Circonferenza

 


 

Circonferenza

 

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Circonferenza

 

La circonferenza

 

Dare la definizione di circonferenza come luogo di punti.

La circonferenza è un luogo di punti, è cioè un insieme di punti del piano le cui distanze da un punto fisso C detto centro sono tutte uguali.

Con riferimento alla figura a destra si ha .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Come si ottiene la circonferenza come sezione conica?

Consideriamo il cono circolare retto costituito dalle rette generatrici che con il suo asse formano un angolo di ampiezza a. Consideriamo poi un piano secante che forma un angolo b con l’asse del cono. Se si ha , la sezione ottenuta è una circonferenza.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Come si trova l’equazione generica della circonferenza di centro il punto

Utilizzando la formula della distanza tra due punti si ottiene l’equazione generale della circonferenza di centro  e raggio r:

 

 

 

Qual è l’equazione della circonferenza in forma canonica?

L’equazione della circonferenza in forma canonica è   

 

 

Assegnata una circonferenza di equazione

 

Centro. Le coordinate del centro

 

Raggio. La misura del raggio si ricava mediante la formula

 

    

Data una circonferenza in forma generica , si esprimano i vari casi particolari: ( a = 0;  b = 0;  c = 0;  a = b = 0;  a = c = 0;  b = c = 0) tracciando i relativi grafici

 

 

a = 0 à 

centro sull’asse y

 

 

b = 0 à

centro sull’asse x

 

c = 0 à

circonf. passante per l’origine

 

a = b = 0 à

centro nell’origine

 

a = c = 0 à

centro sull’asse y,

circonf. passante per l’origine

 

 

b = c = 0 à

centro sull’asse x,

circonf. passante per l’origine

 

 

Per quale motivo la circonferenza è un caso particolare dell’ellisse?

Consideriamo una circonferenza di centro l’origine e raggio r; la sua equazione sarà:

 

 

Se si dividono tutti i termini per r2, si ha:

 

 

Questa equazione è l’equazione di un’ellisse in forma canonica dove i semiassi a e b sono uguali e pari ad r; possiamo dunque affermare che la circonferenza è un’ellisse con i semiassi a e b uguali.

 

La semidistanza focale è pari poi a

 

 

I due fuochi saranno così:

 

Una circonferenza è allora un’ellisse i cui fuochi coincidono con il centro della circonferenza stessa.

 

Infine, calcolando l’eccentricità, si ottiene:

 

 

Una circonferenza è così un’ellisse ad eccentricità nulla, ovvero senza schiacciamento.

 

 

Come si trova l’equazione della circonferenza di centro il punto  assegnato?

Innanzitutto calcoliamo il raggio della circonferenza utilizzando la formula della distanza tra due punti:

 

 

Conoscendo poi il centro e il raggio ricorriamo all’equazione generale della circonferenza di centro  e raggio r:

 

 

 

 

 

 

 

 

Come si trova l’equazione della circonferenza di cui sono assegnati due punti diametrali

Innanzitutto osserviamo che il centro C della circonferenza è il punto medio tra A e B:

 

;

 

inoltre il raggio della circonferenza è pari alla distanza tra i punti C ed A:

 

 

Conoscendo così il centro e il raggio ricorriamo all’equazione generale della circonferenza di centro  e raggio r:

 

 

 

 

Come si trovare l’equazione della circonferenza di cui sono assegnati tre suoi punti

L’equazione generale della circonferenza è ;

innanzitutto dobbiamo imporre le 3 condizioni di appartenenza:

 

 

 

 

Le 3 condizioni di sopra sono tre equazioni nelle incognite a, b e c; ponendole a sistema e risolvendo il sistema con uno dei metodi conosciuti (Cramer, sostituzione, confronto) si ottengono facilmente a, b e c.

 

 

  • Data la retta di equazione , verificare se la retta è tangente, esterna o secante rispetto alla circonferenza.

 

Svolgimento. Per verificare se la retta è tangente, secante o esterna rispetto alla circonferenza si possono seguire due strade: quella grafica e quella algebrica; nel primo caso è sufficiente tracciare sullo stesso piano cartesiano i grafici della retta e della circonferenza ed osservare le posizioni relative, ricavando in maniera approssimativa le coordinate degli eventuali punti di intersezione.

Nel secondo caso, basta impostare il sistema algebrico tra la retta e la circonferenza.

 

 

 Tale sistema si può risolvere per sostituzione: sostituendo nell’equazione della circonferenza alla y la sua espressione D; potremo avere tre casi possibili:

  • se D > 0 il sistema avrà due soluzioni distinte  la retta sarà secante la circonferenza;
  • se D = 0 il sistema avrà due soluzioni coincidenti  la retta sarà tangente alla circonferenza;
  • se D < 0 il sistema non avrà soluzioni reali  la retta sarà esterna alla circonferenza.

PROBLEMA 1. DETERMINAZIONE DELL’EQUAZIONE DI UNA CIRCONFERENZA A PARTIRE DALLA CONOSCENZA DEL CENTRO E DEL RAGGIO.

Esempio 1. Si vuole trovare l’equazione della circonferenza di centro .

 

Sostituendo nell’equazione generale si ha:

 


 

 

 

 

  e infine:

 

 


 

 

PROBLEMA 2. TRASFORMAZIONE DELL’EQUAZIONE DI UNA CIRCONFERENZA NELLA FORMA CANONICA.

Esempio 2. Data la circonferenza di equazione  si vuole scrivere l’equazione in forma canonica

 

Per avere l’equazione in forma canonica è sufficiente dividere tutti i coefficienti dell’equazione per 2:

 

;

 

 

 

PROBLEMA 3. DETERMINAZIONE DEL CENTRO E DEL RAGGIO DI UNA CIRCONFERENZA A PARTIRE DALL’EQUAZIONE
Esempio numerico 3a. Data la circonferenza di equazione  se ne vuole trovare il centro C e il raggio r e poi disegnarla.

 

Centro. Le coordinate del centro si ricavano mediante le formule

 

  

 

Raggio. La misura del raggio si ricava mediante la formula

 

 

 

Esempio numerico 3b. Data la circonferenza di equazione , trovare il centro C e il raggio r e poi tracciare il grafico.

 

Centro. Le coordinate del centro si ricavano mediante le formule

 

  

 

Raggio. La misura del raggio si ricava mediante la formula

 

 

Si conclude che l’equazione assegnata nella traccia non corrisponde ad una circonferenza reale, in quanto il raggio risulta non reale ma immaginario.

 

 

PROBLEMA 4. DETERMINAZIONE DELLA CIRCONFERENZA A PARTIRE DALLA CONOSCENZA DEL CENTRO E DI UN SUO PUNTO.

Esempio numerico 4 Si vuole trovare la circonferenza avente per centro il punto .

Il raggio della circonferenza è pari alla distanza :

 

 

 ottenendo:

 

 

 

 

 

 

 

 

PROBLEMA 5. DETERMINAZIONE DELLA CIRCONFERENZA A PARTIRE DALLA CONOSCENZA DI DUE PUNTI DIAMETRALI.

Esempio numerico 5a: si vuole trovare la circonferenza passante per i 2 punti diametrali.

Il centro C della circonferenza è il punto medio tra A e B:

 

Il raggio della circonferenza è pari alla distanza tra i punti C ed A:

 

Conoscendo così il centro e il raggio li poniamo nell’equazione generale della circonferenza  ottenendo:

 

 

Esempio numerico 5b: si vuole trovare la circonferenza passante per i 2 punti diametrali.

Il centro C della circonferenza è il punto medio tra A e B:

 

Il raggio della circonferenza è pari alla distanza tra i punti A e C:

 

Conoscendo così il centro e il raggio li poniamo nell’equazione generale della circonferenza  ottenendo:

 

 

 

PROBLEMA 6. DETERMINAZIONE DELLA CIRCONFERENZA A PARTIRE DALLA CONOSCENZA DI TRE SUOI PUNTI.
Esempio numerico 6. Si vuole trovare la circonferenza passante per i 3 punti .

A) Imponendo l’appartenenza del punto A si ottiene:

 

B) Imponendo l’appartenenza del punto B si ottiene:

 

C) Imponendo l’appartenenza del punto A si ottiene:

Mettendo a sistema le tre equazioni in a, b e c si ottiene:

 

 

 

Risolviamo il sistema colla regola di Cramer:

 

 

 

 

 

Verifichiamo infine che i punti A, B e C appartengano effettivamente alla circonferenza trovata.

 

A) Imponendo l’appartenenza del punto A si ottiene:

 

B) Imponendo l’appartenenza del punto B si ottiene:

 

C) Imponendo l’appartenenza del punto A si ottiene:

 

 

PROBLEMA 7. DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE DI UNA RETTA E DI UNA CIRCONFERENZA E DELLE COORDINATE DEGLI EVENTUALI PUNTI DI INTERSEZIONE.

 

Esempio numerico 7a. Data la retta di equazione , verificare se la retta è tangente, esterna o secante rispetto alla circonferenza e calcolare le coordinate degli eventuali punti di intersezione.

 

In primo luogo si tracciano i diagrammi della retta e della circonferenza.

La retta va esplicitata nella forma:

; attraverso la solita tabella x-y se ne ricava il grafico.

La circonferenza ha per equazione assegnata . Si tratta di un caso particolare (circonferenza con centro nell’origine):

 

.

Procedendo al grafico si vede subito che le retta è secante, con due punti di intersezione distinti A e B.

 

 

Calcoliamo adesso algebricamente gli eventuali punti d’intersezione attraverso il sistema algebrico.

 

   sostituiamo la seconda equazione nella prima:

   svolgo il quadrato di binomio

    trasporto a I membro:

   

 e semplificando la prima equazione per due:

 

 

Ne segue che la retta è secante.

 

Calcolando le intersezioni si prosegue:

 

 

le soluzioni saranno due:

 

A)

B)

 

 

Esempio numerico 7b. Data la retta di equazione , verificare se la retta è tangente, esterna o secante rispetto alla circonferenza e calcolare le coordinate degli eventuali punti di intersezione.

 

In primo luogo si tracciano i diagrammi della retta e della circonferenza.

La retta va esplicitata nella forma:

; attraverso la solita tabella x-y se ne ricava il grafico.

La circonferenza ha per equazione assegnata . Per calcolare il centro e il raggio occorre l’equazione in forma canonica: dividendo tutto per 4 si ottiene:

 

 

Si vede allora che la circonferenza ha per centro il punto di origine e il suo raggio vale . Procedendo al grafico si vede subito che le retta è secante, con due punti di intersezione distinti A e B.

 

Calcoliamo adesso algebricamente gli eventuali punti d’intersezione attraverso il sistema algebrico.

 

 

 

. Ne segue che la retta è secante.

 

 le soluzioni saranno due:

 

 

I punti di intersezione A e B hanno allora coordinate:

 

 

 

Esempio numerico 7c. Data la retta di equazione , verificare se la retta è tangente, esterna o secante rispetto alla circonferenza e calcolare le coordinate degli eventuali punti di intersezione.

 

In primo luogo si traccino i diagrammi della retta e della circonferenza.

 

 

 

Il raggio è

 

 

Procedendo al grafico si vede subito che le retta è tangente alla circonferenza, con un unico punto in comune T.

 

Calcoliamo adesso algebricamente gli eventuali punti d’intersezione attraverso il sistema algebrico.

 

  sostituiamo la seconda espressione nella prima:

 

    eseguo il quadrato di binomio e la moltiplicazione:  

 

   raccolgo i termini simili: 

 

    semplificando per 2: 

 

  risolviamo l’equazione di II grado:

 

 Ne segue che la retta è tangente.

 

 

Il punto di tangenza T ha quindi come coordinate

Esempio numerico 7d. Data la retta di equazione , verificare se la retta è tangente, esterna o secante rispetto alla circonferenza e calcolare le coordinate degli eventuali punti di intersezione.

 

In primo luogo si traccino i diagrammi della retta e della circonferenza.

 

 

 

Il raggio è

 

 

Procedendo al grafico si vede subito che le retta è esterna alla circonferenza, senza punti in comune.

 

 

Vediamo adesso le cose dal punto di vista algebrico.

 

  sostituiamo la seconda espressione nella prima:

   raccolgo i termini simili: 

    semplificando per 2: 

  risolviamo l’equazione di II grado:

 

 

Poiché il D è negativo il sistema non ha soluzioni reali, ne segue che la retta è esterna.

 

Fonte: http://digilander.libero.it/antoniopalladino/ISA_FILE/matem/DREcirconferenza.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

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