Equazioni

 

 


 

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EQUAZIONI DI II GRADO

 

Qui di seguito andremo ad esaminare le equazioni di II grado in un’incognita.

Un’equazione si dice di II grado quando il grado (l’esponente) massimo dell’incognita (che di solito è indicata con x, ma può essere indicata con y, con z, con t ecc.) è due.

Ci sono vari tipi d’equazioni di II grado; esse possono essere complete o incomplete.

Le incomplete possono essere spurie e pure.

Vediamo i vari tipi in dettaglio.

 

-EQUAZIONI DI II GRADO COMPLETE

Un’equazione del tipo ax2+bx+c=0 è un’equazione di secondo grado completa ridotta in forma normale; dove a è il coefficiente di x2, b è il coefficiente di x e c è il termine noto; a, b, c sono numeri sia positivi sia negativi e si vedono subito nell’esercizio.

Si dice completa perché presenta sia a, sia b, sia c, cioè presenta tre termini: il termine quadratico ax2, il termine di primo grado bx e il termine noto.

Per risolvere un’equazione di secondo grado bisogna calcolare il D con la seguente formula:

 D = b2-4ac, ossia si sostituiscono ad a, b, c i valori che hanno nell’equazione. Si possono avere tre casi: il ∆ può essere un numero positivo, uguale a zero (nullo) o negativo.

a) Se il D è un numero positivo allora le soluzioni sono due e sono distinte; si calcolano con la formula risolutiva:

equazioni, ossia equazioni e equazioni.

 

b) Se il D=0 allora ci sono due soluzioni coincidenti (in pratica uguali) e si calcolano con la formula equazioni. (Perché? Se il ∆=0 equazioni equazioni; x1 diventa uguale a x2)

c) Se il D<0 l’equazione è impossibile, cioè non ha soluzioni. (Perché? Perché la radice quadrata di un numero negativo non esiste).

 

Esempi

 

  • Risolvere la seguente equazione: x2-6x+8=0.

Osserviamo dal testo dell’esercizio che a =1 b=-6 c =8 quindi D = b2-4ac= (-6)2-4×1×8= 36-32=4>0; il delta è positivo allora ci sono due soluzioni reali e distinte che calcoliamo con la formula risolutiva equazioniequazioni ossia equazionie equazioni.

 

  • Risolvere la seguente equazione: x2+6x+9=0; vediamo che a =1 b=+6 c =9 il D= (6)2-4×1×9= 36-36=0, quindi siamo nel secondo caso e ci sono due soluzioni reali e coincidentiequazioni.

3) Risolvere la seguente equazione: 3x2+2x+2=0; vediamo che a =3 b=+2 c =2 il D= (2)2-4×3×2= 4-24=-20 il ∆<0 quindi l’equazione è impossibile.

 

Come si ricava la formula risolutiva?

Data un’equazione del tipo ax2+bx+c=0, possiamo riscriverla  mettendo in evidenza la a come equazioni(se eseguite il prodotto vedete che si ottiene il trinomio di partenza!). Dentro la parentesi tonda aggiungiamo e togliamo il seguente termine b2/4a2 e si ottiene equazioni. La a si può togliere perché dividiamo entrambi i termini dell’equazione per a che è diverso da zero, e notiamo che i primi tre termini dentro la parentesi tonda equazionisono il quadrato del binomio (x+b/(2a)) cioè equazioni=equazioni, quindi risolvere l’equazione equazionisignifica risolvere equazioni; da cui isolando equazioni si ha equazioni= equazioni; riduciamo i termini al secondo membro allo stesso denominatore si ha  equazioni=equazioni; calcoliamo equazionida cui equazioni(dove si è portato fuori dalla radice 4a2 al denominatore). Infine sommando i due termini al secondo membro e indicando b2-4ac=D otteniamo la formula risolutiva equazioni

(Si consiglia di leggere anche l’articolo “Equazioni di II grado complete”, perché lì si esamina anche la formula risolutiva ridotta).

 

-EQUAZIONI SPURIE

Un’equazione di II grado si dice Spuria quando manca il termine noto C; cioè è della forma ax2+bx=0. Ha due soluzioni distinte, di cui una sempre uguale a zero.

Questo tipo si equazioni si risolvono velocemente scomponendo l’equazione con il raccoglimento a fattore comune ossia  mettendo in evidenza la x:

ax2+bx=x(ax+b)=0; di qui poiché il prodotto di due numeri è uguale a zero quando uno dei due fattori è uguale a zero, si pone x=0 e ax+b=0; x=0 dà sempre la soluzione 0 e l’altra equazione ax+b=0 dà come soluzione x=-b/a.

 

Esempi

1) Risolvere la seguente  equazione 5x2-3x=0  si mette in evidenza la x e si ha:

x(5x-3)=0; poiché un prodotto si annulla quando uno dei fattori è uguale ha zero si pone x=0 e 5x-3=0.x

Quindi una soluzione è x=0; l’altra si ricava risolvendo l’equazione di I grado 5x-3=0 e cioè 5x=3 x=3/5.

2) Risolvere la seguente  equazione 8x2+4x=0:  si mette in evidenza la 4x e si ha

4x(2x+1)=0 da cui 4x=0 che porta alla soluzione x=0 e 2x+1=0 che, ricavando la x, dà la soluzione x=-1/2

 

 

-EQUAZIONI PURE

 

Un’equazione di II grado si dice Pura quando manca il termine della x (b=0) ossia è della forma ax2+c=0.

Questo tipo di equazione si risolve semplicemente isolando, ricavando, la x2 (cioè mettendo la x2 da una parte e i numeri dall’altra come un’equazione di I grado!) ossia  ax2=-c quindi x2=-c/a. Di seguito le due soluzioni si calcolano estraendo la radice quadrata di –c/a:equazioni.

Dovendo calcolare la radice quadrata di –c/a, l’equazione ha due soluzioni opposte se –c/a è ≥0 oppure è impossibile se –c/a <0 (la radice quadrata di un numero negativo non esiste).

 

Esempi

 

1) Risolviamo le seguente equazione 2x2-8=0:   spostiamo -8 a destra che diventa 8; 2x2=8; dividiamo 8 per 2, che è il coefficiente di x2,  x2=8/2=4 e calcoliamo infine la radice quadrata di 4, perché è un numero positivo, da cuiequazioni, cioè ci sono due soluzioni reale e opposte.                                                                                                          

 

2) Risolviamo la seguente equazione x2+25=0:  x2=-25, l’equazione è impossibile  perché non esiste la radice quadrata di –25.

 

 

*Ovviamente per risolvere l’equazioni pure e spurie si può usare anche la formula risolutiva sostituendo al  posto di b o c il numero 0; però questo è un procedimento + lungo e - appropriato.

 

Cosa succede se in un’equazione di II grado mancano sia la b che la c?

Un’equazione di II grado con b=0 e c=0 è del tipo ax2=0 e si dice monomia.

E’ un caso particolarissimo di equazione di II grado ( non capita quasi mai di incontrarlo negli esercizi a scuola!). Si risolve come un’equazione pura dove c=0 quindi ricavando x2 si haequazioni da cui equazioni; le due soluzioni sono sempre coincidenti e uguali a zero.

 

Cosa succede se in un’equazione manca la a?

L’equazione, dove non c’è la a, e quindi dove non c’è il termine quadratico, non è più di II grado, ma di I.

 

Cosa si fa se l’equazione non è presentata in forma normale?

Si riduce in forma normale eseguendo tutte le operazioni come in una normale espressione algebrica (prodotti, scomposizioni, m.c.m. ecc.), poi si sommano tutti i termini con x2, tutti i termini con le x e tutti i numeri. Si vede il tipo di equazione (se è completa, incompleta spuria o pura) e infine si risolve con il metodo più appropriato.

 

Esempi

1) Risolvere la seguente equazione equazioni: calcolando il quadrato del binomio al primo membro e riducendo allo stesso denominatore 2 si ha equazioni; togliendo il denominatore comune si ha equazioni; portando tutti i termini al I membro si ha equazioni; sommando i termini simili si ha equazioni, che è un’equazione completa, dove a=1 b=-5 c=-5 quindi ∆=(-5)2-4∙1∙(-5)=25+20=45>0 equazioni 

2) Risolvere la seguente equazione equazioni; poiché è un’equazione fratta calcoliamo il campo d’esistenza ed il m.c.m. dei denominatori: C.E. x≠+3,-3 ed il m.c.m=x2-9; riduciamo allo stesso denominatore equazioni; togliamo il denominatore comune ed eseguiamo tutte le operazioni equazioni; portiamo tutto allo stesso membro e sommiamo i termini simili equazioni; si ha un’equazione completa, dove a=2 b=-9 c=-45 quindi

∆=(9)2-4∙2∙(-45)=81+360=441>0 equazioni 

equazionie equazioniche è non accettabile perché il C.E. x≠+3,-3.

 

 

 

Fonte: http://www.matemarita.it/wp-content/uploads/2008/11/teoria-equaziigrado.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

Parola chiave google : Equazioni tipo file : doc

 

 


 

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EQUAZIONI DIFFERENZIALI

 


Derivate

Una funzione y = f(x) è rappresentata sul piano cartesiano da una curva. Anche una retta è
un tipo particolare di curva : è una curva a "pendenza" costante.

Una curva qualunque, invece, ha in generale, punto per punto, una pendenza diversa.

01 Pendenza.

Vediamo ora di definire quantitativamente il concetto di pendenza. Già ritroviamo la
pendenza indicata in percentuale nei cartelli di pericolo nelle strade di montagna.

La definizione di pendenza in matematica è analoga a quella utilizzata nei cartelli stradali. Una
pendenza del 10 % ha il seguente significato geometrico :

equazioni

La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale ed il cateto orizzontale del triangolo rettangolo 
così come indicato in figura. Quindi, in questo caso, pendenza = 10 % = 10 / 100 = 0,1.

Se il cateto verticale fosse di 100 metri come quello orizzontale, la pendenza sarebbe del 100 %,
ovvero uguale ad 1, e corrisponderebbe ad un angolo di 45° :

equazioni

Col crescere del cateto verticale si hanno pendenze sempre maggiori fino all'infinito. Per esempio,
una pendenza del 700 %, ovvero uguale a 7, significa :

equazioni

Si noti che col crescere della pendenza, l'angolo alla base (a sinistra) tende ad avvicinarsi sempre più a 90°. 
Quando l'angolo alla base sarà di 90°, la pendenza sarà infinita

La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale e quello orizzontale.

Se riportiamo questa definizione su una curva, possiamo definire in un punto la pendenza di quest'ultima
tracciando la tangente alla curva nel punto specificato :

equazioni

Nel grafico, la curva rappresenta la funzione y = f(x). La pendenza della curva nel punto P è la pendenza
della retta tangente alla curva tracciata  nel medesimo punto P.

Punto per punto, la pendenza in generale è diversa :

equazioni

Nell' esempio, in P è positiva, in Q è nulla (la retta tangente è orizzontale) ed in R è negativa.

02 - Derivata.

La pendenza di una curva in un punto si chiama derivata della funzione in quel punto.

Il concetto di derivata è di fondamentale importanza e costituisce la base del calcolo differenziale. Con le 
derivate si può studiare l'andamento di una funzione oppure calcolare le soluzioni di equazioni le cui incognite
non sono semplici numeri, ma funzioni. Questi tipi di equazioni si chiamano equazioni differenziali.

La derivata è essa stessa una funzione in quanto, punto per punto, essa assume valori in corrispondenza della x. 
La derivata della funzione y = f(x) è quindi una funzione della x e si indica con la scrittura y = f ' (x). Essa si chiama 
anche derivata prima.

Essendo la derivata prima una funzione, se si fa la derivata di questa, si ottiene la derivata seconda y = f '' (x).
Dalla derivata seconda si ottiene la derivata terza e così via.

03 - Studio di funzione.

Vediamo ora alcuni esempi in cui di ciascuna funzione data definiremo punto per punto sia la derivata prima
che la derivata seconda.

Consideriamo la funzione y = x + 1. Essa è rappresentata nel piano cartesiano dalla retta obliqua in colore nero :

equazioni

La pendenza di una retta è ovviamente costante in ogni suo punto per cui la sua derivata è costante. In questo
caso, formando la retta un angolo di 45°, la derivata è uguale ad 1 in ogni punto della retta. In rosso vediamo
raffigurata la funzione derivata prima che risulta così essere y = 1. La derivata della derivata prima è la derivata
seconda. Essa è rappresentata in blu ed è 0 in ogni punto perché la derivata prima, essendo una retta orizzontale,
ha pendenza nulla in ogni suo punto. La derivata seconda è quindi y = 0.

Consideriamo ora la funzione y = x². Essa è rappresentata da una parabola in ogni punto della quale la pendenza
è variabile :

equazioni

Nell'origine 0 la pendenza è nulla perché la tangente alla parabola è ivi orizzontale. A desta dell'origine, la pendenza
è positiva e cresce via via che ci si allontana dall'origine verso destra. A sinistra, invece, la pendenza è negativa e
cresce in valore assoluto più ci si allontana dall'origine verso sinistra. In rosso è rappresentata la derivata prima mentre 
in blu è rappresentata la derivata seconda.

Infine consideriamo la funzione y = x³ - 3x² +2x :

equazioni

Anche qui abbiamo rappresentato la funzione in nero, la derivata prima in rosso e la derivata seconda in blu.

E' molto interessante notare che nei punti A e B del grafico le tangenti alla curva sono orizzontali. In questi
punti quindi la derivata prima è nulla. A sinistra di A la derivata è positiva mentre a destra è negativa. In B
avviene il contrario.  Il punto A si chiama punto di massimo relativo ed il punto B si chiama punto di minimo
relativo.

Come si vede dall'esempio la derivata è uno strumento fondamentale per lo studio di una funzione, cioè
per individuarne il comportamento. Dove cresce, dove decresce e dove vi sono massimi e minimi relativi.

Se la derivata è positiva, la funzione è ivi crescente, se la derivata è negativa, la funzione è decrescente. Se
la derivata è nulla, lì ci può essere un massimo od un minimo relativo.

Il calcolo della derivata di una funzione data è fattibile in linea di principio sempre. Indichiamo qui alcune 
formule utilizzabili a questo scopo :

 funzione

 derivata

 y = k      (dove k è un numero qualunque)

 y ' = 0

 y = k x

 y ' = k

 y = k x²

 y ' = 2 k x

 y = k x³

 y ' = 3 k x²

 ...

 ...

Nel caso della funzione y = x³ - 3x² +2x il calcolo della derivata prima è il seguente :

      y ' = 3x² - 6x + 2

mentre per la derivata seconda :

      y '' = 6x - 6

Si noti che la derivata di una somma di termini si fa sommando le derivate di ciascun termine. Si noti anche
che la derivata prima di y = f(x) si può indicare semplicemente col simbolo y ' mentre la derivata seconda
col simbolo y ''.

04 - Equazioni differenziali.

In fisica si studiano le grandezze che si misurano osservando i fenomeni naturali per ricavare delle leggi 
matematiche che ne esprimono la interdipendenza. Questo, in sintesi, è lo scopo ed il metodo della fisica.

Supponiamo che una certa grandezza y sia rappresentabile da una funzione ad una variabile y = f(x), cioè 
che la grandezza y vari in funzione della grandezza x. Supponiamo anche che questa grandezza sia tale che
la sua derivata sia uguale in ogni punto alla somma fra la x e la y. In sintesi si supponga che :

      y ' = x + y.

Questa è una equazione differenziale. Una equazione in cui l'incognita non è un numero ma una funzione.

Le equazioni differenziali sono il cuore della fisica. Tutte le leggi fisiche note sono espresse in termini di
equazioni differenziali. Risolvendo queste equazioni si ricavano le grandezze fisiche nel loro variare in
funzione di altre grandezze fisiche.

La soluzione delle equazioni differenziali non è sempre possibile in termini analitici, cioè esattamente. In 
molti casi si deve allora ricorrere a metodi di approssimazione numerica realizzabili al computer.

Nell'esempio sopra proposto, supponendo che la curva passi per 0, si ottiene :

equazioni

Si noti che nell'origine 0 il valore di x + y è ovviamente 0 e quindi anche y ' deve essere 0. La curva cercata è 
allora tangente all'asse delle x in 0.

Senza entrare nei particolari, accenniamo semplicemente che abbiamo trovato la soluzione dell'equazione 
differenziale usando un metodo di approssimazione numerica molto semplice basato sul fatto che la retta 
tangente in un punto ad una curva  nelle vicinanze di quel punto si "confonde" con essa :

equazioni

La derivata della funzione in P è Q'H / HP. Se il punto Q è molto vicino al punto P, la derivata si può
approssimare con QH / HP perché i punti Q' e Q tendono a sovrapporsi. Con questo artifizio si può
porre QH = (Q'H / HP) * HP e quindi, partendo dal punto P, si ottiene, anche se approssimato, il punto 
Q ed i modo analogo tutti i punti successivi. Si ottiene così la curva cercata.

Questo metodo è alla base di molte tecniche di approssimazione delle equazioni differenziali realizzabili 
al computer.

 


DERIVAZIONE

Data una generica funzione f(x) e presi due punti x e x+h come in Fig.1

equazioni

Fig.1

possiamo definire la derivata prima f’(x) come

equazioni

Eq.3.1

se tale limite esiste ed è finito. Per estendere tale definizione ad un intervallo discreto I costituito dai punti xi+1 =xi+h considero

equazioni

Fig.2

equazioni

Eq.3.2

Per avere un miglior valore approssimato della derivata nel punto xi dovremo prendere h sufficientemente piccolo. Quindi preso assegno ad h il valore .

equazioni

equazioni

Dall’Eq.3.2 si può definire la derivata seconda nel punto xi:

equazioni

Eq.3.3

La procedura appena introdotta può essere applicata per la derivata terza e per quelle di ordine superiore (sviluppo delle potenze di un binomio). Genericamente, si può dire che per la derivata di ordine n, serve prendere in considerazione n+1 punti:

equazioni 

 

DERIVATE MISTE

Per quanto riguarda le funzioni del tipo f(x,y), andiamo a valutare le derivate parziali:

equazioni

Per mostrare come possiamo ricavarle, prendiamo come esempio la derivata mista

equazioni

che può anche essere scritta nel seguente modo:

equazioni 

da cui otteniamo

equazioni

Si nota, infine, che per sviluppare la derivata mista abbiamo bisogno dei quattro punti di Fig.3

equazioni

Fig.3


EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

 

PROBLEMA DI CAUCHY

Data un’equazione differenziale del tipo

equazioni

essa risulta avere una famiglia di soluzioni. Il problema dei valori iniziali o Problema di Cauchy cerca un’unica soluzione dell’equazione differenziale, che verifichi la condizione iniziale ed è formalizzato con la scrittura

equazioni

 

 

La curva integrale, che passa per il puntoequazioni, può essere ricavata mediante il METODO DELLA TANGENTE. Utilizzando come dati il puntoequazioni e la funzioneequazioni, possiamo scrivere l’equazione della retta tangente che approssima la curva in tale punto:

equazioni

equazioni

Fig.1

dove

equazioni

equazioni

Facendo un passo h, sull’asse x, andiamo ad intercettare la tangente ed otteniamo un nuovo puntoequazioni (vedi Fig.1). Impostando il nuovo problema di Cauchy nel puntoequazioni , si ricava l’equazione della nuova retta tangenteequazioni .

Abbiamo così impostato un metodo ricorsivo, con cui ricavare approssimativamente l’equazione integrale, soluzione dell’originario problema di Cauchy.

Infatti otteniamo:

equazioni

 dove

equazioni

equazioni

Dato che l’ordine di grandezza dell’errore è lo stesso del passo h, allora per h® 0 otteniamo una migliore approssimazione della curva integrale cercata.

 


EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A C. COSTANTI

 

Vogliamo andare a studiare l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

equazioni

Eq.1

Per arrivare ad ottenere la soluzione del problema di Cauchy sopra indicato, dobbiamo seguire i seguenti procedimenti:

  • RICERCA DEGLI INTEGRALI DELL’OMOGENEA ASSOCIATA;
  • RICERCA DELL’INTEGRALE PARTICOLARE;

La somma degli integrali trovati è l’integrale generale, soluzione del problema di Cauchy.

Cominciamo a studiare l’omogenea associata

equazioni

Eq.2

Cerchiamo le soluzioni dell’Eq.2 del tipo

equazioni

con a da determinare. Affinché tale funzione sia soluzione dell’Eq.2, dovrà risultare

equazioni

Eq.3

Tale equazione viene chiamata EQUAZIONE ALGEBRICA CARATTERISTICA associata all’Eq.2. Calcolando ora il discriminante

equazioni 

distinguiamo tre casi:

equazioni

Successivamente calcoliamo i coefficienti equazioniimponendo le condizioni iniziali. Per esempio, se otteniamo D >0, andiamo a risolvere il seguente sistema:

equazioni

Introducendo le seguenti matrici

equazioni

la soluzione dell’omogenea associata risulta:

equazioni

Andando invece ad analizzare tutti i casi otteniamo

equazioni

Cerchiamo ora l’integrale particolare xC(t). Un procedimento per ricavarlo è il seguente metodo di Cauchy:

equazioni

dove K(t ,t) è chiamato Nucleo di Cauchy. Tale funzione è definita dalla seguente relazione:

equazioni

 

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

 

Consideriamo il seguente sistema di equazioni differenziali del primo ordine:

equazioni

 Eq.1

dove u e v sono funzioni della variabile x, con u(0)=4 e v(0)=3.

L'Eq.1 può essere considerata come un'equazione differenziale del secondo ordine del tipo:

equazioni

Se poniamo

equazioni

Eq.2

otteniamo il seguente problema di Cauchy:

equazioni

 Eq.3

Risolvendo l'Eq.3 (vedi Equazioni differenziali a coefficienti costanti) otteniamo la seguente soluzione particolare:

equazioni

Tenendo conto dell'Eq.2, troviamo le soluzioni del sistema Eq.1:

equazioni

 Eq.4

L'Eq.1 può anche essere scritta in forma matriciale:

equazioni

 Eq.5

Utilizzando l'approssimazione del metodo della tangente, possiamo scrivere:

equazioni

Eq.6

 

 Generalizzando, consideriamo il sistema:

equazioni

 Poiché le funzioni f e g non sono lineari, possiamo sviluppare quest'ultimo sistema in serie di Taylor, troncando al secondo termine, in modo da ottenere la sua linearizzazione:

equazioni

 

 

Fonte: http://www.alessandrobonini.it/download/matematica/EQUAZIONI%20DIFFERENZIALI.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

Parola chiave google : Equazioni tipo file : doc

vedi anche à http://king.thch.unipg.it/~franc/ct/node192.html

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Sintesi/Sintesi.htm

 

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