La retta nel piano cartesiano formule

 


La retta nel piano cartesiano formule

 

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La retta nel piano cartesiano formule

 

    “ LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO.

Assumiamo come conoscenza di base che l’equazione di una retta nel piano cartesiano si possa esprimere nella forma generale:  y = mx + q , (equazione di una retta in forma esplicita),  facendo riferimento ad essa nello sviluppo di questa unità di recupero. Rivedremo da un punto di vista soprattutto operativo i seguenti aspetti dell’argomento, che rappresentano le competenze operative e concettuali fondamentali:

  • Come rappresentare nel piano cartesiano una retta di data equazione;
  • Come determinare l’equazione della retta passante per due punti di date coordinate, esaminando le caratteristiche di rette particolari nel piano cartesiano;
  • Come risolvere problemi di parallelismo o di perpendicolarità fra rette;
  • Come determinare le coordinate del punto medio di un segmento o calcolare la misura della distanza fra due punti.
  • Vedremo infine come la  risoluzione di problemi “più complessi” si ottiene  dall’applicazione congiunta o ripetuta di due o più delle suindicate procedure.

 

Cominciamo seguendo la scaletta indicata:

  • Sia data la retta di equazione y = 3x – 2 . Per rappresentarla ci basta trovare le coordinate di due suoi punti, che determiniamo seguendo la seguente procedura: assegniamo un valore a piacere alla  x  e, tramite l’equazione, calcoliamo il corrispondente valore della y. Ad esempio:

per x = 1 , si avrà y = 3*1 – 2 = 1; il punto di coordinate (1; 1) è un punto della retta; per x = 2, si avrà y = 3*2 – 2 = 4; il punto di coordinate (2; 4) è un secondo punto della retta. Una volta trovati, (così come abbiamo fatto), due punti della retta, basterà rappresentarli nel piano cartesiano e rappresentare,poi, la retta passante per essi.

  • Siano date le coordinate di due punti: nell’equazione della generica retta y = mx + q andiamo a sostituire le coordinate prima di un punto e poi dell’altro, ottenendo due equazioni con le due incognite m e q. Risolvendo il sistema con le due equazioni ottenute troveremo i valori di m e q che corrispondono alla retta passante per A e per B. Schematizziamo la procedura nella tabella seguente:

Coordinate dei punti dati

Sostituzione delle coordinate nell’equazione della generica retta  y = mx + q

Sistema per trovare i valori di m e q , quindi l’equazione della retta.

  • A(3; 5)
  • B(-2; 7)
  • 5 = 3m + q
  • 7 = - 2m + q

Procediamo con la risoluzione del sistema, utilizzando il metodo di sostituzione:

                    

 

Se i due punti dati hanno la stessa ascissa, ad esempio A(2; 9) e B(2;-7),  la retta per A e B è una parallela all’assedelle y e la sua equazione è: x = 2; se i due punti dati hanno la stessa ordinata, ad esempio A(2; 9) e B(-7; 9),  la retta per A e B è una parallela all’asse delle x e la sua equazione è: y = 9. In particolare x = 0  e y = 0 sono le equazioni dell’asse delle y e dell’asse delle x, rispettivamente. Una retta passante per l’origine, infine, ha equazione del tipo y = mx, cioè il valore di q è uguale a zero.

  • Le equazioni di due rette parallele hanno lo stesso valore di m, (coefficiente “angolare”). Ad esempio :          1)    y = 6x -8  e  y = 6x + 5 ;           2)    y = -3x -4  e  y = -3x +1 ;   etc.

Le equazioni di due rette perpendicolari hanno i valori di m che sono l’uno il reciproco dell’opposto dell’altro. Ad esempio:  1)  y = 3x – 2   e  y =  x – 5 ;     2)   y = x +2   e   y = x + 8 ; etc.

Le tipologie di problemi fondamentali relativi al parallelismo e alla perpendicolarità fra rette sono: trovare la parallela o la perpendicolare ad una retta data, passanti per un punto dato. Schematizziamo la procedura risolutiva di tali problemi nella tabella seguente:

Dati del problema:

L’equazione di una retta;

Le coordinate di un punto.

Procedura per la determinazione della parallela alla retta data, passante per il punto dato.

Procedura per la determinazione della perpendicolare alla retta data, passante per il punto dato.

r:  y = 5x + 2

A(-5; 7)

La generica parallela alla retta data  è  y = 5x + q ; sostituiamo in essa le coordinate di A, ricavando:

7 = - 25 + q ,    da cui q =  32.

La retta cercata è quindi:

y = 5x + 32

 

La generica perpendicolare alla retta data  è  y = x + q   ; sostituiamo in essa le coordinate di A, ricavando: 7 = 1 + q  da cui

q = 6. La retta cercata è quindi:

y = x + 6

 

  • Per calcolare il punto medio di un segmento o la distanza fra due punti i dati necessari sono le coordinate di due punti e la conoscenza, e capacità di applicazione, di due formule che riassumo attraverso la seguente tabella:

Dati iniziali: le coordinate di due punti:

 A( ; )  e B( ; )

Formule per il calcolo del punto medio del segmento AB:

Formula per il calcolo della misura del segmento AB:

Esempio:

A(6; -2)  e  B(7; 4)

 

  

  • Come applicazione delle conoscenze e competenze riassunte si indica il procedimento risolutivo del seguente problema: trovare l’area di un triangolo, note le coordinate A, B e C dei suoi vertici.
  • Si sceglie come base un lato, a piacere, ad esempio AB e si procede con il calcolo della misura del segmento AB, (che sarà la base del triangolo), e della retta passante per A e B, (r1);
  • Si determina la retta perpendicolare alla retta AB, passante per C, (r2);
  • Si determina il punto d’intersezione fra r1 e r2 , ( sistema fra le due rette), che indichiamo con H;
  • Si determina la misura del segmento CH, (altezza del triangolo);
  • Si determina l’area con la formula A =  .

 

Fonte: http://2bclasse2-0.wikispaces.com/file/view/La+retta+nel+piano+cartesiano+97-2003.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

 

FORMULARIO  SULLA RETTA 

ax + by + c = 0

retta generica in forma implicita

y = mx + q

retta generica in forma esplicita

y = mx

retta che passa per l'origine  O ( 0;0)

 y = 0

equazione dell'asse delle ascisse (x)

x = 0

equazione dell'asse delle ordinate (y)

y = k

retta parallela all'asse delle ascisse

x = h

retta parallela all'asse delle ordinate

y = x

equazione della bisettrice del I e III quadrante

y = -x

equazione della bisettrice del II e IV quadrante

coefficiente angolare se la retta è in forma implicita

 

coefficiente angolare della retta passante per due punti dati A (x1; y1) e B( x2; y2

m = 0

se la retta è del tipo y = k

non esiste

se la retta è del tipo  x = h

            m = m1  

oppure          a∙b1-a1∙b=0     

 

se le rette sono  parallele

         

oppure           m ∙ m1 = -1

oppure        a∙a1+b∙b1= 0

 

  se le rette sono perpendicolari

equazione della retta per due punti dati A (x1; y1) B( x2; y2)   con x1≠ x2  e y1≠y2

x = x1                

equazione della  retta   per   A (x1; y1)  e  B( x1; y2

y = y1                        

equazione della retta  per   A (x1; y1)  e  B( x2; y1

y- y1 = m ( x - x1)

equazione retta passante per P  (x1; y1)  o fascio proprio di centro P

a(x - x1)+b(y - y1) = 0

equazione  del fascio proprio in forma implicita

y  =mx +k

fascio di  rette parallele o fascio improprio (se m è costante)

  

distanza di  un punto P(x0; y0)   da una retta  r :  ax+by +c = 0

 

Fonte: http://www.deambrosisnatta.org/files/formulario__sulla_retta.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

 

SCHEMA RIASSUNTIVO DELLE FORMULE (la retta nel piano cartesiano)

 

 

  • distanza tra due punti    

 

  • punto medio di un segmento    

 

 

  • asse del segmento     come luogo geometrico PA=PB oppure

 

  • bisettrici tra due rette    

  • area di un triangolo noti i tre vertici

 

        

 

  • equazioni di rette  particolari

 

asse x                               y=0

parallela asse x                 y=k

asse y                               x=0

parallela asse y                 x=k

bisettrice I  e III               y=x

bisettrice II e IV              y= - x

 

 

  • equazione generica di una retta

                una retta nel piano cartesiano è rappresentata da un equazione di 1° grado  a due variabili.

 

                    y = mx +q          forma esplicita;

                    ax + by + c =0   forma implicita;

 

m rappresenta l’inclinazione della retta rispetto al semiasse x positivo e q rappresenta l’intersezione della retta con l’asse y.

m >0     0°< a< 90°

                  m =0     a = 0 Ú a = 180°

                  m<0      90°< a< 180°

                  per a=90°Ú a= 270° m non ESISTE

 

                 dato α  l’inclinazione della retta: m = tga = sena/cosa

 

 

  • equazione parametrica delle retta.

 

Una retta può essere rappresentata mediante una coppia di equazioni

 


          .         x = f(t)             l’equazione cartesiana si trova eliminando il parametro t tramite

       .            y = g(t)             sostituzione.

 

  • intersezione di 2 rette.

 

Date due rette r e r1 il loro punto d’ intersezione si determina mettendo a sistema le due rette

        Inters.   r

                                      R1

           

                  Vi è però  una relazione fra i coefficienti angolari infatti :

                

       

 

 

 

m¹m1

Le rette sono incidenti

 

 

 

 

m =m1

Le rette sono parallele

m=

m =-1/m1

Le rette sono perpendicolari

 

 

 

  • dati due punti determinarne la retta passante per di essi.

 

                    

 

                       

 

                       

 

 

  • retta dato m e  passante per un punto dato

 

                       

 

  • fascio di rette.

 

Esistono due tipi di fasci : Un fascio si definisce improprio quando tutte le rette sono parallele .L’equazione generica del fascio è  y = mx +k

 

Un  fascio di rette si definisce proprio  si ha quando tutte passano per un punto detto centro del fascio. L’equazione generica è : (ax + by +c) + k(a1x + b1y + c1)=0

Le due generatrici si ricavano raccogliendo k.

Il centro del fascio si determina mettendo a sistema le due generatrici.

          Generatrice 1

C       Generatrice 2

 

 

 

  • distanza punto retta 

 

 

 

                                                                                                                       

 

Fonte: http://www.deambrosisnatta.org/files/schema_riassuntivo_retta_08.doc

Sito web: http://www.deambrosisnatta.org/

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

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La retta nel piano cartesiano:

 

Abbiamo visto utilizzando la similitudine dei triangoli che l’equazione di una retta passante per l’origine degli assi è y=mx ovvero abbiamo dimostrato che è sempre costante il rapporto tra y/x e lo abbiamo posto uguale ad m

 

“m” prende il nome di coefficiente angolare e la sua definizione rigorosa è: “ La tangente trigonometrica dell’angolo che la retta forma con il verso positivo dell’asse delle ascisse”

 

Geometricamente è legato alla pendenza della retta in particolare se m>0 l’angolo che essa forma è acuto e la retta sta nel 1°-3° quadrante

Se m<0 l’angolo è ottuso e la retta giace nel 2° 4° quadrante

Facciamo variare il valore di m ed osserviamo il grafico della retta. (clicca due volte sul grafico)

 

Se la retta non passa per l’origine degli assi allora vuol dire che incontrerà l’asse delle y in qualche punto (questo che indicheremo con la lettera q) si chiama intercetta o termine noto e l’equazione della retta è:

y= mx + q  (EQUAZIONE DELLA RETTA SCRITTA IN FORMA ESPLICITA)

 

L’equazione della retta in forma implicita è:

ax+by+c=0

Passaggio da forma implicita a forma esplicita

 

ax + by +c=0         trovo y       by= -ax – c       y= -(a/b) x + ( -c/b)

pongo m= -a/b     e q = -c/b     l’equazione diventa               y=mx+p 

 

 

 

 

 

 

Come si disegna una retta

 

 

 

 

Disegniamo la stessa retta  y= x+1 senza la tabella

 

Il coefficiente angolare m=1

L’intercetta è 1 (intersezione con asse y )

Intersezione con asse x     (y=0)   0=x+1    x=-1

 

 

 

 

intercetta

 Punto appartenete ad una retta

 

Per verificare se un punto appartiene ad una retta dobbiamo sostituire le coordinate del punto rispettivamente nella x e nella y della retta. Se risulta una uguaglianza il punto appartiene altrimenti no.

 

Fonte: estratto da http://profmatematica.files.wordpress.com/2009/11/la-retta-nel-piano-cartesiano.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

Sito web: http://profmatematica.wordpress.com/

 

 

 

 

 

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