Monomi, binomi, polinomi

 


 

Monomi, binomi, polinomi

 

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Monomi, binomi, polinomi

 

ALGEBRA

monomi, binomi, polinomi

NOZIONI DI BASE

 

In greco, νόμος = usanza, consuetudine, legge. Deriva dal verbo νέμω che significa distribuire.
Le operazioni algebriche di base valgono tra i termini che hanno la stessa “legge”, forse in questo consiste la difficoltà di approccio alla matematica: con il tempo, si impara a distinguere.
A rendere diversi tra loro dei termini, con leggi proprie, sono essenzialmente due fattori:

  • il tipo di incognita: non posso confondere a con b: sono leggi diverse
  • il grado dell’incognita: incluse le radici: non posso confondere a con a3

 

Pertanto se in una espressione ( o equazione se richiede l’uguaglianza allo zero) compaiono termini omogenei, posso tra loro sommarli (o sottrarli); se i termini non seguono la stessa legge, posso al massimo mettere in evidenza una parte, ma solo se questo è comodo.
Con la moltiplicazione e divisione di solito non ci sono mai grossi problemi, quindi si dovrà prestare attenzione specialmente alle parti in somma. Per questo serve molto esercizio.

Monomi:
Finchè dei termini appaiono moltiplicati tra loro, sebbene il grado ed il tipo di incognita siano diversi tra loro, tale espressione è costituita di un monomio:

2 a3x y2    è un monomio, di 6° grado  ( 0 + 3 + 1 + 2)

se un’espressione contiene monomi simili, essi possono essere sommati, o ricevere elevazione a potenza con certe regole:

2ab + ab – ab2  =  ab ( 3 – b )     ;     2ab . ab2 =  2a2b3

Binomi:
Si parla di un binomio quando la somma presenta due leggi diverse tra loro:

3a + 2b       è un binomio

In algebra è assai comodo disporre di alcune nozioni sui binomi, soprattutto per la caratteristica di essere semplificati in blocco, e dare adito a prodotti notevoli:

( a + b ) 2  = ( a + b ) ( a + b ) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

( a - b ) 2  = ( a - b ) ( a - b ) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2

( a + b ) ( a - b ) = a2 + ab - ab - b2 = a2 - b2

( a + b ) 3  = (a2 + 2ab + b2) ( a + b ) = a3 + 2a2b + ab2 +  a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

( a - b ) 3  = (a2 - 2ab + b2) ( a - b ) = a3 - 2a2b + ab2 -  a2b + 2ab2 - b3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

L’uso di queste relazioni fisse è assai comodo per tutto lo sviluppo futuro della materia.

Polinomi:
Infine, molti monomi diversi tra loro in una sola espressione determinano un polinomio, il quale può anche avere una sola incognita a diversi gradi di elevazione a potenza:

x2 + 3y – z          ma anche           P(x) = x4 – 2x3 + x2 + x + 5

Espressioni di questo tipo descrivono sempre una curva, che a volte è una legge tecnica:

σ  =  N  ω     +                 M ’                        (stabilità del montante di un ponteggio)       
A                 φ W + υ ( 1 – N / Ne)

 

Ordinare il polinomio:

È buona norma, ordinare il polinomio per grado, mettendo per primo il monomio di esponente più alto, decrescendo fino al termine noto, che viene moltiplicato per x° ovvero per 1.
Consideriamo ad esempio il seguente polinomio:

P(x) = 2x + 3x2 + 9 + 2x3 + x4     va ordinato:    P(x) =  x4 + 2x3 + 3x2 + 2x1 +9(x°)

 

SOLUZIONI DEI POLINOMI

 

In generale:
Sarebbe maggiormente chiaro se già si conoscesse un minimo di geometria analitica: abbiamo visto che un’espressione è composta di vari monomi e finora sembrava che i termini fossero astratti e privi di significato. Ma i polinomi, riferiti al sistema inventato da Nicola d’Oresme nel 1300 e perfezionato da Cartesio nel 1600 noto come sistema cartesiano, descrivono una curva: il luogo geometrico dei punti che appartengono a quella legge.
Finchè sono incognite astratte non è così chiaro il loro senso, ma laddove appartenessero ad una legge ben definita ( nella formula della tensione nel montante del ponteggio, ogni simbolo ha un valore ben preciso: σ è la tensione, ω la snellezza, φ coefficiente di adattamento plastico, N ed M sono sforzo normale e momento.. ) potrebbe essere utile ottenere un valore preciso risultante dal valore immesso di ogni incognita.
Fondamentale, vedremo, è il valore per cui la curva si annulla, ovvero lo zero (0).
Tale valore è detto soluzione o anche radice: geometricamente indica il passaggio della curva per uno degli assi ( x – y ), ma algebricamente indica per quali valori il polinomio si annulla.
Troveremo tre casi principali da cui è possibile risolvere tutti gli altri:

  • soluzioni di primo grado: una soluzione
  • soluzioni di secondo grado: fino a due soluzioni
  • soluzioni di terzo grado: fino a tre soluzioni, useremo Ruffini.

 

Soluzioni di primo grado

Dette anche lineari, poiché il loro grafico è una retta. Vediamo un esempio: voglio sapere quando un monomio si annulla: tramuto l’espressione in un’equazione, nello specifico, uguale a zero:

P(x) = 3x – 6       →       3x – 6 = 0       da cui      x = 2

In effetti, laddove x valesse 2, il polinomio andrebbe ad annullarsi:

P(x) = 3 . 2 – 6       →        P(x)  =   6 – 6  =  0

Questo concetto nella sua semplicità è la base di ogni futuro ragionamento.

 

Soluzione di secondo grado

In geometria analitica le curve di secondo grado sono parabole, e così tutte le curve di grado pari.
Una parabola può anche non toccare mai l’asse delle x: è una curva con due rami entrambi infinitamente positivi o infinitamente negativi, quindi se il vertice è rispettivamente sopra o sotto l’asse non troveremo mai soluzioni.
Come fare a determinarlo? Le soluzioni di secondo grado presentano una formula con la radice quadrata; osservando il radicando, che chiameremo col simbolo greco otterremo la risposta.
Osserviamo queste tre parabole, e ricordiamo l’importanza del discriminante :



Se il ∆ > 0
La parabola presenta
due soluzioni reali e distinte

Se il ∆ = 0
La parabola presenta
una sola intersezione con l’asse delle x, ovvero due soluzioni reali e coincidenti

Se il ∆ < 0
La parabola non presenta intersezioni con l’asse delle x, e le soluzioni diventano numeri complessi


Procediamo passo per passo: dobbiamo ordinare il polinomio come segue; i coefficienti a b c generalizzano le cifre che potrebbe presentare l’espressione specifica:

P(x) = a x2  + b x + c  = 0

Per risolverla operiamo il seguente trucco, noto dai tempi dei persiani: si moltiplica tutto per “4a”, e si aggiunge da ambo le parti “+b2” , ottenendo:

4  a2 x2  + 4 a b x + b 2 + 4 a c   =   + b 2

Ricordando la regola del quadrato del binomio, tale per cui   ( a + b ) 2 =  a2 + 2ab + b2     
possiamo scrivere la parte sottolineata come:

( 2 a x  + b ) 2 =  b2 – 4 a c

Ora posso estrarre la radice e finalmente la “x” non è di secondo grado:
 



2a x  + b  =  ± √  b2 – 4 a c            da cui          2a x   =  – b  ± √  b2 – 4 a c

ed in definitiva, con un ultimo passaggio, otteniamo la formula generale per risolvere le equazioni di secondo grado:

 


Nota:   b2 – 4 a c  viene chiamato (delta), il discriminante.

 

Soluzione di terzo grado: il metodo di Ruffini

 

Un polinomio di terzo grado, o superiore, può essere visto come il risultato del prodotto di più monomi semplici, di primo grado. Se riusciamo a riportare l’espressione di terzo grado al secondo grado, potremmo risolverla con la formula generale. Vediamo un esempio:

x3 + 2x2 – x – 2       ↔     ( x + 1 ) ( x2 + x – 2 )      ↔      ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x – 1 )

In definitiva, se ogni monomio di primo grado fosse nullo, uguale a zero, avremmo i valori per cui si annulla anche il polinomio ( fate la prova ):

x – 1 = 0    →      x1 =  1
x + 1 = 0    →      x2 =  – 1
x + 2 = 0    →      x3 =  – 2

Un metodo veloce per individuare almeno una soluzione, riducendo il terzo grado al secondo grado è quello di Ruffini. Anche qui è da tener conto dei coefficienti del polinomio, ordinato:

P(x) = ax3 + bx2 + cx + d  = 0

In una griglia come in figura si immettono i coefficienti, lasciando fuori il termine noto:

 

a

b

c

d

N°prova

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si parte abbassando il primo termine ed inserendo un numero di prova, per noi z ; si procede inserendo sotto a “b” il prodotto di a . z , successivamente, sotto la riga, si riporta il risultato della somma b + az. Tale valore si riporta sotto a “c”, si ripete la somma, fino ad arrivare alla colonna del termine noto “d”.

 

a

b

c

d

z

a.z

….

 

a

b+a.z

= 0

Se quest’ultimo valore si annulla in somma il termine noto d, allora z è una soluzione.
Il polinomio di terzo grado si riduce ad un binomio ( x – z ) che moltiplica un secondo grado.
I coefficienti della restante parte in secondo grado sono quelli scritti sotto la riga, sotto a, b, c.
Ad esempio, per il polinomio precedente:

x3 + 2x2 – x – 2

 

1

2

–1

 – 2

-1

– 1

–1

+ 2

 

1

1

–2

= 0

Quindi il valore x = – 1  è una soluzione, in binomio diventa ( x + 1 ) = 0, ed i tre coefficienti del polinomio di secondo grado sono scritti sotto la riga. Posso scrivere:

( x + 1 ) ( x2 + x – 2 )

Quando si prova con Ruffini, usare dei numeri semplici: lo 0,  + 1 ,  + 2  … 
RACCOGLIMENTO DI TERMINI

 

NOZIONI BASE
Quando si formula una legge in fisica o in economia, si legano tra loro in un’espressione algebrica diversi termini che rappresentano i diversi fenomeni studiati. Inizialmente la legge appare assai scomoda da utilizzare, quindi si cerca di snellirla il più possibile. Nei calcoli può succedere che una stessa quantità risulti presente in più termini: la prima operazione da compiere in tal caso è di raccoglierla a fattor comune, ossia evidenziarlo tramite le parentesi, isolando il termine che va a moltiplicare i restanti, chiusi tra parentesi. Quando si usano tali parentesi, va ricordato come la prima utilizzabile è la tonda ( .. ) , ma qualora sia già presente la tonda si utilizzano le quadre […] mentre, in definitiva, necessitando di una terza segnaletica di separazione si usano le graffe {…} .
La sequenza corretta è  { [ ( ) ] }  :

ad esempio:              3.{ a + b.[ c (1 + a ) + 3 ] + (a + 5) }

In termini logici, nessuno direbbe: “oggi io vado al cinema ed oggi lei va al cinema.”
È corretto dire, invece: “ io e lei andiamo al cinema, oggi.”
A volte può succedere che sia utile semplificare, altre volte è meglio ribaltare il metodo ed utilizzare la regola in senso inverso, complicando apparentemente i calcoli ma in visione di una maggiore e più efficace semplificazione.
Ovviamente chi è portato a compiere passaggi logici anche se astratti è avvantaggiato, ma nemmeno il più bravo può arrivare a capire quando è il caso di semplificare o invece di complicare il calcolo senza una gran quantità di esercizio: le regole sono poche e semplici, le applicazioni, molteplici.

 

Mettere in evidenza: il fattore comune

 

Dalla nomenclatura appresa alle elementari forse, distinguiamo i termini in addizione, in sottrazione, in divisione ed in prodotto come addendi, sottraendi, dividendi e fattori: il fattore è una quantità che ne moltiplica delle altre. In algebra ed in programmazione, il segno delle parentesi è più che sufficiente per segnalare l’interruzione.
Il metodo pratico consiste nell’isolare la parte residua tra parentesi e tenere fuori la quantità del fattor comune che si intende moltiplicare ognuno dei termini tra parentesi singolarmente.

2 A  –  4 B   →    2  (  A – 2 B )

Come si nota, il 2 era presente in ambo i termini, ma se si osserva il monomio 4B, esso è costituito da 2.2.B, pertanto solo una parte di tale prodotto sarà fattor comune.
Con i termini numerici si deve ricordare che il numero messo in evidenza è virtualmente diviso ai termini, e non sottratto. Nei formati delle incognite alfabetiche pertanto, si andrà a ridurre l’esponente, sempre ricordando che ogni simbolo alfabetico dei monomi rappresenta una legge a se:

2 a3 x2 y(m)  +  4 b a2 x y(n)      →    2 a2 x y(m) [ a x + 2 b y( n – m ) ] 

Tale metodo è applicabile anche per invertire i segni di un’espressione : difatti se la cifra messa in evidenza contiene anche il segno “  –  “ si intende moltiplicare ogni segno nelle parentesi, invertendo il + in  – e viceversa.
Non necessariamente deve esserci anche una cifra: mettere il “meno” in evidenza significa di per se mettere  – 1 in evidenza, omettendo l’unità poiché sottintesa:

 – x3 + 2 x2 – 3x + 5       →        – ( x3 – 2 x2 + 3x – 5 )    

 

Raccoglimento parziale

 

A volte sembra non essere chiaro quale cifra mettere in evidenza, specie nei polinomi complessi.
Il trucco sussiste nell’immaginare il polinomio come la somma di due polinomi, spezzandolo:

P(x) =  x3 + 2 x2 + 3x + 6

P(x) = P’(x) + P”(x)    =    ( x3 + 2 x2 )  +   ( 3x + 6 )

In ognuno è possibile ora evidenziare una parte:

P(x) =   x2  ( x + 2 )  +  3 (  x + 2 )

In tale forma si nota che il binomio ( x + 2 ) è comune ad entrambi i membri in somma: quindi si può raccogliere nel seguente modo:

P(x) =  ( x2  + 3 )  ( x + 2 ) 

Ora ogni binomio è riportato come un prodotto, ed il polinomio rientra nella forma di un monomio.

 

Raccoglimento misto

 

È l’unione del fattor comune e del raccoglimento parziale: se in un polinomio appare una cifra ridondante è inutile portarla appresso, e si comincia con il metterla in evidenza.

P(x) =  ax3 + 2 a x2 +3a x + 6 a

P(x) =    a  ( x3 + 2 x2 + 3x + 6 )

La parte dentro parentesi può essere ulteriormente semplificata con il raccoglimento parziale, ma potrebbe anche costituire un prodotto notevole. Per effetto della presenza del prodotto, le parentesi quadre all’ultimo passaggio possono essere trascurate.

P(x) =  P’(x) + P”(x)    =   a  [ ( x3 + 2 x2 ) + ( 3x + 6 ) ]   =  a [ x2  ( x + 2 )  +  3 (  x + 2 ) ]

P(x) =   a  ( x2  + 3 )  ( x + 2 ) 

 

Applicazioni:
In un’equazione fratta sarà possibile semplificare interi binomi con semplicità:

    x2  + 4 x + 4       =                  ( x + 2 )2                =             ( x + 2 )2            =       x + 2    
x3 + 2 x2 – 4x – 8           x2 ( x + 2  ) – 4 ( x + 2 )              ( x2 – 4 ) ( x + 2 )              x2 – 4

a sua volta il denominatore è un prodotto notevole: somma per differenza:

 x + 2    =            x + 2                   =        1__
x2 – 4          ( x + 2 )  ( x – 2 )                x – 2

 

Abituarsi a determinati passaggi è utile sia a sviluppare la logica, sia a prepararsi alle future applicazioni nelle quali intere funzioni potranno elidersi e semplificarsi in blocco.

 

Fonte: http://www.webalice.it/greendog/cs/files/matematica12.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

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