Principali teoremi della geometria

 


Principali teoremi della geometria

 

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PRINCIPALI  TEOREMI  DELLA  GEOMETRIA

  

N.B. Per affermare che un triangolo è isoscele o rettangolo oppure che un quadrilatero è un parallelogramma o un rettangolo o un rombo o un quadrato o un trapezio o un trapezio isoscele, c’è sempre la possibilità di sfruttare la definizione!!!

 

Congruenza, angoli e segmenti

 

  • Proprietà transitiva della congruenza: due figure congruenti ad una terza sono congruenti tra loro.
  • Somme o differenze di segmenti congruenti sono congruenti.
  • Doppi, tripli, metà … di uno stesso segmento o di segmenti congruenti sono congruenti.
  • Somme o differenze di angoli congruenti sono congruenti.
  • Doppi, tripli, metà … di uno stesso angolo o angoli congruenti sono congruenti.
  • Angoli complementari o supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti sono congruenti.
  • Angoli opposti al vertice sono congruenti.
  • Due angoli congruenti e supplementari sono retti.

Triangoli

 

  • I criterio: se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso allora sono congruenti.
  • II criterio: se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due angoli e il lato tra essi compreso allora sono congruenti.
  • III criterio: se due triangoli hanno ordinatamente congruenti tre lati allora sono congruenti.
  • Un triangolo è isoscele se e solo se ha gli angoli alla base congruenti.
  • Un triangolo è isoscele  se e solo se l’altezza e la mediana relativa alla base e la bisettrice dell’angolo al vertice coincidono.
  • Se un triangolo è isoscele allora le altezze e le mediane relative ai lati congruenti e le bisettrici relative agli angoli congruenti sono congruenti e si tagliano in parti congruenti.
  • Se due triangoli sono congruenti allora le altezze e le mediane relative ai lati congruenti e le bisettrici relative agli angoli congruenti sono congruenti.

 

Rette parallele e perpendicolari

 

  • Due rette sono parallele se e solo se, tagliate da una trasversale, formano:
    • angoli alterni (interni o esterni) congruenti,
    • angoli corrispondenti congruenti,
    • angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.
  • Due perpendicolari ad una stessa retta sono parallele tra loro.
  • Se due rette sono parallele ogni perpendicolare ad una è perpendicolare all’altra.
  • Proprietà transitiva del parallelismo: due rette parallele a una terza sono parallele tra loro.
  • Due angoli aventi i lati paralleli concordi o paralleli discordi sono congruenti; due angoli aventi una coppia di lati paralleli concordi e una coppia di lati paralleli discordi sono supplementari.
  • Segmenti paralleli compresi tra rette parallele sono congruenti.

Teorema dell’angolo esterno e criteri particolari (2° generalizzato e triangoli rettangoli)

  • Teorema dell’angolo esterno: in un triangolo l’angolo esterno è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso.
  • La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto.
  • Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari.
  • Gli angoli di un triangoli equilatero sono congruenti ad un terzo di angolo piatto
  • Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti hanno congruenti anche i terzi angoli.
  • Due triangoli isosceli hanno gli angoli al vertice congruenti se e solo se hanno gli angoli alla base congruenti.
  • II criterio generalizzato: se due triangolo hanno rispettivamente congruenti un lato e due angoli allora sono congruenti.
  • Criteri dei triangoli rettangoli: due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti:
    • un cateto e un angolo acuto,
    • l’ipotenusa e un angolo acuto,
    • i due cateti,
    • un cateto e l’ipotenusa
  • Un triangolo rettangolo ha un angolo acuto doppio dell’altro se e solo se l’ipotenusa è il doppio del cateto minore (cioè è la metà di un triangolo equilatero).

 

 

 

Parallelogrammi

  • Se un quadrilatero è un parallelogramma allora:
    • la diagonale lo divide in due triangoli congruenti,
    • i lati opposti sono congruenti ,
    • gli angoli opposti sono congruenti,
    • gli angoli adiacenti ad uno stesso lato sono supplementari,
    • le diagonali hanno lo stesso punto medio.
  • Se in un quadrilatero:
    • i lati opposti sono congruenti a due a due,
    • gli angoli opposti sono congruenti a due a due,
    • ha una coppia di lati opposti paralleli e congruenti,
    • le diagonali hanno lo stesso punto medio

allora è un parallelogramma.

  • In un rettangolo le diagonali sono congruenti.
  • Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti allora è un rettangolo.
  • In un rombo le diagonali sono perpendicolari e bisettrici degli angoli.
  • Se un parallelogramma ha le diagonali perpendicolari o bisettrici degli angoli allora è un rombo.
  • In un quadrato le diagonali sono congruenti, perpendicolari e bisettrici degli angoli.
  •  Se un parallelogramma soddisfa una caratteristica dei rettangoli (definizione o proprietà) e una caratteristica dei rombi (definizione o proprietà) allora è un quadrato. (schema 1: in fondo all’elenco)
  • Un triangolo è rettangolo se e solo se la mediana relativa a un lato (ipotenusa) è metà del lato (ipotenusa) stesso (cioè lo divide in due triangoli isosceli).

Trapezi

  • Un trapezio è isoscele se e solo se gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti.
  • In un trapezio isoscele le diagonali sono congruenti e lo dividono in quattro triangoli di cui due congruenti e due isosceli.
  • In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti ai lati obliqui e gli angoli opposti sono supplementari.
  • In un trapezio isoscele le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono congruenti.

 

 

Talete con le congruenze

 

  • Teorema di Talete: se un fascio di rette parallele è segato da due trasversali allora a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale.
  • Se per il punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela ad un altro lato, questa dimezza il lato rimanente.
  • In un triangolo qualunque il segmento che congiunge i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà.
  • La congiungente i punti medi dei lati obliqui di un trapezio è parallela alle basi e congruente alla loro semisomma.
  • I punti medi dei lati di un quadrilatero sono vertici di un parallelogramma. (schema 2: in fondo all’elenco)

Luoghi geometrici

                                                                   .

  • La bisettrice di un angolo convesso è il luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo.
  • L’asse di un segmento è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento.

 

Circonferenze

                            .

  • Due circonferenze o due cerchi sono congruenti se e solo se hanno i raggi congruenti.
  • In una circonferenza o in circonferenze congruenti:
    • ad archi congruenti corrispondono corde e angoli al centro congruenti,
    • a corde congruenti corrispondono archi e angoli al centro congruenti,
    • ad angoli al centro congruenti corrispondono archi e corde congruenti.
  • In una circonferenza la bisettrice di un angolo al centro dimezza l’arco e la corda corrispondenti (e viceversa).
  • Teorema della retta diametrale: in una circonferenza :
    • la retta passante per il centro e perpendicolare ad una corda passa per il punto medio della corda e dimezza pure l’arco e l’angolo al centro corrispondenti,
    • la retta passante per il centro e per il punto medio di una corda è perpendicolare alla corda stessa e dimezza l’arco e l’angolo al centro corrispondenti,
    • l’asse di una corda passa per il centro.
  • In una circonferenza o in circonferenze congruenti: due corde sono congruenti se e solo se congruenti hanno distanze congruenti dal centro,
  • Una retta è tangente ad una circonferenza se e solo se è perpendicolare al raggio nel punto di contatto.
  • Ogni angolo alla circonferenza è metà del corrispondente angolo al centro.
  • In una circonferenza o in circonferenze congruenti :
    • ad archi congruenti corrispondono angoli alla circonferenza congruenti,
    • ad angoli alla circonferenza congruenti corrispondono archi congruenti.
  • Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza  è rettangolo.
  • Teorema delle tangenti: se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono le due tangenti:
    • i segmenti di tangente compresi fra tale punto e i punti di contatto sono congruenti.
    • la congiungente il punto esterno con il centro della circonferenza è bisettrice sia dell’angolo formato dalle due tangenti, sia dell’angolo formato dai raggi che vanno ai punti di tangenza,
    • la congiungente il punto esterno con il centro della circonferenza è asse della corda che unisce i due punti di tangenza.                                                                                                          
  • Teorema del baricentro: il baricentro divide ciascuna mediana in due parti di cui quella contenente il vertice è doppia dell’altra.
  • Un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza se e solo se ha gli angoli opposti  supplementari.
  • Un quadrilatero è circoscrivibile in una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due  

 

Equivalenza

                                                                                           .     

  • Proprietà transitiva dell’equivalenza: due superficie equivalenti ad una terza sono equivalenti tra loro.
  • Somme o differenze di superficie equivalenti sono equivalenti.
  • Figure equicomposte (somme di figure congruenti) sono equivalenti.
  • Due parallelogrammi sono equivalenti se hanno basi e altezze corrispondenti congruenti.
  • Un rettangolo è equivalente ad un parallelogramma avente la stessa base e la stessa altezza.
  • Un triangolo è equivalente ad un parallelogramma avente la stessa altezza e metà base.
  • Un trapezio è equivalente ad un triangolo avente la stessa altezza e per base la somma delle basi del trapezio.
  • Un poligono circoscritto è equivalente ad un triangolo avente per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza inscritta.
  • I teorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo il quadrato di un cateto è equivalente al rettangolo dell’ipotenusa e della proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
  • II teorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo il quadrato dell’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo delle proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.
  • Teorema di Pitagora: un triangolo è rettangolo se e solo se il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati dei due cateti    

Talete
.

  • Teorema di Talete: un fascio di rette parallele determina su due trasversali due classi di segmenti direttamente proporzionali.
  • La parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due lati in parti proporzionali.
  • Se una retta divide in parti proporzionali due lati di un triangolo allora è parallela al terzo lato.
  • Teorema della bisettrice: la bisettrice di un angolo interno di un triangolo di vide il lato opposto in parti proporzionali agli due lati.

Similitudine

 

  • I criterio di similitudine: due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti.
  • II criterio di similitudine: due triangoli sono simili se hanno un angolo congruente compreso tra lati proporzionali.
  • III criterio di similitudine: due triangoli sono simili se hanno i tre lati ordinatamente proporzionali.
  • Una retta parallela ad un lato di un triangolo stacca da esse un triangolo simile al dato.
  • Tutti i triangoli equilateri sono simili tra loro.
  • Due triangoli isosceli sono simili se hanno congruenti  gli angoli alla base o gli angoli al vertice.
  • Due triangoli rettangoli sono simili se hanno un angolo acuto congruente o i cateti proporzionali.
  • In due triangoli simili le altezze, le mediane, le bisettrici, i raggi delle circonferenze inscritte e circoscritte, i perimetri stanno tra loro come due lati omologhi; le superfici stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi.
  • I Euclide: in un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
  • II Euclide: in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.
  • Teorema delle due corde: se due corde di una circonferenza si intersecano. I segmenti di una sono inversamente proporzionali ai segmenti dell’altra.
  • Teorema delle due secanti: se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti, le intere secanti sono inversamente proporzionali alle loro parti esterne.
  • Teorema della tangente e della secante: se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono una tangente ed una secante, il segmento di tangente è medio proporzionale tra l’intera secante e la sua parte esterna.

Formule particolari

  • diagonale di un quadrato in funzione del lato :                      d = l ;
  • altezza di un triangolo equilatero in funzione del lato:          h = ;
  • in un triangolo rettangolo avente gli angoli acuti di 30° e 60°:
  • l’ipotenusa è il doppio del cateto minore;
  • il cateto maggiore è il cateto minore per  ;
  • il cateto maggiore è ½ ipotenusa per ;
  • area di un triangolo in funzione dei lati (formula di Erone): 

-    S  =

  • lati di poligoni regolari in funzione del raggio della circonferenza circoscritta:

-     l3  =  r  ;             

  •  l4  =  r  ;    

-     l6  =  r .

  • raggio delle circonferenze inscritte e circoscritte in funzione dei lati di un triangolo:

-     r   = S / p ;             

  •  R  = a b c / 4 S .

 

Fonte: http://www.liceocavalieri.it/public/classi/archiviorisorse%5CV1PRINCIPALI_TEOREMI_DELLA_GEOMETRIA.doc

 

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

 

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