 kg; d) 3200 kg e) 2•105 mg;
Cifre significative
c) 25,5, d) 0,000064; e) 21,1; f) 6,3; g) 0,016;
Proporzioni
1) 21 minuti; 2) 21,6 g; 3) 15,84 g; 4) 132 mesi;
5) 100,2 g (Cu 13,35 g + Au 86,85 g); 6) 3085 mattoni; 58,32 q
In questo caso l’errore deriva dalla sensibilità dello strumento, indipendentemente dalla procedura seguita.
Fonte: http://www.liceodavincifi.it/_Rainbow/Documents/LA%20MISURA%20DELLE%20GRANDEZZE.doc
Autore: non identificabile dal documento
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