Formula di Erone

 


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Formula di Erone

Formula di Erone

 

I lati di un triangolo sono c=10 , b=14, a=16. determinare l’altezza h e l’area A del triangolo.

 



 

Chiama x il segmento  .

 

Considera ora i triangoli ACD e CDB.

Per il teorema di Pitagora:

 

 

 

Uguaglia le 2 espressioni e determina la  x. Ricava poi h e A.

 

Formula di Erone

 

Ripetendo lo stesso procedimento che hai appena seguito nel caso generale, ovvero sostituendo al posto dei numeri le lettere, dopo una serie di passaggi matematici, puoi trovare la formula di Erone:

 

  

 

p è il semiperimetro, h è l’altezza, a, b, c le misure dei lati.

 

Ripeti l’esercizio precedente utilizzando la formula di Erone.

 

Triangoli inscritti in una circonferenza

 

Determina  il centro della circonferenza circoscritta al triangolo, utilizzando compasso e sapendo che esso è il punto d’incontro degli assi  dei lati dei lati del triangolo.

Raggio della circonferenza circoscritta.

 

 

Considera il triangolo di prima , con lati c , b, a, inscritto ora in una circonferenza.

Determina il raggio della circonferenza

 

L’angolo DAC è ……...… perché ……………………………………………………………..
L’angolo  ADC =CBH     perché insistono  nello stesso   ……………………..

 

Quindi il triangolo ADC e il triangolo CHB sono ……………. perchè……………………..

Quindi       b: 2R  = h : …

 

 

Risolvendo la proporzione si ha:

 

 

 Ma dato che , (……………………………………………………….)  sostituendo ottieni

 

 

,  dove A è l’area del triangolo che si calcola con la formula di Erone.

 

Esercizio

 

Trova ora R sapendo che c=10 , b=14, a=16. (prendi i dati dall’esercizio precedentemente svolto)

 

Problemi

Determina l’area di un triangolo  isoscele e il raggio della circonferenza circoscritta ad esso sapendo che i suoi lati sono b=c=5 , a =8.

 

Determina l’area di un triangolo  e il raggio della circonferenza circoscritta ad esso sapendo che i suoi lati sono   

 

Determina l’area di un triangolo  equilatero e il raggio della circonferenza circoscritta ad esso sapendo che i suoi lati misurano 6.

 

 

 

 

Triangoli circoscritti a una circonferenza

 

Il centro della circonferenza inscritta al triangolo è il punto d’incontro delle bisettrici.

 

Il centro della circonferenza inscritta è il punto d’incontro …………   ………………….….. del triangolo ed è detto ………………. .

 

Congiungi ora il centro della circonferenza con i 3 vertici del triangolo, dividendo così il triangolo in 3 triangoli che hanno per base  …  ……… del ………..…….. e per altezza  …. ……………….

della circonferenza inscritta.

 

L’area del triangolo ABC è quindi uguale alla somma delle aree dei triangoli ……………………..

 

,  dove p è il ………………….. del triangolo.

 

Quindi

 

                 o anche applicando la formula di Erone,

 

 

 

 

 

 

Fonte: http://www.liceopascolibz.it/portalescuola/docenti/alessiofilippi/wp-content/uploads/2007/09/triangoli-inscritti-e-circoscritti-in-una-circonferenza.doc

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