Le quadriche

 


Le quadriche

 

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Le quadriche

 

Tabella riassuntiva sulle quadriche

 

Sia  a1;1 x2+2a1;2 xy+a22 y2+2a1;3 xz+2a2;3 yz+a3;3 z2+2a1;4x+2a2;4y+2a3;4z+a4;4=0 una quadrica nel piano. Sia B la matrice associata alla quadrica, e A la matrice associata ai coefficienti di secondo grado. Allora, la quadrica è non degenere se e solo se la matrice B ha determinante diverso da zero. Sia det(B) il determinante di B; det(A) il determinante di A. Allora, abbiamo la seguente classificazione delle quadriche non degeneri.

 

 

 

Tipo di quadrica

 

 

Det(B)

 

Det(A)

 

Autovalori di A

 

Ellissoide reale

 

 

<0

 

Diverso da 0

 

Hanno tutti lo stesso segno

 

 

Ellissoide immaginario

 

 

>0

 

Diverso da 0

 

Hanno tutti lo stesso segno

 

Iperboloide a una falda

 

 

>0

 

Diverso da 0

 

Non hanno tutti lo stesso segno

 

Iperboloide a due falde

 

 

<0

 

Diverso da 0

 

Non hanno tutti lo stesso segno

 

 

Paraboloide iperbolico

 

 

 

<0

 

 

0

 

Uno è nullo, gli altri due hanno segno opposto

 

 

 

Paraboloide ellittico

 

 

 

>0

 

 

0

 

Uno è nullo, gli altri due hanno lo stesso segno

 

 

 

 

Se, invece, det(B)=0, e r(B) è il rango di B, abbiamo la seguente classificazione delle coniche degeneri.

 

 

 

 

Tipo di quadrica

 

 

r(B)

 

Det(A)

 

Autovalori di A

 

Cono reale

 

 

3

 

Diverso da zero

 

Non hanno tutti lo stesso segno

 

 

Un solo punto

 

 

3

 

Diverso da zero

 

Hanno tutti lo stesso segno

 

 

 

Cilindro ellittico

 

 

 

3

 

 

0

 

Uno è nullo, gli altri due hanno lo stesso segno

 

 

 

Cilindro iperbolico

 

 

 

3

 

 

0

 

Uno è nullo, gli altri due hanno segno opposto

 

 

Cilindro parabolico

 

 

3

 

0

 

Due sono nulli

Cilindro immaginario

(x2+y2+1=0)

3

0

Uno è nullo, gli altri due hanno lo stesso segno

 

Coppia di piani reali distinti incidenti

 

 

 

2

 

 

0

 

Uno è nullo, gli altri due hanno segno opposto

 

 

Coppia di piani complessi coniugati

 

 

2

 

 

0

 

Uno è nullo, gli altri due hanno lo stesso segno

 

 

Coppia di piani distinti paralleli

(reali o immaginari)

 

 

2

 

0

 

Due sono nulli

 

Un solo piano contato due volte

 

 

1

 

0

 

Due sono nulli

 

Fonte: http://digilander.libero.it/marcodebe79/Geom1A/Quadrics.doc

Sito web da visitare: http://digilander.libero.it/marcodebe79/

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