Geometria

 


Geometria

 

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Geometria

 

BREVE STORIA DELLA GEOMETRIA

 

-1850 : Papiro di Mosca.   –1700 Papiro di Rhind
In Egitto e in Mesopotamia si conoscono il numero 'p greco', le quattro operazioni, le equazioni quadratiche, il calcolo dell'area di quasi tutte le figure piane.
Tebe e Babilonia sono i principali centri di studio della matematica.
La maggior parte dei problemi sono di natura economica.

-600 Il greco Talete(624-546 circa) è considerato il fondatore della geometria. Sebbene non abbiamo nessun documento certo, gli vengono attribuiti i teoremi sulla similitudine dei triangoli, in particolare quello che porta il suo nome.
-500 Il greco Pitagora(580-497 circa) è il fondatore di una scuola matematica, filosofica e religiosa con sede a Crotone. Nessun documento scritto ci è pervenuto di questo pensatore. Gli si attribuisce il famoso teorema sui triangoli rettangoli che porta il suo nome.
-400 Il greco Ippocrate (460-377) scrive il primo trattato di geometria. Democrito (460-370), Eudosso (408-353), Archita di Taranto risolvono importanti problemi di geometria e aritmetica. Zenone enuncia i famosi paradossi.
I Greci raccolgono l'eredità dei matematici babilonesi ed egiziani e trasformano una collezione di risultati empirici in una scienza organica. I due principali processi della organizzazione logica della matematica sono l'astrazione (trarre un'idea generale dalla percezione di cose diverse) e la deduzione (giungere da certe premesse a una conclusione in modo che non si possano trovare errori in alcuna parte dell'argomentazione)

-300 Euclide organizza negli Elementi i teoremi di geometria e di teoria dei numeri ottenuti dalla cultura  matematica greca dell'epoca. Procede per definizioni, postulati e teoremi con una esposizione che è rimasta classica per ogni tempo. Aristotele codifica le leggi del ragionamento logico
-200 Archimede di Siracusa (287-212) si occupa di aritmetica, algebra, geometria, fisica; risolve importanti problemi sulle equazioni cubiche; anticipa il calcolo logaritmico e il calcolo integrale.
Ipparco (190-125) fonda la trigonometria piana e sferica. Apollonio studia le coniche. Eratostene effettua la prima misurazione del diametro della Terra.
La matematica greca raggiunge il massimo sviluppo. Il centro della cultura matematica si sposta da Atene ad Alessandria d'Egitto.

 -100 Erone compie importanti studi di geometria e di fisica
100 Tolomeo nell'Almagesto tratta problemi di trigonometria piana e sferica.
500 Il latino Boezio compie ricerche di logica e geometria
1400-1500  Riscoperta dei classici ( Euclide, Archimede,Apollonio)- Galileo fonda la fisica classica su basi geometriche
1600 Descartes pubblica il Discours de la méthode che contiene i fondamenti della geometria analitica
1800 Monge e Poncelet fondano la geometria descrittiva e la geometria proiettiva. Lobacevskij e Bolyai, indipendentemente l'uno dall'altro, studiano una geometria che contraddice il postulato di Euclide sulle parallele. Riemann fonda le geometrie,euclidee e non ,sul concetto di metrica. Boole applica il calcolo algebrico alla logica. Cantor formula la teoria degli insiemi. Klein dà un quadro completo, attraverso la teoria dei gruppi di trasformazioni delle varie geometrie sorte nell'Ottocento: proiettiva, metrica, euclidea, ellittica, iperbolica, topologia.
I principali filoni di ricerca di questo secolo sono la teoria delle funzioni di variabile immaginaria, la geometria proiettiva, le geometrie non euclidee, la teoria dei gruppi, il calcolo delle matrici.

1900  Hilbert dà una formulazione puramente assiomatica della geometria. Ricci-Curbastro e Levi-Civita creano il calcolo differenziale assoluto, strumento utilizzato da Einstein per formulare la teoria della relatività. Russell cerca di fondare la matematica su basi puramente logiche. Brouwer in contrapposizione ritiene esclusivamente intuitivi i principi della matematica.. Mandelbrot espone lo studio dei frattali, forme geometriche irregolari che appaiono simili se osservate su scale diverse

 

 

La geometria è uno dei più importanti edifici concettuali sviluppati dall’uomo e, in particolare , ha un posto di riguardo  nella cultura occidentale . Per molti secoli filosofi, poeti e scienziati  videro nel rigore inesorabile del metodo geometrico il trionfo della bellezza della ragione umana .
Già diversi secoli prima di Euclide, presso Egizi, Babilonesi, Indiani, una discreta parte delle proprietà geometriche enunciate nei suoi Elementi erano utilizzate nella pratica, per misurazioni, costruzioni, studi astronomici, … . La fiducia in queste proprietà era fondata essenzialmente o sulla loro evidenza (nei casi più "semplici") o su considerazioni sperimentali.
    Presso i Greci si incomincia a dare un'organizzazione razionale alle conoscenze geometriche, nell'ambito di una speculazione filosofica sulla natura delle cose e, in particolare, dello spazio cosmico     Nei secoli successivi gli Elementi sono stati oggetti di uno studio intenso soprattutto nel tentativo di dimostrare il V Postulato a partire dagli altri assiomi o di sostituirlo con un altro postulato più evidente, ma si deve arrivare al seconda metà del XIX secolo perché si comincino a costruire sistemi geometrici alternativi ( le Geometrie non euclidee). Deve infatti farsi strada l'idea della geometria come studio degli spazi astratti, che usi definizioni e dimostrazioni che non ricorrano a concetti e argomentazioni di "fisica".Un contributo in questo senso era già stato dato dall'ideazione della geometria analitica (Cartesio e Fermat, XVII secolo), con cui erano stati fusi due metodi noti sin dall'antichità, l'impiego dell'algebra in geometria e l'uso delle coordinate, per dare una definizione "numerica" dello spazio e dei concetti geometrici di base.
    .    È nella seconda metà dell'Ottocento che (in relazione all'estendersi degli ambiti di applicazione della matematica conseguente agli sviluppi tecnologici e ai mutamenti nell'organizzazione economica) si precisa l'esigenza di dare una fondazione autonoma alla matematica.    Diventa man mano chiara la necessità di definire i modelli matematici indipendentemente dai contesti, di usare linguaggi formali con una sintassi e una semantica più rigorose di quelle delle lingue naturali, al fine di consentire l'applicazione della matematica ai più vari fenomeni, di rendere più controllabili le dimostrazioni e, quindi, più sicuro l'impiego della matematica

Il problema dei fondamenti della Geometria  è uno dei temi principali di ogni riflessione filosofica della conoscenza. Tale fondamentale rilevanza filosofica non è venuta meno con la crisi dell’euclideismo.
Se prima la validità assoluta del sistema euclideo  aveva condizionato gli sviluppi della teoria della conoscenza, in seguito si è continuato a guardare la Geometria come punto di riferimento per meglio comprendere i rapporti tra matematica e scienze empiriche, tra componenti empiriche e <<a priori>> nel discorso scientifico e anche per una descrizione coerente dello spazio fenomenologico.


 

Matematica e Filosofia nell’antichità classica

Il calcolo del volume di un tronco di piramide nel “Papiro di Mosca”

. La geometria nasce come un’attività essenzialmente pratica: Egiziani, Babilonesi ed altri popoli antichi sapevano eseguire misure sul terreno, effettuare rilievi topografici e risolvere semplici problemi
Anche i Greci conoscevano questa arte pratica, ma come è ben noto i filosofi greci non consideravano le arti pratiche degne di molta considerazione. La loro grande scoperta fu che la geometria poteva essere considerata anche da un punto di vista teorico e ciò si rivelò di estrema importanza per la nascita della matematica

Inizialmente Talete  e poi Pitagora ed altri filosofi greci cominciarono ad elaborare concetti astratti Di seguito le verità riguardanti i punti, le linee e le superfici furono organizzate in scala gerarchica, in maniera tale che le verità meno evidenti fossero la conseguenza logica di quelle più semplici.

 

 

Nella filosofia di Platone la geometria è ritenuta l’espressione di una conoscenza vera di un mondo non fisico e non mentale, un mondo oggettivo delle forme eterne che la facoltà della ragione può conoscere a priori. Platone sostiene che questa conoscenza è di grande valore perché essa tratta degli oggetti che non cambiano mai e che hanno una natura assolutamente precisa, senza il carattere vago ed ambiguo tipico degli oggetti fisici

. Chi vuol diventare filosofo deve consacrarsi allo studio della geometria, perché questo studio offre quella disciplina che gli permetterà di vincere le sue cattive inclinazioni e di addestrarsi nell’attività del pensiero astratto.

 

Μηδείς

Άγεομέτρητος είσίτω

 
Una tradizione tardo - antica ci tramanda che all' ingresso
dell' Accademia platonica c' era scritto : “ Non entri chi non conosce la geometria " .
Se questo sia un' invenzione letteraria o se corrisponda alla verità , noi non lo sappiamo . E' comunque certo che il motto rispecchia perfettamente il pensiero platonico

“ Sai dunque altresì che [i matematici] si valgono di forme visibili, e ragionano intorno ad esse, non ad esse pensando,  ma ai corpi di cui sono rappresentazione, ragionando del quadrato in se stesso e della diagonale in se stessa, e non di quello o di quella che disegnano, e finalmente le figure  che essi formano o disegnano
(corrispondenti alle ombre e alle immagini nelle acque) le usano come semplici immagini, cercando di vedere  i loro originali, i quali non altrimenti si possono vedere che mediante il discernimento”( Platone – Repubblica)

 

Aristotele ebbe invece una concezione  della conoscenza di tipo empirista.
Si ispirò però ai metodi matematici per fondare la sua “Logica”, che applica all'ordinamento logico delle scienze :
definizioni che associano un nome a un "ente", nel senso di cosa – oggetto o idea – che esiste, che è "reale"; nozioni comuni (o assiomi) che indicano alcuni principi generali comuni a tutte le scienze; postulati che indicano alcune proprietà evidenti da cui si vogliono dedurre le altre proprietà della scienza che si vuole ordinare.

 

 

 

L’ASSIOMATICA CLASSICA
Aristotele, con la sua Logica, pose le basi delle teorie assiomatiche
I filosofi greci  avevano distinto l’opinione che, basandosi sull’evidenza dei sensi, può
essere fallace e la verità basata sul ragionamento intellettuale; avevano cercato quindi i criteri per stabilire la demarcazione tra l’opinione (dóxa),la cui verità è contingente e instabile, e l’autentico sapere (epistéme), la cui verità, necessaria e indubitabile, è garantita da processi razionalmente
fondati. Questa impostazione ha due importanti conseguenze nell’organizzazione classica del sapere scientifico:

una teoria matematica è un sistema ipotetico-deduttivo che si basa su un insieme di concetti non definiti, detti concetti primitivi, e un insieme di proposizioni primitive, dette assiomi, accettate senza che ne venga data una dimostrazione. Tutti gli altri concetti della teoria devono essere introdotti mediante definizioni e tutte le altre proposizioni della teoria, dette teoremi, devono essere ottenute mediante dimostrazioni nelle quali si assumono come ipotesi solo assiomi o proposizioni già precedentemente dimostrate.
1) La necessità di assumere concetti primitivi e assiomi deriva dal fatto che sia le definizioni sia le dimostrazioni hanno un carattere “relazionale”: in una definizione un concetto nuovo viene definito a partire da altri il cui significato è assunto come già noto e una dimostrazione mostra come una
conclusione deriva logicamente da altre proposizioni assunte come ipotesi.
Se si vogliono evitare circolarità o regressi all’infinito, occorre stabilire i punti di partenza, ossia i concetti primitivi e gli assiomi, da cui iniziare il processo definitorio e dimostrativo.
A proposito degli assiomi, si era soliti suddividere le proposizioni primitive in due gruppi: i postulati e le nozioni comuni (o anche semplicemente assiomi); i postulati enunciavano le proprietà evidenti degli oggetti della teoria (e oggi sono detti assiomi specifici); le nozioni comuni stabilivano proprietà di carattere generale, vere per qualsiasi ambito oggettuale e non solo per quello specifico della teoria (e corrispondono,almeno approssimativamente, a quelli oggi detti assiomi logici).

2) per essere veritativo il discorso scientifico deve possedere un preciso contenuto oggettuale (solo
a proposito di determinati oggetti si può dire che una proposizione è vera);

3) gli assiomi, assunti senza dimostrazione, essendo i “garanti” della verità delle proposizioni dell’intera teoria, devono essere “veri di per sé”: la loro verità deve essere intellettualmente garantita al di là di ogni ragionevole dubbio.

Ricapitolando

  • Il sistema assiomatico è perciò un sistema di proposizioni vere, deduttivamente concatenate e fondate su poche proposizioni la cui verità è evidente. Rigorosa struttura deduttiva e verità delle proposizioni conferiscono al sistema assiomatico lo status di epistéme
  • .    I concetti primitivi sono concetti semplici, intuitivi, immediati che non hanno bisogno di       alcuna definizione.
  • Gli assiomi sono affermazioni vere, giuste evidenti. Essi sono i principi fondamentali di una scienza perché sono più noti delle altre proposizioni; costituiscono non solo il punto di partenza della catena deduttiva di una scienza, ma anche, con la loro verità, garantiscono la verità di tutte le conseguenze logicamente dedotte.
  • Assiomi e concetti primitivi ci sono forniti dalla esperienza del mondo fisico anche se possono essere soggetti ad idealizzazioni.

Questa concezione, chiamata della “Assiomatica classica” è stata universalmente accettata fino al secolo XIX.

 

LA GEOMETRIA EUCLIDEA
Verso la fine del quarto secolo a. C. si ebbe in Grecia ,ad opera di Euclide, il periodo più significativo ed esaltante del processo di razionalizzazione della Geometria che era iniziato
circa tre secoli prima con Talete
Euclide nella sua famosa opera, Gli Elementi, sintetizzò in maniera sistematica, secondo i canoni della logica aristotelica,  tutte le conoscenze teoriche della geometria greca. Per duemila anni questo testo rimase insuperato e venne considerato, per il suo rigore,  come un modello esemplare per la formulazione di una qualunque scienza .
La Geometria , con le sue leggi incontestabili, si impone come emblema della verità e della certezza.
Questa imponente costruzione concettuale pone  però due  interessanti problema di carattere epistemologico che riguardano  il tipo di esistenza degli enti matematici il valore della verità delle proposizioni.

  • Gli enti matematici  hanno una esistenza propria, indipendente dalla nostra mente, oppure esistono solo nella nostra mente? Noi ci limitiamo a scoprire gli enti matematici oppure ne siamo i creatori?
  • Cosa garantisce la verità  degli assiomi?
  • E inoltre le verità matematiche hanno solo un valore  di correttezza sintattica o hanno un valore  semantico ( descrivono la realtà fisica e sono quindi suscettibili di verifica sperimentale)?.

In sostanza lo spazio geometrico coincide con lo spazio fenomenologico?

 

E’ palese l’analogia  con  i quesiti che stanno alla base della  teoria filosofica della conoscenza

  • Da dove provengono le cognizioni ?

 

  • In che rapporto stanno la mente e le cose, il pensiero e l’essere ?
  • Quali relazioni sussistono fra i sensi e la ragione ?

 

  • Che valore hanno i concetti ?
  • Quali sono le garanzie di un sapere vero ?

 

IL PARADIGMA EUCLIDEO

Ancora oggi le risposte ai precedenti quesiti  si intrecciano con  l’evoluzione delle principali correnti di pensiero ( nominalismo, concettualismo,razionalismo, idealismo, empirismo, formalismo,logicismo) e si collegano al problema della  natura dello spazio fisico e dei metodi di indagine scientifica

Fino al secolo XIX  resta comunque valido quello che potremmo definire paradigma euclideo,
fondato su una concezione assiomatica di tipo contenutistico con le seguenti caratteristiche :
1) i concetti primitivi  sono evidenti e le proposizioni prime sono immediatamente vere ( criterio di verità)
2) l'evidenza ai concetti derivati è trasmessa tramite la definizione, la verità alle proposizioni derivate ( teoremi) è trasmessa tramite la dimostrazione
3) La Geometria  fornisce una descrizione corretta delle proprietà dello spazio fisico e delle figure  geometriche esso contenuto,  le quali a loro volta sono le idealizzazioni dei corpi materiali.

(E’ evidente l’influsso della filosofia platonica oltre che di quella aristotelica con riferimento alla logica)

 

LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE
C’era nell’imponente edificio della Geometria euclidea un punto  debole: il V postulato, che Euclide formula nella forma seguente:
Se due linee rette sono tagliate mediante una terza e formano da una stessa parte angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti e se sono prolungate da tale parte allora esse si incontrano
Lo stesso Euclide deve essersi reso conto della <<stranezza >> di questo postulato , visto che negli Elementi lo utilizza solo quando è strettamente necessario .
Colpisce infatti la complessità di questa proposizione, molto diversa dagli altri postulati  tanto da sembrare piuttosto un teorema, anche per la struttura della sua formulazione.( la proposizione inversa è peraltro un teorema)..
Inoltre  non  è << evidente>>  , né immediatamente intuitivo .
Per diversi secoli i matematici coltivarono la convinzione che il V postulato dipendesse dagli altri quattro che lo precedono e che pertanto si potesse dimostrare come un teorema. I tentativi furono numerosi, il più espressivo tra questi è quello del matematico italiano Gerolamo Saccheri. Tutte le dimostrazioni, però, facevano passare, per così dire "tacitamente", ammissioni che poi si rivelarono equivalenti al postulato stesso.
In pratica si ottennero solo formulazioni più <<semplici>> del V postulato.
John Playfair (1748-1819) elaborò quella che forse è la versione più conosciuta del quinto Postulato:
Data una retta ed un punto non appartenente ad essa, esiste ed è unica una retta passante per il punto e parallela alla retta data

Tra il 1829 il matematico russo Nikolay Lobacevskij, e, autonomamente, il matematico ungherese Janos Bolyai ebbero  il coraggio di affrontare il problema su strada opposta: proposero  una geometria ( la Geometria iperbolica) nella quale fosse contemplata, in sostituzione del quinto postulato di Euclide, una diversa asserzione sul parallelismo tra rette. Poiché una tale geometria si rivelò altrettanto razionalmente logica di quella di Euclide, e quindi del tutto accettabile, il 1829 segnò la nascita delle cosiddette "Geometrie non Euclidee" e nel contempo la conferma che il V postulato è veramente un postulato in quanto indipendente dalle altre asserzioni primitive che lo precedono.
Nel 1854 anche B. Riemann  pubblicò un’opera ,”Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria”, in cui non solo introduce un'altra geometria non euclidea ( Geometria ellittica), ma   rivoluziona la scelta dell’oggetto della Geometria, non più lo spazio fisico ma  gli insiemi di ennuple ordinate di numeri reali o complessi ( varietà)

La scoperta delle Geometrie non euclidee  mette in discussione quindi il paradigma euclideo e genera una  vera e propria rivoluzione nel pensiero filosofico e scientifico, induce una revisione critica dei fondamenti della Geometria , del suo valore conoscitivo, del suo rapporto con la realtà fisica.
Il  primo importante risultato  è una distinzione tra geometria <<matematica>> (sistema ipotetico-deduttivo) e geometria <<fisica>> (scienza dell’estensione) .
Per la prima si presentò la necessità di una revisione rigorosa dei fondamenti,  per la seconda
un’ analisi approfondita del rapporto tra geometria ed esperienza.
.

 

 

LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

 

 

Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)

In qualche ora libera sono talvolta tornato a riflettere su un altro argomento che per me è già vecchio di quasi quarant'anni; intendo parlare dei primi fondamenti della geometria; non so se Le ho già parlato delle mie idee in proposito. Anche su tale argomento ho ulteriormente consolidato alcuni punti, e la mia convinzione che non sia possibile fondare la geometria in modo interamente a priori è divenuta se possibile, ancora più salda. Intanto lascerò passare molto tempo prima di decidermi ad elaborare per la pubblicazione le mie assai ampie ricerche sull'argomento, e forse ciò non avverrà mai durante la mia vita, perché temerei le strida dei Beoti qualora volessi esprimere compiutamente le mie idee.

Lettera di Gauss a Bessel (27-gernnaio-  1829)

 

Jànos Bolyai (1802-1860)

Farkas Bolyai
(padre di Janos)

“.. Ho scoperto cose così belle che ne sono rimasto abbagliato.
Dal nulla ho creato un nuovo mondo..”

Da una lettera di Janos Bolyai al padre Farkas

"…se la cosa è perfettamente riuscita, è conveniente affrettarsi a renderla di pubblica ragione per due motivi: primo perché le idee passano facilmente da uno all'altro, che in seguito le può pubblicare prima; in secondo luogo, perché c'è anche qualche verità in questo fatto, che parecchie cose hanno un epoca, nella quale esse sono trovate nello stesso tempo in più luoghi, precisamente come in primavera le violette da ogni parte vengono alla luce..".

Da lla lettera di risposta  di F. Bolyai figlio Janos

Lobacevskij N. I. (1793-1856)

<<Nei concetti stessi [della geometria] non si racchiuda ancora quella verità che si voleva dimostrare, e che può essere controllata, in modo simile alle altre leggi fisiche, soltanto da esperienze»

 

Riemann B. (1826-1866).

<<È un errore confondere l'"illimitatezza" con l'"infinità" dello spazio; il primo concetto è infatti relativo all'"estensione", cioè è un concetto "qualitativo"; il secondo invece è relativo alla "misura", cioè è un concetto "quantitativo". Sicché si può ipotizzare uno spazio che sia insieme "illimitato" e "finito"; e quindi una retta che sia, ugualmente, illimitata e finita. Nel caso della retta, essa risulterà quindi "chiusa".>>

 

GEOMETRIA E VERITA’
Sin dall’antichità a il sistema ipotetico-deduttivo  è stato oggetto di critiche soprattutto da parte dei  filosofi empiristi e scettici  ( Carneade, Sesto Empirico) . Le principali obiezioni erano:

  • I principi della dimostrazione sono ipotesi e per dar loro un fondamento occorrerebbe : o risalire indietro all’infinito o  presumere che vengano giustificate dalle conseguenze, ciò che costituisce un circolo vizioso.
  • Se le premesse di un sillogismo derivano da un metodo induttivo, la deduzione che ne consegue  è solo una tautologia.

 Attraverso la mediazione dei dibattiti medievali, la questione del rapporto tra conoscenza sensibile e conoscenza razionale si ripropone in età moderna nel confronto tra due posizioni gnoseologiche contrapposte: quella del razionalismo e quella dell'empirismo. Il primo considera i concetti come "innati", cioè come patrimonio originario della mente, mentre il secondo fa derivare la conoscenza intellettuale dall'esperienza.
Alla fine del Settecento, Kant tenta di conciliare questi due atteggiamenti sostenendo che nel processo conoscitivo cooperano strutture innate della mente e dati empirici.

Nella Critica della ragion pura (1781), Kant classifica le regole formali del pensiero, distinguendo tra giudizi a priori e empirici, che a loro volta si distinguono tra analitici e sintetici.

Giudizi

a priori

empirici

analitici

analitici a priori
o
semplicemente analitici

non esistono

sintetici

sintetici a priori

sintetici empirici
o
semplicemente sintetici

 

 

 

 

I giudizi a priori sono indipendenti dall'esperienza e derivano dal pensiero in se stesso, si distinguono per la loro necessità e universalità.
I giudizi empirici o a posteriori derivano dall'esperienza, pertanto non sono universali ma contingenti, particolari, dipendono da fatti specifici.
I giudizi analitici sono quelli contenuti implicitamente nel soggetto di cui si parla, pertanto non ampliano la nostra conoscenza.
I giudizi sintetici sono quelli che aggiungono al soggetto di cui si parla qualcosa che non era già pensato in esso, pertanto ampliano effettivamente la nostra conoscenza

. Kant considerava le proposizioni della geometria giudizi sintetici a priori. Essi rappresenterebbero una forma di conoscenza sicura e universale che arricchisce la nostra conoscenza su un dato oggetto e allo stesso tempo non ha il carattere di imperfezione della conoscenza empirica.
Dunque, l’atteggiamento di Kant verso la geometria euclidea era inequivocabile: essa era “conoscenza necessaria”, cioè conoscenza che assume rilievo per le cose esistenti ma  indipendente
dall’ esperienza che di tali cose abbiamo.

La scoperta delle Geometrie non euclidee  fa crollare questa certezza : i principi perdono il carattere di verità evidente,  garantita dall’intuizione .In particolare Riemann  parla di <<ipotesi>> ed Helmholtz di <<fatti>> che stanno alla base delle costruzioni geometriche e che sono dettati da considerazioni empiriche o necessità teoriche e non più dalla semplice intuizione.
L’unica certezza che ci si può aspettare è quella che deriva dalla non contradditorietà  , una certezza quindi di carattere logico .
Non solo la  necessità e l’univocità  dei concetti geometrici diventavano di fatto insostenibili, ma veniva meno il  più che millenario dominio della Geometria quale punto di riferimento  per la quasi totalità dei concetti matematici.
Lo sviluppo dell’Algebra, la nascita della Logica moderna, l’accentuato processo di rigorizzazione dell’Analisi, portarono  nel corso del XIX secolo,  ad un mutamento radicale della ricerca matematica e dei suoi rapporti con la filosofia.
In questa  atmosfera si situa la costruzione della teoria degli insiemi di Cantor e la revisione  dei fondamenti della geometria, ma anche dell’intera assiomatica, che fa Hilbert. (  Fondadamenti della Geometria- 1900)
Nel XX secolo si assiste al nascere di correnti di pensiero, come il formalismo, dello stesso Hilbert, il logicismo , di Bertrand Russell, lo strutturalismo del gruppo Bourbaki. Orientate  in senso astratto, allontanando  sempre di più i concetti  matematici dalla realtà fisica.

 

L’ASSIOMATICA MODERNA
Nasce così il metodo assiomatico moderno che  non accetta più l’identificazione della verità di un asserto con la sua dimostrabilità, non fa più ricorso all’evidenza per scegliere gli assiomi e non si pone più il problema della verità degli assiomi stessi

 1)I concetti primitivi sono enti del pensiero non definiti;
Gli assiomi non sono più verità primitive indimostrabili, ma semplici ipotesi relative ai concetti primitivi , senza nessun necessario riferimento intuitivo, ed hanno unicamente la funzione di fornire la base su cui verrà costruito il sistema di proposizioni e definizioni, successivamente dedotte per via logica, che costituisce la geometria .
2)Il sistema degli  assiomi deve  avere le seguenti proprietà

  • Coerenza ( non contradditorietà)
  • Indipendenza ( nessun assioma può essere dedotto dagli altri)
  • Completezza ( il sistema di assiomi deve essere sufficiente per l’effettiva deduzione di tutte le proposizioni ammesse entro una teoria.)

3)Siccome non interessa  il loro significato, gli assiomi, come pure i concetti primitivi, possono essere espressi semplicemente con dei simboli sui quali si può istituire un calcolo.

 

.4) Ad ogni interpretazione degli enti primitivi corrisponde un modello (concreto) della teoria assiomatica (di per se' astratta, formale). Non esiste un modello unico e nemmeno un modello privilegiato

Se l'assunzione del metodo assiomatico moderno comporta la perdita dell'unità: non esiste più la Matematica, ma esistono le Matematiche (come non c'è più la Geometria, ma le Geometrie), apre d'altro canto nuovi vastissimi campi di ricerca e quindi nuove prospettive di progresso sia del pensiero

 

.

A – Libertà nella scelta degli assiomi. Non essendo più legato all’evidenza, il matematico, fra tutte le proposizioni di una teoria, può scegliere come assiomi quelle che meglio crede lasciandosi guidare dalla sua intuizione, dal senso estetico, da motivi pratici

B_Siccome si prescinde dal “contenuto” degli assiomi e dalla “natura” dei concetti primitivi, un sistema assiomatico non è più legato ai “fatti” da cui ha tratto origine, ma può essere applicato a situazioni molto diverse. Così, per esempio, gli assiomi che definiscono un gruppo riescono a descrivere e a padroneggiare insiemi finiti e insiemi infiniti, numeri, funzioni, trasformazioni geometriche, ecc.  Lo studio di ambienti geometrici ad una, due o tre dimensioni, una volta libero da ogni riferimento sensoriale,  viene generalizzato nella teoria degli iperspazi a n- dimensioni.

 


GEOMETRIA NEL ‘900

 

David Hilbert (1862- 1943)

Si deve poter dire al posto di punti ,rette, piani:
tavole , sedie, boccali di birra”

 

    

 

Bertrand Russell (1872-1970):
La matematica è quella scienza che non sa  di cosa parla, senza sapere se quello che dice è vero”

Il gruppo  Bourbaki

I matematici sono platonisti nei giorni di lavoro e formalisti la domenica

Congresso Bourbaki 1939
S. Weil, Ch. Pisot, A Weil, J. Dieudonné,
C. Chabauty, Ch Ehresmann, J. Delsarte

 

HermannWeyl(1885-1955)

 

“E’ certamente deplorevole che noi dobbiamo occuparci così a fondo dell’aspetto puramente formale  e dedicargli tanto spazio…, ma ciò non si può evitare. Come ogni linguaggio ed ogni scrittura deve essere appresa prima di poterla adoperare per esprimere liberamente il proprio pensiero, così, anche in questo caso, l’unica via per liberarci della pressione delle formule è quella di impadronirci molto bene dello strumento matematico per poter dedicarci ai veri problemi che ci occupano”

 

GEOMETRIA E FISICA

Anche quando  aveva ormai  perduto la sua connotazione di scienza  pratica ( “misura della terra”), la geometria è stata sempre considerata la prima rappresentazione del mondo fisico.
Su basi geometriche sono stati costruiti i primi modelli cosmologici, sul linguaggio geometrico si basa  la fisica galileiana, carattere geometrico ( euclideo) ha lo spazio assoluto di Newton, l’immenso palcoscenico su cui avvengono i fenomeni naturali.
Indipendentemente dalla posizione filosofica  ( platonista, empirista, kantiana) la corrispondenza tra verità geometrica e realtà fisica non era mai posta in discussione, né si pensava di  sottomettere  le proprietà delle figure geometriche al vaglio dell’esperienza.
Quando le geometrie non euclidee acquistarono dignità e validità sul piano logico, si cominciò a mettere in discussione  anche il primato della geometria euclidea nella capacità di adattarsi al mondo fenomenico. La posizione kantiana , secondo cui  gli assiomi della geometria esprimono condizioni cui gli oggetti dell’esperienza devono necessariamente sottostare in quanto esprimono la struttura del nostro <<senso  esterno>>, perde di significato di fronte all’interrogativo: Quale geometria descrive il mondo in cui viviamo?
Le prime  risposte  denotano una posizione decisamente empirista . Secondo Gauss  e Lobacevskij le verità geometriche  non hanno validità assolute, ma possono essere controllate sperimentalmente, come le leggi fisiche. Lo stesso Gauss, prima della pubblicazione del lavoro di Lobacevskij sulla Geometria iperbolica,  aveva tentato di  verificare sperimentalmente la  proprietà degli angoli interni  di un triangolo, la cui somma, nella geometria euclidea  è pari ad un angolo piatto.
( triangolazione di Hannover)  . Anche Lobacevskij provò un esperimento analogo  con misurazioni non geodetiche  ma astronomiche ( triangolo avente per  vertici la Terra, il Sole e la stella Sirio).
Inutile dire che  nessuno dei due esperimenti forni’ un risultato  pari esattamente a  180° e che  la discrepanza poteva essere attribuita agli errori di misura.
In ogni caso  però i risultati non potevano essere decisivi. Infatti, notava lo stesso Lobacevskij, la geometria iperbolica prevede chela somma degli angoli interni di un triangolo sia inferiore a 180° e che il difetto angolare sia proporzionale alla lunghezza dei lati. Chi ci assicura pertanto che il triangolo scelto sia <<abbastanza >> grande?
L’elemento problematico che rende discutibile questo empirismo geometrico fu colto però da  Helmholtz , sviluppato  da Poincaré ed accettato in parte da Einstein e può essere così formulato:
Una geometria fisica presuppone  che alla descrizione geometrica adottata corrispondano certe assunzioni sugli oggetti utilizzati nell’esperimento ( per esempio le linee rette vengono rappresentate da regoli supposti indeformabili o raggi luminosi  che si ipotizza viaggino in linea retta). Questa interdipendenza  fa sì che, qualunque siano i risultati sperimentali, è sempre possibile sostenere la validità di qualunque sistema geometrico, a patto di modificare le ipotesi ausiliarie.
Se , come nell’esperimento di Lobacevskij ,la somma degli angoli interni di un triangolo non risulta uguale ad un angolo piatto possiamo indifferentemente concludere che

  • I raggi luminosi si propagano in linea retta e lo spazio non è euclideo
  • Lo spazio è euclideo, ma i raggi luminosi non hanno descritto una traiettoria rettilinea per qualche causa fisica.

Con Poincaré si affaccia nel panorama epistemologico , accanto al kantismo e all’empirismo, una terza posizione , il convenzionalismo, originariamente  formulata per gli assiomi geometrici e in seguito estesa anche ai principi generali della fisica.. Sia la geometria che la fisica derivano il loro rigore di scienza dalla loro natura convenzionale. Il sitema ipotetico-deduttivo non avrà più una funzione conoscitiva, ma avrà il compito di aiutare la ricerca, guidando lo scienziato nel distinguere il percorso più comodo e più semplice e nella selezione degli assiomi più utili a fornire un orientamento nel mondo dei fatti empirici.
La conclusione che Poincaré trae da queste considerazioni è che «gli assiomi geometrici non sono dunque né giudizi sintetici a priori né fatti sperimentali: sono convenzioni. Con ciò la questione su quale sia la vera geometria del mondo fisico si dissolve. Essa, afferma Poincaré, «non ha alcun senso». Ma se non esiste un criterio di verità in base al quale scegliere una geometria, in quanto non ha senso parlare di verità relativamente a ciò che è puramente convenzionale, sì che «una geometria non può essere più vera di un'altra», con quale altro criterio allora scegliere la geometria mediante cui rappresentare lo spazio fisico? Salva la imprescindibile necessità di evitare ogni contraddizione, la scelta della geometria -afferma Poincaré- è libera. Tuttavia, se una geometria non può essere più vera di un'altra, può comunque essere più comoda, e da questo punto di vista la scelta ricadrà sempre sulla geometria euclidea, sia perché è la più semplice sia perché si accorda bene con le proprietà dei solidi naturali.

Einstein esprime il suo pensiero sui rapporti tra  geometria e Fisica nella conferenza dal titolo Geometria ed esperienza ( 1921). La sua affermazione:<<Nella misura in cui le proposizioni matematiche si riferiscono alla realtà , esse non sono certe; e nella misura in cui esse sono certe, non si riferiscono alla realtà>>  è  vicina al convenzionalismo, ma in seguito egli se ne discosta ed opta per un criterio empirico nella scelta della geometria di Riemann nella Relatività generale.
L’originilità della posizione di Einstein si riscontra  nella sua teoria della gravitazione .La geometria dello spazio-tempo è determinata dalla presenza di masse, nel senso che il comportamento geometrico dei corpi  e la marcia degli orologi dipendono dai campi gravitazionali , i quali, a loro volta  sono prodotti dalla materia.
Anziché attraverso un'interazione di tipo attrattivo in uno spazio piatto come quello euclideo, Einstein viene ad interpretare la gravitazione come il moto inerziale delle masse all'interno di un tessuto spazio-temporale incurvato, nel quale la geometria euclidea non vale più. Due corpi quindi si attraggono solo per una proprietà geometrica, perché cioè deformano lo spazio attorno a loro. Anche la luce segue allora nella sua propagazione la curvatura dello spazio, e da questo Einstein dedusse che le grandi masse devono essere in grado di attirare e di curvare anche i raggi di luce, effetto che è stato verificato con un errore dell’ 1%.
La curvatura dello spazio influenza anche  le orbite  dei pianeti che non rimangono fisse nello spazio, come  nella teoria newtoniana. La spiegazione dello lo spostamento del perielio di Mercurio  fu il massimo risultato della teoria nuova della gravitazione
Con Einstein  il legame Fisica-Geometria  diventa quindi molto più profondo
Lo spazio ed i corpi immersi in esso non sono oggetti indipendenti. Lo spazio influisce su di essi poiché vincola un corpo libero a muoversi lungo una geodetica, ma i corpi influiscono a loro volta sullo spazio determinandone la curvatura. Si è soliti rappresentare questo fatto immaginando lo spazio bidimensionale come un foglio elastico teso: se non vi sono masse appoggiate, il foglio è piano .Se una massa viene però posta su di esso, lo spazio si incurva; altri punti materiali, che si muovo su tale spazio, avvertono la presenza della massa tramite la curvatura dello spazio
circostante.

 

GEOMETRIA E FISICA

 

 “e quando il dio cominciò ad ordinare l'universo, in principio il fuoco, l'acqua, la terra e l'aria, che pure
avevano tracce delle proprie forme, si trovavano in quella condizione in cui è naturale che ogni cosa si trovi quando ildio è assente. Essendo in tale stato, il dio allora li adornò dapprima di forme e di figure. E che il dio ordinò insieme
questi elementi, partendo da una condizione ben diversa, nel modo più bello e più nobile possibile
Platone- Timeo

Platone nel suo dialogo, Timeo, associa il tetraedro, l'ottaedro, il cubo, e l'icosaedro rispettivamente a quelli che erano allora ritenuti i quattro elementi fondamentali: fuoco, aria, terra, e acqua. Il dodecaedro, non realizzabile unendo opportunamente triangoli (come invece avviene per gli altri poliedri citati), veniva invece associato all'immagine del cosmo intero, realizzando la cosiddetta quintessenza
In epoca moderna Keplero (1531-1630)tentò di stabilire una corrispondenza tra le orbite dei pianeti e le proprietà geometriche dei cinque poliedri regolari, intercalando alle sfere che contenevano l'orbita dei pianeti i cinque solidi

 

Stampa antica con lo schema del sistema tolemaico

All’incirca 150 anni dopo Cristo, il modello di Universo venne sistemato e completato da quello che è considerato l’ultimo dei grandi astronomi matematici greci, Claudio Tolomeo. La sua opera, in tredici volumi, è conosciuta con il nome di «Almagesto>>
In essa l’astronomo alessandrino forniva una rappresentazione del Cosmo che potremmo così sintetizzare: 1) l’Universo è finito ed eterno, limitato dalla sfera delle stelle fisse che ruota intorno al proprio asse da oriente ad occidente; 2) al centro vi è la Terra, sferica anch’essa, che volge verso l’alto la parte abitata; 3) i pianeti girano su sfere di cristallo intorno al centro dell’Universo percorrendo gli epicicli a distanze tanto maggiori quanto più lento è il loro movimento
Anche nel sistema copernicano, eliocentrico non abbandona l'idea di un universo sferico finito, limitato dall'ultimo cielo delle stelle fisse; le orbite erano ancora rigidamente sferiche, ritenendo il moto circolare la perfezione assoluta

 

Galileo Galilei(1564- 1642)

“La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.”
Galileo Galilei, Il Saggiatore

 

Henri Poincaré ( 1854-1912)

“La nostra mente si è adattata per selezione naturale alle condizioni del mondo esterno e ha adottato la geometria più vantaggiosa per la specie, o, in altri termini, la più comoda"
Henri Poincaré – La scienza e l’ipotesi

 

 

Albert Einstein(1879-1955)

“ La maggior gioia che ho avuto  è stata di ricavare non solo la teoria di Newton come prima approssimazione, ma anche il moto del perielio di Mercurio come  seconda approssimazione (  da una lettera di Einstein a  Sommerfield  -1913)

 

 

GEOMETRIA E TRASFORMAZIONI

 

 

La scoperta delle Geometrie non euclidee è solo un aspetto del processo di differenzazione che
si andava producendo all’interno della Geometria.
Il matematico tedesco Felix Klein (1849-1925)colse l’esigenza di un paradigma unificante e propose una concezione organica della Geometria  attuando  una notevole convergenza di correnti di ricerca rimaste fino a quel momento senza relazioni, quali la geometria proiettiva, lo studio delle trasformazioni , la teoria dei gruppi.

Nel 1872, nel suo  discorso inaugurale all'università di Erlangen., che diventerà famoso come il "Programma di Erlangen", Klein descrive la geometria come lo studio delle proprietà delle figure, aventi carattere invariante rispetto ad un particolare gruppo di trasformazioni.

Le diverse geometrie, la geometria euclidea, la geometria proiettiva, la geometria affine e le stesse geometrie non euclidee - tutte apparentemente scorrelate - vengono unificate e classificate, secondo l'insieme delle trasformazioni che lasciano invariate certe caratteristiche dei relativi spazi geometrici. : la pluralità delle geometrie si giustificava con la pluralità dei gruppi di trasformazioni.
Le proprietà delle figure che hanno significato geometrico sono quelle invarianti  rispetto al gruppo di trasformazioni  che caratterizza la geometria.
Il carattere di gruppo  della classe di trasformazioni prescelte fa sì che le figure geometriche possano essere  suddivise in classi di equivalenza ( per esempio  tutti i cerchi sono  simili. Quindi equivalenti rispetto al gruppo delle similitudini, mentre tutti i triangoli sono affini, quindi equivalenti rispetto al gruppo delle affinità etc)
In tal modo

  • Si ottiene una visione unitaria dei vari capitoli della geometria che si andavano sviluppando al suo tempo e un legami fra i metodi di indagine geometrica ( analitico e grafico)
  • La Geometria ritrova una sua identità e una sua specificità dopo aver perduto la sua caratteristica peculiare ( capacità di descrivere il mondo reale)
  • Si ripresenta in modo diverso il concetto di archetipo di una figura geometrica , non più idea innata come nella concezione platonica  o concetto astratto dal dato sensiibile,  come nella filosofia aristotelica, ma semplicemente la classe di equivalenza  individuata dalla figura  rispetto alla corrispondenza considerata. 

Infine è importante osservare come lo schema generale che Klein introduce nella classificazione delle geometrie acquistò  grande importanza nell’evoluzione del pensiero scientifico  ed è lo strumento concettuale di base per cogliere l'idea di relatività. Tutte le teorie della fisica hanno un gruppo di invarianza, che caratterizza la loro validità in una classe più o meno ampia di sistemi di riferimento, e quindi la loro indifferenza al sistema di riferimento:  l'osservatore nel sistema di riferimento O scrive esattamente le stesse leggi della fisica di quello che si serve del sistema di riferimento O', purché O e O' siano collegati da una delle trasformazioni del gruppo di invarianza di quella teoria. Il gruppo di invarianza della fisica aristotelica è il gruppo euclideo, mentre quello della meccanica classica è il gruppo di Galileo. L'inizio dei guai della fisica classica alla fine dell'Ottocento potrebbe essere caratterizzato dicendo che il gruppo di invarianza dell'elettromagnetismo maxwelliano non è più il gruppo di Galileo, ma un gruppo di cui al tempo di Maxwell non si sospettava ancora l'esistenza: si tratta infatti di quello che abbiamo chiamato il gruppo di Poincaré o di Lorentz., che fu ufficialmente introdotto nella fisica solo con la relatività speciale di Einstein.
E per finire


GEOMETRIA E ARTE

 

 

L.B. Alberti S-Maria Novella ( Firenze) 1456

Alberti divide l'intero spazio in modo tale che l'altezza dell'edificio è pari alla sua larghezza, formando così un unico vasto quadrato. La parte inferiore, divisa in due dal portale, forma due quadrati, ciascuno dei quali ha una superficie pari ad un quarto di quella del quadrato grande. Il piano superiore è sormontato da un timpano triangolare classico, ha esattamente le stesse misure dei due quadrati della parte inferiore. Nel suo trattato Alberti allude spesso alla necessità di proporzione armonica e semplice.

Kandisky-  Quadrato nero (1923)

Notiamo in questo quadro una rigorosa organizzazione geometrica (circoli, triangoli, rettangoli e frammenti di essi), che enfatizza la qualità e il senso intrinseco di ogni elemento, in accordo con la sua collocazione: la linea orizzontale emana un senso caldo; quella verticale, freddo; il punto, silenzio e immobilità

Dalì – Corpus Hypercubus (1954)

. La croce di Cristo è rappresentata come unn ipercubo di uno spazio a quattro dimensioni, dispiegato in uno spazio tridimensionale a formare un policubo  a croce .
Dalì’ ha voluto così  interpretare la morte di Cristo come un evento avvenuto  in una regione trascendentale rispetto al nostro tempo e al nostro spazio tridimensionale

Escher  Limite del cerchioIII
1958

 

Quest'immagine è una rappresentazione di uno spazio iperbolico il cui modello è dovuto al matematico francese Poincarè.. Poniamoci al centro del disegno e supponiamo di voler camminare fino al bordo di esso. Mentre camminiamo ci restringiamo sempre di più, proprio come accade ai pesci della figura. Per raggiungere il bordo quindi dovremmo percorrere una distanza che ci sembrerà infinita, ma essendo immersi in questo spazio non ci parrà subito ovvio che ci sia qualcosa di inusuale

 

 

BIBLIOGRAFIA

 

 

GEYMONAT    L.   Storia del pensiero filosofico e scientifico   Garzanti

FRAJESE A. Attraverso la storia della Matematica   Le Monnier

MARACCHIA S. La matematica come sistema ipotetico-deduttivo. Le Monnier

 AGAZZI E. – PALLADINO D. Le geometrie non Euclidee e i fondamenti della matematica.                       Arnoldo Mondadori Editore

 

Siti Web  ( principali)www.. matematicamente.it
www.dm.unibo.it/matematica/Noneuclidea
http://matematica.unibocconi.it

 

Fonte: http://alabis.files.wordpress.com/2009/03/rifles-sulla-geometria.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

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