Poligoni regolari irregolari inscritti circoscritti

 

 


 

Poligoni regolari irregolari inscritti circoscritti

 

I testi seguenti sono di proprietà dei rispettivi autori che ringraziamo per l'opportunità che ci danno di far conoscere gratuitamente a studenti , docenti e agli utenti del web i loro testi per sole finalità illustrative didattiche e scientifiche.

 

I poligoni

 

Si dice poligono con n lati una figura piana chiusa delimitata da n segmenti.

 

 

Nomenclatura

 

Per molti valori di n un poligono con n lati prende un nome particolare. Ne ricordiamo alcuni:

      n         nome


3

triangolo

      4

quadrangolo

      5

pentagono

      6

esagono

      7      

ettagono o eptagono

      8

ottagono

      9

ennagono o nonagono

    10

decagono

    12

dodecagono

    15

pentadecagono

    17

ettadecagono

 

 

Nella pagina successiva presentiamo alcuni poligoni regolari convessi:

 

 

 

poligoni 

 

 

 


Triangolo         equilatero

 

 

 

 

 

Quadrato

 

 

 

 

        Pentagono
regolare

 

 

 

 

        Esagono
regolare

 

 

 

       Ettagono
regolare

 

 

 

       Ottagono
regolare

 

 

 

         Ennagono
regolare

 

 

 

         Decagono
regolare

 

Ricordiamo che una regione del piano si dice convessa se, dati due punti in questa regione, essa contiene  tutto il segmento che li congiunge.
poligoni
Accanto ai poligoni regolari convessi si considerano quelli stellati: il primo in alto a destra della figura è il pentagono stellato, uno dei simboli della scuola pitagorica.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fonte: http://www.dm.uniba.it/ipertesto/poligoni/poligoni.doc

 

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

 

 

 

 


 

Poligoni regolari irregolari inscritti circoscritti

 

LA COSTRUZIONE DEI POLIGONI REGOLARI

       

PRIMA PARTE
In aula

  


Volendo intraprendere il viaggio che ci porterà a conoscere le costruzioni dei poligoni regolari, dotiamoci prima di un bagaglio teorico che ci indichi la strada…

Ricordiamo che:

Un poligono si dice regolare quando ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali.

Per i poligoni regolari valgono alcune proprietà che sintetizziamo nel seguente teorema, di cui poi, insieme, completiamo la dimostrazione:

  • Se una circonferenza è divisa in n archi uguali, il poligono che si ottiene congiungendo successivamente i punti di divisione è regolare.
  • Se una circonferenza è divisa in n archi uguali, il poligono formato dalle tangenti alla circonferenza condotte nei punti di divisione è regolare.
  • Un poligono regolare è inscrittibile e circoscrittibile a una circonferenza.


TEOREMA  

 

 

DIMOSTRAZIONE
 

Ricordiamo che ad archi uguali di una circonferenza corrispondono……………….
………………………………………………………………………………………………
Congiungendo il centro della circonferenza con i successivi punti di divisione si ottengono triangoli ………………………….
ed essi risultano (per quanto detto) ………………………………………………...
Da ciò consegue che il poligono ottenuto congiungendo i suddetti punti è …………...

 

La seconda asserzione si dimostra tenendo presente quanto appena osservato per il poligono inscritto ottenuto congiungendo i punti di suddivisione in parti uguali della circonferenza. Infatti,  come conseguenza della proprietà dimostrata, i triangoli aventi come vertici due successivi punti di suddivisione e il punto d’intersezione delle relative tangenti risultano essere…………………………….
e……………………………………………….
Pertanto il poligono circoscritto in questione è …………………………………..

 poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscrittipoligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti

Dimostriamo ora la terza asserzione, facendo riferimento alla figura qui rappresentata. Tracciamo le bisettrici degli angoli  e B del poligono e indichiamo con O il loro punto di intersezione. Detto punto esiste sicuramente per il fatto che gli angoli di un poligono regolare sono ………………. di un angolo piatto e pertanto è………………………. di un angolo piatto anche la somma delle metà di due di essi. Gli angoli OAB e OBA sono perché……………………………………….….Il triangolo ABO è quindi……………………
E pertanto AO…..OB.

 poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
Congiungiamo O con C e confrontiamo i triangoli OAB e OBC.
Essi hanno AB…...BC poiché……………………………………….……., OB in comune, gli angoli OBA……OBC per il fatto che……………………………………………………………….
I due triangoli sono pertanto………………………………… e dunque  OA…….OB……..OC.
Così procedendo si può dimostrare che O è …………………………… da tutti i vertici del poligono ed è pertanto il centro della circonferenza a esso circoscritta.
Infine osserviamo che AB, BC, CD sono corde uguali di una medesima circonferenza (quella circoscritta al poligono) e pertanto hanno tutte ……………………… da centro O, ed essa coincide con l’altezza OH del triangolo ………………. La circonferenza di centro O e raggio OH risulta quindi ………………………………….. a tutti i lati del poligono e quindi inscritta nel poligono stesso.     
_______________________________________________________________       Q.E.D.

 

DEFINIZIONI:        Il centro delle circonferenze inscritta e circoscritta al poligono si dice CENTRO del poligono;
il raggio della circonferenza circoscritta si chiama RAGGIO del poligono;
il raggio della circonferenza inscritta si dice APOTEMA del poligono.
OSSERVAZIONE:   L’apotema è anche la distanza del centro dai lati del poligono.

ESERCIZIO______________________________________________________________

Tra le seguenti asserzioni individua quelle false e dimostra quelle vere.
Di quelle false costruisci un controesempio con Cabri; per costruire poligoni regolari puoi utilizzare il  comando “poligono regolare” nel menù a cascata sotto il bottone “retta”.

  • Ogni poligono equilatero inscritto in una circonferenza è regolare.
  • Ogni poligono equiangolo inscritto in una circonferenza è regolare.
  • Ogni poligono equilatero circoscritto a una circonferenza è regolare.
  • Ogni poligono equiangolo circoscritto a una circonferenza è regolare.

________________________________________________________________________

 

IL PROBLEMA DELLA CICLOTOMIA

 

Da quanto detto finora si evince che per costruire un poligono regolare di n lati basta dividere in n parti uguali una circonferenza e congiungere poi i punti così ottenuti.
È quindi logico che, fin dall’antichità, i matematici abbiano cercato di risolvere il cosiddetto problema della ciclotomia (dal greco temno = taglio) o della divisione della circonferenza.
Che di tale problema si siano occupati anche i popoli più antichi è dimostrato dal fatto che i poligoni regolari di 3, 4, 5, 6, 8 lati appaiono frequentemente come motivo ornamentale di vasi, di monumenti, di dipinti che ci sono pervenuti dalle epoche romana, etrusca, egizia, babilonese, cretese e micenea. Non abbiamo, però, elementi sufficienti a dire se si sia trattato di vere e proprie costruzioni geometriche o soltanto di costruzioni approssimate.
Sembra accertato però che i Pitagorici abbiano risolto geometricamente il problema per poligoni regolari aventi i lati in numero 3, 4, 5, 15 (o multipli secondo due di questi valori). Tutte queste costruzioni sono contenute, come sappiamo, negli Elementi di Euclide.
Il problema di dividere la circonferenza in 7, 9 ,11, 17 parti uguali fu affrontato, senza successo, dai geometri antichi. Come vedremo, solo Gauss, nel diciannovesimo secolo, dette la risoluzione matematica che da secoli si stava cercando.

 

SECONDA PARTE
In laboratorio

  



                                                        

 

 

 

SCHEDA 1:  Quadrato… e non solo!

1.)     Traccia due diametri perpendicolari AB e CD e unisci gli estremi.
Puoi asserire che ABCD è un quadrato? …………………………..
Perché?……….…………………………………………………………………..………….
.. ……………………………………………………………………………………………….

2.)     E se invece volessimo costruire un quadrato senza passare attraverso la circonferenza circoscritta, ad esempio conoscendone il lato, come suggeriresti di procedere?Costruiscilo, descrivendo i passaggi…………………………………………
………………………………………………………….……………………………………...
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………

3.)     Considera ora, di nuovo, i due diametri perpendicolari dell’esercizio 1.
Traccia le bisettrici degli angoli da essi formati; esse incontrano la circonferenza nei punti E, F, G, H. Il poligono AGDHBECF è un ottagono regolare?……………
Motiva la risposta:……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………...…….………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4.)     Procedendo come nel punto 3, biseca ancora gli angoli al centro, e unisci tra loro i punti di intersezione con la circonferenza.
Che poligono ottieni?……………………………………...Motiva la risposta……………
…………………………………………………………………………………………………

  • Cerca di generalizzare quanto fatto nei punti 1.), 3.), 4.): Quali poligoni regolari potresti ancora costruire con lo stesso procedimento? …………………………………

………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………..…………..


SCHEDA 2: Grafici relativi alla scheda 1

 

 

ESERCIZI 1 E 2
La costruzione del quadrato

  


poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti

 

 

ESERCIZI 1 E 2
Poligoni di 8, 16 lati

  

 


 

DAL POLIGONO REGOLARE DI n LATI SI PUO’ OTTENERE IL POLIGONO REGOLARE DI 2n LATI:
considerando il cerchio circoscritto, basta dimezzare gli archi sottesi dai lati del poligono di n lati, e poi usare come vertici del poligono di 2n lati, insieme ai vertici originari, gli ulteriori punti così trovati.
Partendo dal diametro di un cerchio (poligono di 2 lati), si possono perciò costruire i poligoni di 4, 8, 16, 2n lati.
Analogamente, una volta costruito l’esagono, da esso si possono ottenere i poligoni di 12, 24, 48 lati, ecc. così come dal decagono i poligoni di 20, 40 lati, ecc.

 poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti

SCHEDA 3:  ESAGONO e non solo…

1.) Proviamo a dimostare insieme il seguente

______________________________TEOREMA:________________________________

Il lato dell’esagono regolare è congruente al raggio
della circonferenza circoscritta.”
________________________________________________________________________

DIMOSTRAZIONE:

 

Sia ABCDEF un esagono regolare inscritto in una circonferenza di centro O (vedi figura). Vogliamo dimostrare che il suo lato AB è congruente al raggio OA. Si uniscano due vertici consecutivi A, B con O. I lati OA e OB sono ………………… perché……………..e quindi il triangolo AOB è………………………………… Osserviamo i suoi angoli: l’angolo AOB è…………..dell’angolo giro, cioè un terzo di un angolo……………
Ora, la somma degli angoli di un triangolo è un angolo………….,quindi nel triangolo AOB, isoscele sulla base AB, anche gli altri due angoli (oltre a AOB) saranno uguali a………………………………..
………………………………….

 poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
Pertanto il triangolo AOB è…………….., e dunque equilatero. Ne segue che AB……OA.

Q.E.D.
________________________________________________________________________

2.) Utilizza il risultato appena dimostrato per costruire un esagono regolare ABCDEF inscritto in una circonferenza e spiega il procedimento seguito……………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.) Dalla figura relativa alla precedente costruzione cosa puoi dedurre riguardo agli archi AC, CE, EA? In base a cosa?………………………………………………………………………
…………………………………………...……………………………………………………………
4.) Come risulta quindi il triangolo ACE?………………………………………………………….
…………………………………….. …………………….……………………………………………
5.) Si può costruire facilmente un triangolo equilatero di cui si conosca il lato senza dover tirare in ballo la circonferenza circoscritta. Prova a ricordare come, e ad eseguirne la costruzione,motivandola…………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
6.) Ricordando quanto fatto nella scheda 1, prova a costruire i poligoni regolari con 12, 24 e 48 lati.

SCHEDA 4

 

GRAFICI RELATIVI ALLA SCHEDA 3

L’esagono

 

Il più semplice a costruirsi, tra tutti i poligoni regolari, è l’esagono. Dato un cerchio di raggio r, il lato dell’esagono regolare inscritto in questo cerchio è uguale a r. Per costruire l’esagono si possono riportare successivamente a partire da un punto qualsiasi del cerchio delle corde di lunghezza r fino a ottenere tutti e sei i vertici.

 poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti

Il triangolo equilatero

 

Gli archi BCD, DEF, FAB risultano ciascuno uguale a un terzo  della circonferenza, per cui il triangolo BDF è equilatero. Risulta così risolto il problema di costruire un triangolo equilatero di centro e raggio assegnati. Se di un triangolo equilatero si dà invece il lato, la costruzione è nota per quanto sappiamo sulle costruzioni base con riga e compasso. (costruzione di un triangolo dati i lati)

 
Poligoni con 12 e con 24 lati
 poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
SCHEDA 5                          ESERCIZI
poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscrittipoligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscrittiESERCIZIO 2:       
Costruisci un esagono regolare inscritto in una circonferenza, e dimostra che:

  • le diagonali maggiori passano per il centro della circonferenza;
  • ciascuna delle diagonali maggiori divide l’esagono in due trapezi isosceli uguali;
  • i lati sono a due a due paralleli;
  • le tre diagonali uscenti da un vertice dividono l’esagono in quattro triangoli di cui due isosceli uguali tra loro e due rettangoli uguali tra loro.
  • le diagonali condotte dal vertice di un suo angolo dividono tale angolo in quattro parti uguali (suggerimento: considera la circonferenza circoscritta all’esagono e l’arco sul quale insiste ciascuno dei quattro angoli in questione)
  • se si prolungano i lati dell’esagono e si uniscono i punti di intersezione dei prolungamenti, si ottiene un altro esagono regolare il cui lato è il doppio dell’apotema del primo.

 poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti

ESERCIZIO 3:      
Dato l’ottagono regolare ABCDEFGH, dimostrare che se si prolungano i lati AB e CD e i loro paralleli EF e GH, si ottiene un quadrato.

 poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
SCHEDA 6: PENTAGONO, DECAGONO E PENTADECAGONO

Cominciamo subito col dimostrare un importante risultato:

TEOREMA:          Il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è la parte aurea del raggio

DIMOSTRAZIONE: 
poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti 

 

 


Costruzione del decagono e del pentagono regolari:

Per dividere la circonferenza in dieci parti uguali procediamo come segue: si tracciano due diametri perpendicolari AA’, CC’ e la circonferenza di diametro OC e centro M; unito A con M e indicato con D il punto di intersezione di questa circonferenza col segmento AM, si ha che AD è la parte aurea di OA, e che quindi AD è il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza data.Segue che se, con apertura di compasso uguale ad AD, partendo da A, s’interseca successivamente la circonferenza nei punti B, E ,F, G, A’, H, I, L, N,  si divide questa in dieci parti uguali.Se poi si uniscono alternativamente i punti di divisione ora determinati si ottiene il pentagono regolare inscritto nello stesso cerchio.
poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
Esistono anche altre proposte di costruzione del pentagono regolare, quasi tutte coinvolgono in modo più o meno esplicito la sezione aurea di un segmento. Ne esiste poi una, proposta da Herbert W. Richmond nel 1893, che costruisce il pentagono utilizzando nozioni di trigonometria (costruendo direttamente il cos 72°, essendo 72° la misura dell'angolo al centro che sottende una corda pari al lato del pentagono)

 

Costruzione del pentadecagono regolare:

Sia AB una corda del cerchio di centro O uguale al raggio OA, cioè al lato dell’esagono regolare inscritto, e AC un’altra corda uguale alla parte aurea del raggio stesso; si unisca O con B e con C; abbiamo allora che l’angolo AOB è di 60°  e che l’angolo AOC è di 36°, per cui: COB = 60°- 36°=24°.
Ora, siccome 360:15=24, segue che BC è il lato del pentadecagono regolare, ossia del poligono regolare di 15 lati, inscritto nel cerchio.

 poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
ESERCIZI:

1.      Costruisci un pentagono regolare.

  • Determina le ampiezze di ciascuno dei suoi angoli;
  • dimostra che le due diagonali uscenti da ciascuno dei vertici trisecano l’angolo formato dai due lati consecutivi aventi in quel vertice l’estremo comune;

 

  • dimostra che tutte le cinque diagonali del pentagono sono tra loro uguali;
  • dimostra che il lato è la sezione aurea della diagonale;
  • dimostra che i punti di intersezione delle diagonali individuano un altro pentagono regolare
  • constata che quest’ultima proprietà vale anche per il nuovo pentagono e pertanto si ripete all’infinito
 poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti

  1. Osservando le costruzioni finora effettuate, rispondi alla seguente domanda:

quali poligoni regolari sono simmetrici sia assialmente, sia centralmente, e quali sono simmetrici soltanto assialmente?

 

RISPOSTA ALL’ESERCIZIO 2

 

Il tipo di simmetria dei poligoni regolari dipende dal numero dei vertici.
Se n è pari, il poligono regolare è simmetrico sia centralmente (rispetto al suo centro O) sia assialmente (rispetto a n assi di cui n/2 si sovrappongono ai suoi raggi e n/2 si sovrappongono ai suoi apotemi).

 

poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti

 

Se n è dispari, il poligono regolare non è simmetrico centralmente, ma soltanto assialmente rispetto a n assi, ognuno dei quali passa per un suo vertice ed è perpendicolare al lato opposto.

 

poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti



ANDARE OLTRE LA RIGA E IL COMPASSO…

 

Abbiamo finora imparato a costruire alcuni poligoni regolari utilizzando le regole delle costruzioni con riga e compasso, le quali (parafrasando la definizione di un noto matematico odierno) “costituiscono il tema principale della sinfonia euclidea”.
Tuttavia le costruzioni forniteci da Euclide non esauriscono tutti i possibili casi: non è stato finora preso in esame ad esempio il caso di poligoni con 7, 9, 11, 13, 14, 17, 18, 19 lati. Per risolvere i dubbi circa la costruibilità di tali poligoni occorre aspettare il 1800, un momento in cui, parafrasando Odifreddi, certi problemi furono geometrici soltanto per accidente storico, e le soluzioni richiesero innovazioni di natura algebrica.
È opportuno ricordare infatti, che per i greci le costruzioni geometriche potevano essere effettuate solamente con l’uso della riga e del compasso, i due strumenti aurei, quelli cioè che tracciano le due linee auree: la retta e la circonferenza.
Dopo ben 2200 anni, nel XIX secolo, a opera dell’italiano Ruffini e del norvegese Abel (Teoria di Abel-Ruffini sull’insolubilità generale di equazioni di grado superiore al quarto) venne dimostrato che le regole imposte dalla matematica greca (cioè l’utilizzo esclusivo di riga e compasso) non bastavano a spiegare alcuni famosi e irrisolti problemi: mi riferisco ai tre famosi problemi dell’età eroica della matematica (seconda metà del V secolo a.C) ossia la trisezione dell’angolo, la quadratura del cerchio, la duplicazione del cubo.
Alla fine del 1700 Gauss, matematico tedesco, non ancora ventenne, applicò concetti algebrici allo studio della costruibilità dei poligoni regolari. Il punto di partenza dei suoi studi non fu tanto la questione negativa dell’impossibilità di certe costruzioni, quanto al domanda positiva: come si possono caratterizzare in modo completo i problemi di costruzione risolubili? Per quanto riguarda i poligoni regolari, e quindi il problema della ciclotomia, Gauss dimostrò che, con la riga e il compasso, si può dividere la circonferenza in n parti uguali, solo quando n è del tipo (2m+1) moltiplicato per 2p , dove il fattore tra parentesi deve essere un numero primo, e m e p sono due interi maggiori o uguali a zero.
Così possiamo dividere la circonferenza in 51 parti uguali (51=3x17), o in 20 parti uguali (20=2x2x5), ma non in 11, o in 9 o in 23 parti uguali. Utilizzando riga e compasso si possono ottenere, in questi ultimi casi, soluzioni approssimate, due delle quali, per i poligoni di 9 e 11 lati, sono dovute a Ipparco di Nicea (II secolo a.C.) e una, relativa all’ettagono, a Erone.
La costruzione esatta dei poligoni di sette e di nove lati si riconduce ai cosiddetti problemi di 3° grado, che esorbitano dall’ambito della geometria elementare. Da questo punto di vista le costruzioni stesse furono già considerate dagli arabi (intorno al 1000) e dai grandi algebristi italiani del Rinascimento (Pacioli, Bombelli, Ferrari, Tartaglia, Cardano) creatori dell’algebra, come oggi la concepiamo.
Merito di Gauss è anche quello di aver indicato, per primo, il metodo per dividere la circonferenza in 17 parti uguali.
Il giovane Gauss fu così profondamente impressionato dalla sua scoperta che immediatamente rinunciò alla sua intenzione di divenire filologo e decise di dedicare la vita alla matematica e alle sue applicazioni. In seguito egli guardò sempre a questa prima delle sue grandi conquiste con particolare orgoglio. Dopo la sua morte gli fu eretta a Gottinga una statua in bronzo al cui piedistallo fu data la forma di un poligono regolare di 17 lati; né si poteva trovare modo migliore di onorarlo.
Riassumiamo in una tabella le risposte alla domanda “è possibile costruire un poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio dato?” fornite da Gauss, e quelle note alla matematica ellenistica:

 

n

Conoscenze ellenistiche

Risultati Gauss

n

Conoscenze ellenistiche

Risultati Gauss

3

SI

SI

12

SI

SI

4

SI

SI

13

?

NO

5

SI

SI

14

?

NO

6

SI

SI

15

SI

SI

7

?

NO

16

SI

SI

8

SI

SI

17

?

SI

9

?

NO

18

?

NO

10

SI

SI

19

?

NO

11

?

NO

20

SI

SI

 

 

 

Ciò che è importante sottolineare è che, prima di Gauss, non era mai stata data una dimostrazione di impossibilità di una certa costruzione. Gauss risolse tutti i casi dubbi (n=7,9,11,13,14,17,18,19), per la maggior parte con una dimostrazione di impossibilità, ma nel caso n=17 dando una nuova costruzione.

Per curiosità citiamo il fatto che Herbert W. Richmond, già precedentemente citato a proposito del pentagono regolare, ha fornito anche una costruzione dell’eptadecagono alternativa rispetto a quella di Gauss, di quest’ultima più breve.

Per quanto riguarda l’ettagono regolare, la dimostrazione che il suo lato non è costruibile può essere condotta per assurdo, e richiede la conoscenza della teoria dei numeri complessi.

 

CURIOSITA’ SUL NUMERO 7________________________________________________

È affascinante, a mio avviso, citare come proprio il numero sette abbia ispirato recentemente il genio musicale di Nicola Piovani a comporre una suite dal titolo “Epta” (“sette” in greco): in questa opera, fra un movimento e l'altro, voci registrate recitano brevi brani ispirati al numero sette, al suo misterioso fascino nella tradizione poetica, mitologica, biblica, cabalistica. Il primo brano è proprio dedicato a"i poligoni regolari piani, quelli che si possono costruire con righello e compasso, dal triangolo al quadrato e così via, sino a uno di sette lati che non si riesce a realizzare:  i greci ci hanno provato per duemila anni, finché nell'ottocento è stato dimostrato che era impossibile costruire a quel modo figure geometriche".

poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
________________________________________________________________________


 

QUARTA PARTE
In laboratorio

  


“COSTRUIRE CON I POLIGONI REGOLARI……
STELLE e TASSELLATURE

Le figure geometriche che abbiamo imparato a costruire, per la loro regolarità, attraggono fortemente il senso estetico degli artisti: i poligoni regolari, insieme al cerchio, i poliedri regolari, la sezione aurea, sorpassando i limiti –solo in apparenza invalicabili- tra cultura umanista e scientifica, trovano largo utilizzo nel linguaggio pittorico e architettonico. Piergiorgio Oddifreddi provocatoriamente afferma che il matematico prova una triplice invidia nei confronti della penna dello scrittore, del pennello del pittore e della bacchetta del direttore d’orchestra, invidia che si manifesta in una specie di delirio di potenza, che lo spinge a ridurre la calda produzione artistica ai “freddi” numeri aritmetici e alle altrettanto “fredde” forme geometriche.
Vogliamo in questa lezione utilizzare i poligoni regolari come strumenti di piacevolezza visiva andando a costruire con essi tassellature e stelle.

 
POLIGONI REGOLARI STELLATI

 

poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
Santo Sepolcro; Chiesa S.Pancrazio-Firenze-

 

La suddivisione della circonferenza in parti uguali può essere utilizzata per costruire dei poligoni regolari stellati, ossia poligoni caratterizzati dal fatto di avere lati tutti uguali e angoli alternativamente concavi e convessi. Configurazioni di questo tipo, esagono, ottagono, decagono, dodecagono inscritto alla circonferenza, variamente  elaborate, costituiscono la base geometrica per motivi ornamentali presenti in molte decorazioni.
Esempi di tali intarsi marmorei sono diffusi di epoca romana, medioevale e rinascimentale; significativi sono quelli disegnati dall’Alberti per il Santo Sepolcro
nella Cappella Ruccellai nella chiesa di San Pancrazio a Firenze, e quelli prodotti da artisti islamici sulla parete absidale del duomo di Monreale.

  

 

 


Quando abbiamo definito il poligono regolare non abbiamo specificato che esso debba necessariamente essere convesso; tale condizione non è in effetti necessaria, anzi riduce il numero dei poligoni regolari che si possono avere per ogni n>3. Non possono esistere invero poligoni regolari concavi se non intrecciati, a meno che si consideri la regione esterna a un poligono regolare convesso un poligono regolare concavo.
Sappiamo che i poligoni regolari sono tutti inscrittibili in una circonferenza; proviamo a vedere cosa succede nei vari casi, disegnando una circonferenza, segnando n punti che suddividano la circonferenza in n archi congruenti (numerati da 1 a n) e congiungendo tali punti in sequenza in vari modi, sempre partendo da 1: per avere poligoni regolari i modi non possono essere casuali, perché per avere lati uguali è necessario che la differenza tra la cifra indicante un vertice e quella indicante un vertice precedente sia costante, in modo da avere archi, e quindi corde, di uguale lunghezza.
Il caso del triangolo è banale: i punti 1 2 3 ammettono le sole sequenze 1-2-3-1 o 1-3-2-1, che danno lo stesso triangolo.
poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
Nel caso del quadrilatero c’è la sequenza 1-2-3-4-1, che dà il quadrato;
la sequenza 1-3-1 non completa i vertici; partendo dal primo vertice non raggiunto si ha 2-4-2 e si ha un quadrilatero degenere in una coppia di segmenti contati due volte; la sequenza 1-4-3-2-1  è ancora il quadrato percorso, per così dire, in verso opposto.
Per n=5 si ha 1-2-3-4-5-1 (il pentagono regolare convesso), 1-3-5-2-4-1 (il pentacolo, o stella Pitagorica); le altre due possibili sequenze danno luogo ancora a questi due poligoni; è inutile, quindi, sorpassare la metà dei vertici, poiché si dà luogo agli stessi poligoni percorsi in verso opposto.
Gli angoli del pentagono sono di 104°, quelli del pentagono intrecciato di 36°

 

CURIOSITA’ SULLA STELLA A CINQUE PUNTE

Al pentagono regolare concavo, tra tutti i poligoni finora incontrati, spetta sicuramente lo scettro di quello più evocativo dal punto di vista dei suoi presunti significati onirici e fantastici. La stella a cinque punte è il suo nome più comune, ma ad essa ci si riferisce anche col termine pentagramma (dal greco pente, che vuol dire cinque e gramma, ovvero linea).Il suo più famoso utilizzo è quello fattone dai Pitagorici, che l’avevano eletto loro simbolo distintivo e rappresentativo: i seguaci della scuola di Crotone, che sapevano come costruire esattamente un pentagono regolare, avevano infatti adottato questo signum come segno di muto riconoscimento. Per i Pitagorici questa figura esprimeva l'armonia tra il corpo e l'anima, possedeva un significato mistico di perfezione, ed era considerata anche un simbolo apotropaico, capace di allontanare o di annullare le influenze maligne.
L'iconografia cristiana si serve della stella a cinque punte, probabilmente in riferimento alle cinque ferite del Cristo crocifisso, come un segno che per la sua forma chiusa corrisponde al cerchio e simboleggia l'unione d'inizio e fine in Cristo. Aveva forma di stella a cinque punte anche il Pentaculum Salomonis,  citato nella tradizione ebraica come sigillo usato da Salomone,.
Ritroviamo il pentagramma adottato anche nelle sette gnostico-manichee, così come tra gli alchimisti, per i quali il cinque era un numero sacro; esso venne ripreso anche da altre sette, a noi più vicine nel tempo, per esempio dai Bogomili che abitavano i balcani. Anche gli antichi indù conoscevano questo simbolo, ancora patrimonio della loro religione.
Il simbolo del pentagramma si ritrova nelle tombe egizie (in cui il cielo di stelle viene indicato da stelle a cinque punte, prive però del disegno interno), nei lavori in ceramica etruschi, su alcuni muri di Pompei, nei graffiti delle caverne alpine (il più delle volte risalenti al basso medioevo ed all'inizio dell'età moderna).
Nel medioevo esso veniva chiamato in Germania drudenfuss (piede di strega) e gli venivano attribuiti misteriosi poteri diabolici.
Il pentagramma rientra spesso tra gli strumenti adoperati nei rituali magici, come si evince dall'episodio dell'incantesimo contenuto nel Faust di Goethe, dove si racconta che Faust aveva appeso sulla porta del suo studio una stella a cinque punte e che, volendosi sbarazzare di Mefistofele, lo invitò ad andarsene, ma questi si rifiutò dicendo che il piede di strega sulla soglia gli impediva di uscire

Non posso uscire,
Me lo impedisce un piccolo ostacolo,
Il piede di strega sulla soglia”.

Giuseppe Balsamo (1743-1795), Conte Alessandro di Cagliostro, chiamava il pentagramma stella fiammeggiante e cercava di riprodurla facendo cadere i raggi di una lampada su un recipiente tondo di vetro pieno d'acqua. Sotto questa forma, con fasci di raggi o fiamme agli angoli ed una G al centro, il pentagramma svolge un ruolo molto significativo nel simbolismo massonico.

Il modello naturale di queste figure può essere ricercato nella simmetria a cinque raggi di parecchi echinodermi (come la stella di mare).
________________________________________________________________________
poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscrittiPer l’esagono si hanno le tre sequenze 1-2-3-4-5-6-1 che dà l’esagono regolare e 1-3-5-1 , 1-4-1 che non completano i vertici; completandoli, come per il quadrilatero, si hanno due esagoni regolari degeneri, il primo in due triangoli equilateri, il secondo in tre segmenti; non esistono quindi esagoni regolari intrecciati.

Il discorso si può ripetere per ogni n, vedi figure seguenti:

n= 7  (il poligono regolare convesso e due intrecciati, nessuno degenere)

 poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti

n=8  (il poligono regolare convesso, uno intrecciato e due degeneri)

 poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
Il modo in cui si congiungono i vertici  per ottenere i poligoni ricorda un argomento di algebra astratta e la somiglianza non solo non è casuale, ma spiega  in modo esaustivo l’argomento; tralasciando le argomentazioni, che richiedono nozioni per voi sconosciute, potete far vostro questo risultato: se n è primo si ottiene un poligono regolare intrecciato diverso per ogni diverso generatore compreso tra 2 e (n-1)/2.
Se n è composto, i numeri primi con n (sempre che non superino la metà di n) danno luogo a poligoni regolari intrecciati. Se h è invece un divisore di n, e sia n=hk, si ha un poligono regolare convesso di k lati (indichiamo questa operazione con +h) e h poligoni regolari congruenti al primo, la cui unione dà un poligono regolare degenere.
poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
Ad esempio, per n=9 abbiamo: l’ennagono regolare convesso(+1), un ennagono intrecciato (+2), tre triangoli equilateri (+3), un altro ennagono regolare intrecciato (+4) e nessun altro, poiché 5 supera 9/2.

Per n= 12 abbiamo: il dodecagono regolare convesso (+1), una coppia di esagoni regolari (+2), tre quadrati (+3), quattro triangoli equilateri (+4), un dodecagono regolare intrecciato (+5), sei segmenti (+6).
Gli altri disegni sono lasciati per esercizio

  



poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti

 

grafico riassuntivo: i poligoni regolari
poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti

 

 

LE TASSELLATURE

Procuriamoci ora un cartoncino di forma quadrata, uno spillo e un foglio di carta.
Tagliamo il quadrato lungo una diagonale ed ecco pronti due triangoli isosceli. Su uno dei due, con uno spillo, facciamo un foro nel centro, là dove si incontrano le bisettrici. Ora lo appoggiamo sul foglio di carta e con lo spillo buchiamo il centro fino a lasciare il segno nel foglio sottostante. Poi ribaltiamo il triangolo su un cateto e di nuovo buchiamo il centro, lo ribaltiamo sull’altro cateto e buchiamo ancora; andiamo avanti così, ricoprendo una zona quadrata della carta sottostante. Poi ribaltiamo lungo l’ipotenusa e ricopriamo un’altra zona quadrata continuando a bucare il centro. Andiamo avanti nello stesso modo, ricoprendo e bucando,  senza lasciare spazi vuoti.
poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
Ora mettiamo da parte il cartoncino e, con una matita, congiungiamo i forellini della carta. Guardiamo cosa viene fuori…
poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
Sembra proprio un pavimento fatto di piastrelle ottagonali e quadrate…
È sorprendente sapere che, oltre a questa configurazione fatta di ottagoni e quadrati, esistono soltanto altri 16 diverse piastrellature (o tassellature, o reticoli), capaci di creare un simile effetto di simmetria. Ad esempio, utilizzando lo stesso procedimento di foratura, con due diversi cartoncini, (metà triangolo equilatero per il primo e la terza parte di un ottagono per il secondo), si possono ottenere le seguenti piastrellature:
poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
Ma che cos’è, di preciso, una tassellatura?
Una tassellatura regolare piana è una configurazione costituita da poligoni regolari dello stesso tipo, che può coprire l’intero piano senza interstizi e senza dar luogo a  sovrapposizioni.
E come si ottiene una tassellatura regolare? Fra tutti i possibili poligoni regolari solo il triangolo equilatero, il quadrato e l’esagono, quando sono opportunamente ruotati o traslati, hanno la proprietà di ricoprire il piano. In termini matematici i tre reticoli modulari sono chiamati piastrellature o tassellature o mosaici regolari.
Qual è il motivo di una simile restrizione di possibilità?
La possibilità di formare piastrellature regolari è assicurata unicamente da quei poligoni regolari i cui angoli convergenti in un vertice abbiano sempre come somma 360°.
Ad esempio pensiamo di voler ricoprire un piano con piastrelle ottagonali. Come è facile verificare, ciascun angolo interno dell’ottagono misura 135°. Volendo ricoprire il piano, cominciamo con accostare due ottagoni; l’angolo che si forma è il doppio di 135°, ossia 270°; ora, per arrivare a 360° e ricoprire il piano, rimane uno spicchio di 90°. Troppo stretto per accostare un terzo ottagono….
poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
…Ma giusto per inserirci un quadrato!
poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti

Quindi per ricoprire il piano non possiamo usare solo quadrati ma dobbiamo intervallarli con quadrati.

Risulta banale verificare che ci sono solo tre modi per piastrellare il piano con poligoni regolari tutti dello stesso tipo: possiamo usare infatti solo triangoli, quadrati ed esagoni. Per convincersene basta fare gli stessi calcoli fatti per l’ottagono.
poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti

E adesso pensiamo a quanto la natura sia intrisa di “consapevolezza geometrica”, guardando la forma delle celle per il miele delle api, che, costruite a forma esagonale, offrono anche il maggior risparmio sulla cera! E guardiamo anche le pozze fangose, quando l’acqua evapora: l’argilla crea placche pressoché esagonali perché questa forma riduce al minimo la lunghezza delle crepe e quindi anche la forza per produrle…

poligoni regolari e irregolari inscritti e cricoscritti
L’uomo invece fa largo uso della bellezza delle simmetrie dei poligoni regolari nelle piastrellature che realizza nelle opere artistiche come quelle che possiamo ammirare a Granata, in Spagna, nel palazzo fortezza del Sultano, la famosa Alhambra. Già nel 1400, gli artisti islamici che decorarono il palazzo realizzarono tutti i possibili reticoli simmetrici.
Dovete sapere infatti che nell’arte araba non sono ammesse rappresentazioni di esseri viventi, e perciò la loro fantasia si sbizzarriva nella creazione di stupende figure geometriche.
Fu merito dell’olandese Cornelius Escher, (famoso per le sue incisioni) dopo anni di studi, la scoperta che in fondo erano sempre e soltanto 17 gli schemi che si ripetevano in quella grande varietà di decori della reggia. Fu poi l’ungherese Gorge Polya, a dimostrare che oltre quelli non ne potevano esistere altri: era il 1924, quando, dopo quasi seicento anni, era stato svelato il mistero dei decori dell’Alhambra!


Verifica

Risolvi gli esercizi creando un file per ogni grafico e salvando il tutto in una cartella con il tuo nome

 

ESERCIZIO 1:       a)Costruisci un decagono regolare (2)
b)Spiega la costruzione (2)
c)Stabilisci di quante e quali simmetrie gode. (2)
d)Dal vertice di un suo angolo conduci le diagonali e dimostra che l’angolo in questione risulta così diviso in parti uguali.(2)

ESERCIZIO 2:       a)Costruisci un esagono regolare. (2)
b)Enuncia e dimostra il teorema su cui si basa la costruzione eseguita.(3)
c)Dimostra che l’apotema dell’esagono è la metà del lato del triangolo equilatero inscritto nella stessa circonferenza. (2)
d)Prolunga fino a incontrarsi tre lati, a due a due non consecutivi, dell’esagono. Che poligono ottieni?  Perché? (2)
e)Confronta il lato di quest’ultimo con quello dell’esagono dato. (2)

ESERCIZIO 3:       a)Crea una Macro che tracci un quadrato di lato assegnato e denominala QUADRATO         (2)
b)Costruisci un esagono utilizzando il comando di Cabri “poligono regolare” e sopra ciascun lato dell’esagono costruisci il quadrato esterno all’angolo utilizzando la Macro QUADRATO.  (1)
c)Dimostra che i vertici liberi dei sei quadrati così ottenuti individuano un dodecagono regolare..     (2)

ESERCIZIO 4        a)Determina i primi undici numeri interi per i quali è possibile la costruzione con riga e compasso del corrispondente poligono regolare inscritto in una data circonferenza.(3)
b)Per n=257 la data costruzione è possibile? (1)

 

NOTA per l’insegnante:_____________________________________________________
Il numero tra parentesi accanto a ogni quesito indica il punteggio massimo ad esso assegnato.
La legge che determina il voto della prova è la seguente

Voto= 2+ 8(punteggio ottenuto)/(punteggio massimo)

Da cui si evince che il voto minimo è 2, il voto massimo è 10, e per ottenere la sufficienza occorre e basta ottenere la metà del punteggio totale
Naturalmente se dovesse essere necessario, in base all’esito complessivo della prova,
rivedere i punteggi assegnati (per adesso aprioristicamente), ai singoli quesiti, si può fare
tranquillamente utilizzando sempre la stessa funzione per calcolare il voto.
________________________________________________________________________

 


 BIBLIOGRAFIA

 

G.Melzi-L.Tonolini: Il metodo della geometria 1, Minerva Italica

W. Maraschini-M.Palma: Multi Format 11 (Geometria del piano), Paravia

L.Scaglianti: L’evoluzione della geometria 1, CEDAM       

R.Fortini-L.Cateni: Il mondo geometrico, Le Monnier

A.Cerasoli: Mr.Quadrato (a spasso nel meraviglioso mondo della geometria) Sperling & Kupfer

G.Ottaviani: Appunti per il corso SSIS (I anno) a.a. 2006/2007

Courant-Robbins: Che cos’è la matematica

CABRI GEOMETRY II – Guida per Macintosh, Windows, Ms-Dos

A.Scimone:  La sezione aurea - Sigma

H. Biedermann, Enciclopedia dei Simboli – Garzanti

P.Odifreddi: “Penna, pennello e bacchetta–Le tre invidie del matematico” GLF Ed. Laterza

P. Odifreddi, “Divertimento geometrico – Le origini geometriche della logica da Euclide
 a Hilbert”, Bollati Boringhieri, Prima edizione 2003

 

fonte: http://www.scuoletoscane.it/public/videolezioni/testi/000135000020000100000020000170.doc

autrice: Francesca Vannucci

 

 

 

 

 

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