Le quadriche
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Le quadriche
Tabella riassuntiva sulle quadriche
Sia a1;1 x2+2a1;2 xy+a22 y2+2a1;3 xz+2a2;3 yz+a3;3 z2+2a1;4x+2a2;4y+2a3;4z+a4;4=0 una quadrica nel piano. Sia B la matrice associata alla quadrica, e A la matrice associata ai coefficienti di secondo grado. Allora, la quadrica è non degenere se e solo se la matrice B ha determinante diverso da zero. Sia det(B) il determinante di B; det(A) il determinante di A. Allora, abbiamo la seguente classificazione delle quadriche non degeneri.
Tipo di quadrica
|
Det(B) |
Det(A) |
Autovalori di A |
Ellissoide reale
|
<0 |
Diverso da 0 |
Hanno tutti lo stesso segno
|
Ellissoide immaginario
|
>0 |
Diverso da 0 |
Hanno tutti lo stesso segno |
Iperboloide a una falda
|
>0 |
Diverso da 0 |
Non hanno tutti lo stesso segno |
Iperboloide a due falde
|
<0 |
Diverso da 0 |
Non hanno tutti lo stesso segno |
Paraboloide iperbolico
|
<0 |
0 |
Uno è nullo, gli altri due hanno segno opposto
|
Paraboloide ellittico
|
>0 |
0 |
Uno è nullo, gli altri due hanno lo stesso segno
|
Se, invece, det(B)=0, e r(B) è il rango di B, abbiamo la seguente classificazione delle coniche degeneri.
Tipo di quadrica
|
r(B) |
Det(A) |
Autovalori di A |
Cono reale
|
3 |
Diverso da zero |
Non hanno tutti lo stesso segno
|
Un solo punto
|
3 |
Diverso da zero |
Hanno tutti lo stesso segno
|
Cilindro ellittico
|
3 |
0 |
Uno è nullo, gli altri due hanno lo stesso segno
|
Cilindro iperbolico
|
3 |
0 |
Uno è nullo, gli altri due hanno segno opposto
|
Cilindro parabolico
|
3 |
0 |
Due sono nulli |
Cilindro immaginario (x2+y2+1=0) |
3 |
0 |
Uno è nullo, gli altri due hanno lo stesso segno |
Coppia di piani reali distinti incidenti
|
2 |
0 |
Uno è nullo, gli altri due hanno segno opposto
|
Coppia di piani complessi coniugati
|
2
|
0 |
Uno è nullo, gli altri due hanno lo stesso segno
|
Coppia di piani distinti paralleli (reali o immaginari)
|
2 |
0 |
Due sono nulli |
Un solo piano contato due volte
|
1 |
0 |
Due sono nulli |
Fonte: http://digilander.libero.it/marcodebe79/Geom1A/Quadrics.doc
Sito web da visitare: http://digilander.libero.it/marcodebe79/
Autore del testo: non indicato nel documento di origine
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