Matematica definizioni regole e teoremi

 


 

Matematica definizioni regole e teoremi

 

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Matematica definizioni regole e teoremi

 

Definizioni per interrogazione di Matematica


Definizioni di intervallo:

1) Dati due numeri reali a e b, con a<b, si dice intervallo limitato di estremi a e b l'insieme dei numeri reali compresi tra a e b, che vengono detti rispettivamente estremo inferiore ed estremo superiore dell'intervallo.

Ex:

  • intervallo chiuso: [a,b] = { xєR | a x b};

  • intervallo aperto: (a,b) = { xєR | a < x < b};


2)Dato un numero reale a, si dice intervallo illimitato l'insieme dei numeri reali che precedono o seguono a.

Ex:

-intervallo chiuso illimitato superiormente: [a,+) = { xєR | x ≥ a };

-intervallo chiuso illimitato inferiormente: (-∞,a] = { xєR | x ≤ a };

3) Un insieme E C R si dice limitato superiormente se esiste un numero reale h,detto maggiorante di E, tale che : VxєE si ha : x ≤ h; Un insieme che non ammette maggioranti si dice illimitato superiormente.

4) Un insieme E C R si dice limitato inferiormente se esiste un numero reale k,detto minorante di E, tale che : VxєE si ha : x ≥ k; Un insieme che non ammette minoranti si dice illimitato inferiormente.

5)Un insieme E C R si dice limitato se è limitato sia inferiormente che superiormente,ossia se esistono due numeri reali k e h, tali che VxєE si ha : k x h.

Massimo, Minimo ed Estremi:

1) Si dice minimo dell'insieme E C R, e si indica con min(E), quel numero appartenente all'insieme E tale che : min(E) ≤ x VxєE.

Si dice massimo dell'insieme E C R, e si indica con MAX(E), quel numero appartenente all'insieme E tale che : MAX(E) ≥ x VxєE.

Se l'insieme è chiuso in una delle due parti, o in entrambe, abbiamo min(E) e MAX(E), altrimenti essi non esistono.

2) Si dice estremo inferiore di un insieme E non vuoto di numeri reali, limitato inferiormente, e si indica con inf(E), il numero reale che gode delle seguenti proprietà:

  • inf(E) è un minorante di E;

  • nessun numero maggiore di inf(E) è un minorante di E;

Si dice estremo superiore di un insieme E non vuoto di numeri reali, limitato superiomente, e si indica con sup(E), il numero reale che gode delle seguenti proprietà:

  • sup(E) è un maggiorante di E;

  • nessun numero minore di sup(E) è un minorante di E;

Se gli estremi, sia superiore che inferiore, sono appartenenti ad E, essi sono rispettivamente il massimo e il minimo di E. Se E è illimitato allora inf(E)=-∞ e sup(E)=+∞.

Intorni:

1) Si dice intorno completo di un punto c єR un qualsiasi intervallo aperto che contenga c;

2) Si dice intorno circolare di un punto c єR un qualsiasi intervallo aperto di centro c;

3) Si dice intorno destro di un punto c єR, e si indica con I(c+), un qualsiasi intervallo aperto a destra il cui estremo inferiore è c;

4) Si dice intorno sinistro di un punto c єR, e si indica con I(c-), un qualsiasi intervallo aperto a sinistra il cui estremo superiore è c;

5) Si dice intorno di ∞ l'insieme di tutti i numeri reali x tali che: |x|>M con M єRo+.

6) Si dice intorno di +∞ l'insieme di tutti i numeri reali x tali che, scelto un numero reale positivo M, si ha : x>M. I(+∞) = {x єR | x > M};

7) Si dice intorno di -∞ l'insieme di tutti i numeri reali x tali che, scelto un numero reale negativo M, si ha : x<M. I(+∞) = {x єR | x < M};

Limiti:

1)Definizione di limite finito per x che tende a c:

Sia f(x) una funzione con dominio D definita in un intorno Ic del punto c єR, escluso al più c.

Si dice che la funzione ammette il limite finito l єR per x che tende al valore finito c e si scrive :

Lim f(x) = l.

x -> c

Se, fissato un numero ε>0, piccolo a piacere, esiste un intorno Il tale che per ogni xєIc – {c} si ha: |f(x) – l | < ε.



2)Definizione di limite infinito per x che tende a c:

Sia f(x) una funzione con dominio D definita in un intorno Ic del punto c єR, escluso al più c.

Si dice che la funzione ammette limite infinito per x che tende al valore finito c e si scrive :

Lim f(x) = .

x -> c

Se,per ogni M>0, grande a piacere, esiste un intorno Ic tale che per ogni xєIc – {c} si ha: |f(x)| > M.

3)Definizione di limite finito per x che tende a infinito:

Sia f(x) una funzione con dominio D illimitato.

Si dice che la funzione ammette limite finito l єR per x che tende a infinito e si scrive:

Lim f(x) = l.

x -> ±

Se,per ogni ε>0, piccolo a piacere, è possibile determinare un numero N>0 grande a piacere ed esiste un Il tale che : se |x|> N si ha: |f(x) - l | < ε.



4)Definizione di limite infinito per x che tende a infinito:

Sia f(x) una funzione con dominio D illimitato.

Si dice che la funzione ammette limite infinito per x che tende a più o meno infinito e si scrive:

Lim f(x) = ±.

x -> ±

Se,fissato un M>0, grande a piacere, è possibile determinare un numero N>0 grande a piacere tale che : Vx tale che |x|> N si ha: |f(x)| > M.

Funzione continua:

1) Sia f una funzione definita in un intervallo (a,b) e c un punto appartenente ad (a,b). La funzione f è continua nel punto c se:

Lim f(x) = f(c).

x -> c

Di conseguenza , perché una funzione sia continua in un punto, devono essere soddisfatte tre condizioni:

  • la funzione deve essere definita in c, ossia c єD;

  • deve esistere finito il limite di f(x) per x che tende a c;

  • il valore f(c) e il limite di f(x) per x che tende a c devono essere uguali, quindi f(c) = l.

2) Sia f una funzione definita in un intervallo (a,b) e c un punto appartenente ad (a,b). La funzione f è continua a destra nel punto c se:

Lim f(x) = f(c).

x->C+

Mentre è continua a sinistra nel punto c se:

Lim f(x) = f(c).

x->C-

Quindi una funzione è continua in un punto se è continua sia a destra che a sinistra del punto stesso.

3)Seconda definizione di continuità in un punto : una funzione è continua se, al tendere a zero dell'incremento h, tende a zero anche l'incremento della funzione, ossia:

lim [f(c+h) – f(c)] = 0.

h->0

Funzioni continue in un intervallo:

1) Una funzione f è continua nell'intervallo aperto (a,b), limitato o illimitato, se essa è continua in ogni punto dell'intervallo.

2) Una funzione f è continua nell'intervallo chiuso [a,b] se essa è continua in (a,b) e se è continua a destra in a e a sinistra in b.

Continuità delle funzioni elementari:

1) la funzione costante di equazione f(x) = k e la funzione di equazione g(x) = x sono funzioni continue in R.

Se f e g sono due funzioni continue in c, allora sono continue in c anche:

  • la funzione somma f + g;

  • la funzione differenza f – g;

  • la funzione prodotto f * g;

  • la funzione quozionte f/g con g(c) 0.

Se la funzione f è continua in c, allora sono continue in c anche:

  • la funzione k * f con k costante;

  • la funzione f n con n ЄN.

In particolare, se la funzione f ha equazione f(x) = x, allora sono continue le funzioni di equazione f(x)= kx e f(x) = xn.



2) Una funzione polinomiale è continua in R.

3) Una funzione razionale fratta q=f/g (con f e g polinomi) è continua in R con esclusione dei punti c in cui g(c) = 0, ossia gli zeri del polinomio denominatore.

4) La funzione esponenziale di equazione f(x) = ax e la funzione logaritmica di equazione f(x) = loga x sono continue.

5) Le funzioni di equazione f(x) = sin(x) e g(x) = cos(x) sono continue in tutto il loro dominio. La funzione h(x) = tan(x) è continua in R -{/2 + K∏}.

Continuità delle funzioni composte:

1) Se f è una funzione continua nel punto b e se g è una funzione tale che il limite con x che tende a c di g(x) è uguale a b, allora:

lim f(g(x)) = f(b) = f(lim g(x)).

x → c x → c

2) Se la funzione g è continua in c e la funzione f è continua in g(c), allora la funzione composta (f * g)(x) = f(g(x)) è continua in c.

Teorema di Wierstrass:

Se f è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], allora tra i valori da essi assunti in [a,b] vi sono un massimo e un minimo.

Teorema dei valori intermedi:

Se f è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], con f(a)≠f(b), allora la funzione assume almeno una volta ogni valore compreso tra i valori assunti agli estremi dell'intervallo.

Teorema di esistenza degli zeri:

Se f è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] e f(a) * f(b) < 0, ossia f(a) e f(b) hanno segno opposto, allora esiste almeno un valore c Є (a,b) per cui f(c) = 0.



Se la funzione f è monotona allora essa è invertibile e la sua inversa è monotona.

Se la funzione f è continua e monotona nell'intervallo I, allora anche la funzione inversa g è monotona e continua nell'intervallo A, i cui elementi sono le immagini degli elementi di I secondo f.

Funzioni discontinue:

Una funzione f si dice discontinua in un punto c, detto punto di discontinuità, se non è continua in c. La funzione f è discontinua se non è soddisfatta anche una sola delle tre seguenti condizioni per la continuità, e cioè:

  • la funzione deve essere definita in c, ossia c єD;

  • deve esistere finito il limite di f(x) per x che tende a c;

  • il valore f(c) e il limite di f(x) per x che tende a c devono essere uguali, quindi f(c) = l.





Tipi di discontinuità:

1) Un punto c di discontinuità per la funzione f è detto di prima specie se in c non esiste il limite per x che tende a c di f(x) ma esistono finiti e diversi tra loro i limiti destro e sinistro di c. Alla differenza dei due limiti (destro – sinistro) viene dato il nome di salto.

2) Un punto c di discontinuità per la funzione f è detto di seconda specie se in c non esiste il limite oppure se almeno uno dei limiti destro o sinistro è infinito. Viene anche detto punto di infinito.

3) Un punto c di discontinuità per la funzione f è detto di terza specie se in c esiste finito il limite di f(x) ma o non è definita la funzione in c o il limite con x tendente a c di f(x) = l f(c). è detta anche discontinuità eliminabile perché è possibile definire, al posto della funzione f discontinua, una funzione g continua, detta prolungamento di f, ed eliminare così la discontinuità.

Asintoti:

1) Asintoti verticali : La retta parallela all'asse delle ordinate di equazione x = c è un asintoto verticale per la funzione di equazione y = f(x) se:

lim f(x) = o lim f(x) =

x → c- x → c+

2) Asintoti orizzontali : La retta parallela all'asse delle ascisse di equazione y = k è un asintoto orizzontale per la funzione di equazione y = f(x), avente come dominio un intervallo illimitato, se:

lim f(x) = k o lim f(x) = k

x → -∞ x → +∞

3) Asintoti obliqui : sia f(x) una funzione definta in un intervallo illimitato, non ammette asintoti orizzontali in quanto il limite della funzione con x tendente a più o meno infinito è più o meno infinito. Quindi consideriamo la retta r di equazione

y = mx + q: essa è un asintoto obliquo della funzione se quest'ultima si avvicina ad r in maniera indefinita quando x → ∞. se x → +∞ l'asintoto si dice destro, mentre se

x → -∞ l'asintoto è sinistro. Per individuare univocamente l'equazione dell'asintoto obliquo dobbiamo stabilire il valore del coefficiente angolare m e del termine noto q, che si calcolano mediante formule:

m= lim f(x)/x

x → ±∞

q= lim [f(x) – m ]

x → ±∞

Quindi l'asintoto obliquo esiste solo se entrambi i limiti esistono e sono finiti.



Problema della velocità istantanea e della tangente:

1) Consideriamo un corpo che si muove di moto rettilineo uniforme lungo una linea retta. Se s = s(t) è l'equazione del moto, il corpo all'istante t1 si trova nella posizione s1 = s(t1) e nell'istante successivo t2 occupa la posizione s2 = s(t2) = s(t1 + ∆t), dove ∆t = t2 – t1. La velocità media Vm con cui il corpo ha percorso l'intervallo di spazio ∆s= s2 – s1 nell'intervallo ∆t = t2 – t1 si calcola con la formula:

Vm = ∆s/∆t = (s2-s1)/∆t = [s( t1 + ∆t) – s( t1 )]/∆t.

Per calcolare la velocità istantanea Vi, ossia la velocità che il corpo possiede nell'istante t1, non si può applicare la definizione precedente, quindi ∆t diventerebbe nullo e verrebbe così a perdere significato l'intero rapporto. È possibile dunque risolvere il problema ricorrendo ai limiti. Infatti la velocità istantanea può essere pensata come la velocità media che il corpo possiede in un intervallo di tempo la cui ampiezza si avvicina a 0, ossia:

Vi = lim Vm = lim [s( t1 + ∆t) – s( t1 )]/∆t.

t → 0 ∆t → 0

In conclusione la velocità istantanea è il limite della velocità media per ∆t → 0.

2) Consideriamo una curva A continua nel piano (o nello spazio) alla quale appartengono i punti P e P'. Chiamiamo secante della curva A la retta s passante per P e P'. Ora facciamo muovere il punto P' lungo la curva verso P, in modo che assuma le posizioni P'', P''' ecc..ciò comporta che la secante s ruoti attorno a P. In questo processo di avvicinamento indefinito a P, la secante si avvicina indefinitamente alla retta t passante per P, che viene detta tangente alla curva A in P. Non tutte le curve continue possiedono però una tangente in un qualsiasi loro punto P. Per esempio se in un punto P di una curva A si presentano due tangenti t1 e t2 il punto P viene detto angoloso.

Quindi, arriviamo al nocciolo della questione, supponiamo che la curva A sia il grafico di una funzione di equazione y = f(x), definita in un intervallo (a,b), che ammette tangente t non parallela all'asse delle ordinate nel punto P(xa,f(xa)). Tra le rette del fascio proprio di sostegno P, avente equazione y – f(xa) = m ( x – xa), si troverà anche la tangente alla curva A. Ciò che dobbiamo determinare è il coefficiente angolare mt della retta t, che coincide con la tangente dell'angolo alpha formato dalla retta t con l'asse delle ascisse, ossia mt= tan (alpha);

Consideriamo il punto C( xa + ∆x,f( xa + ∆x )). Il coefficiente angolare della secante s passante pe P e C è : ms = tan β = ∆y/∆x = [f(xa + ∆x) – f(xa)] / ∆x;

Se l'incremento ∆x → 0, per la continuità della funzione f il punto C tende al punto P lungo la curva di equazione y = f(x). In questo processo di avvicinamento l'angolo β si avvicina indefinitamente all'angolo alpha ( diverso da ∏/2) e la secante s passante per P e C si avvicina indefinitamente alla retta t passante per P. Ciò significa che la retta t è la tangente al grafico della funzione nel punto P. Essa ha coefficiente angolare:

mt = lim [f(xa + ∆x) – f(xa)]/∆x

Δx → 0

Definizione di Derivata:

1) La derivata di una funzione f è il limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale nel punto Xo.

f'(Xo) = lim [f(Xo + h) – f(Xo)]/h

h → 0

2) Una funzione si dice derivabile nel punto di ascissa Xo se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale quando l'incremento h tende a 0, ossia se :

f'(Xo) = lim [f(Xo + h) – f(Xo)]/h = l.

h → 0

Continuità e derivabilità:

Se una funzione f è derivabile nel punto di ascissa Xo allora f è continua in Xo, ma non è detto che se una funzione è continua in un punto, sia anche derivabile nel medesimo.

Derivata delle funzioni fondamentali:

  • f(x) = c → f'(x) = 0 VxЄR ;

  • f(x) = x → f'(x) = 1 VxЄR ;

  • f(x) = xn → f'(x) = n * xn – 1 VxЄR e nЄZ ;

  • f(x) = nx → f'(x) = 1/(n n√(xn – 1) VxЄD e nЄN0 ;

  • f(x) = ax → f'(x) = ax * ln a ;

  • f(x) = ex → f'(x) = ex ;

  • f(x) = loga x → f'(x) = (1/x) * loga e VxЄR0+ e aЄR0+ - {1} ;

  • f(x) = ln x → f'(x) = 1/x VxЄR0+ ;

  • f(x) = sin(x) → f'(x) = cos(x) VxЄR;

  • f(x) = cos(x) → f'(x) = -sin(x) VxЄR;

Regole di derivazione:

1) Se kЄR ed f è una funzione derivabile in x con derivata f', allora la derivata della funzione g(x) = k * f(x) è g'(x) = k * f'(x).

2) Se f e g sono due funzioni derivabili in x con derivata f' e g' allora:

  • la derivata della funzione G(x) = f(x) + g(x) è G'(x) = f'(x) + g'(x);

  • la derivata della funzione H(x) = f(x) – g(x) è G'(x) = f'(x) – g'(x);

3) Se f e g sono due funzioni derivabili in x con derivata f' e g', allora la derivata della funzione prodotto F(x) = f(x) * g(x) è F'(x) = [f'(x)*g(x)] + [f(x)*g'(x)] ;

4) Se f e g sono due funzioni derivabili in x con derivata f' e g', allora la derivata della funzione rapporto F(x) = f(x)/g(x) è F'(x) = {[f'(x)*g(x)] + [f(x)*g'(x)]} / [g(x)]2;

5) Se f e g sono due funzioni derivabili in x con derivata f' e g', allora la derivata della funzione composta F(x) = f[g(x)] è F'(x) = f'[g(x)]*g'(x);

6) Se f è una funzione derivabile in Xo e se f'(Xo)0, allora la funzione inversa f -1 di equazione x = f -1 [f(x)] è derivabile nel punto Yo = f(Xo) ed è D[f -1 (Yo)] = 1/f'(Xo).

Differenziale:

Se f è una funzione derivabile di equazione y = f(x) e h = x è l'incremento della variabile indipendente, si dice differenziale della variabile indipendente x la quantità dx = h = x, e differenziale della varibile dipendente y la quantità dy = f'(x) * dx.

Punti estremanti di una funzione :

1) Si dice che una funzione di equazione y = f(x), definita nell'intervallo (a,b), ammette nel punto c interno all'intervallo (a,b) :

  • un massimo relativo M se esiste un intorno completo Ic di c tale che VxЄIc si ha f(x) ≤ f(c).

  • un minimo relativo M' se esiste un intorno completo Ic di c tale che VxЄIc si ha f(x) f(c).

2) Si dice massimo/minimo assoluto di una funzione il valore massimo/minimo che la funzione assume nel suo codominio

Teorema di Fermat : Se una funzione f ha un massimo o un minimo in x = c, e se esiste f'(c), allora f'(c) = 0;

Teorema di Rolle :

Sia f una funzione:

  • continua nell'intervallo chiuso [a,b];

  • derivabile nell'intervallo aperto (a,b);

  • che assume lo stesso valore agli estremi dell'intervallo [a,b], ossia f(a)=f(b);

Allora esiste almeno un cЄ(a,b) tale che f'(c) = 0;

Teorema di Cauchy o degli incrementi finiti:

Siano f(x) e g(x) due funzioni:

  • continue nell'intervallo chiuso [a,b];

  • derivabili nell'intervallo aperto (a,b);

  • tali che g'(x) 0 VxЄ(a,b);

allora:

  • g(a)g(b);

  • esiste almeno un valore cЄ(a,b) tale che {[f(b) – f(a)]/[g(b) – g(a)]}=[f'(c)/g'(c)].

Teorema di Lagrange o del valor medio :

Sia f una funzione:

  • continua nell'intervallo chiuso [a,b];

  • derivabile nell'intervallo aperto (a,b);

Allora esiste almeno un valore cЄ(a,b) tale che f'(c) = [f(b) – f(a)] /(b – a) ossia

f(b) – f(a) = f'(c)(b – a) ;

Conseguenti teoremi a quello di Lagrange :

1) sia f una funzione :

  • definita e continua nell'intervallo [a,b];

  • derivabile nell'intervallo (a,b) con f'(x) = 0 per ogni xЄ(a,b).

Allora la funzione è costante in [a,b];

2) siano f e g due funzioni :

  • definite e continue in un intervallo [a,b];

  • derivabili in (a,b) con f'(x) = g'(x) per ogni xЄ(a,b).

allora la funzione f – g è costante nell'intervallo (a,b) ovvero f(x) = g(x) + k, con k costante.

3) sia f una funzione:

  • continua nell'intervallo [a,b];

  • derivabile nell'intervallo (a,b);

Allora :

  • se f'(x) > 0 VxЄ(a,b) allora f è crescente nell'intervallo [a,b];

  • se f'(x) < 0 VxЄ(a,b) allora f è decrescente nell'intervallo [a,b].

Massimi e minimi di una funzione:

  • negli intervalli in cui la curva è crescente la tangente, in un qualsiasi punto, ha coefficiente angolare positivo, ossia è una retta crescente, e la derivata prima è positiva;

  • negli intervalli in cui la funzione è decrescente la tangente, in un qualsiasi punto, ha coefficiente angolare negativo, ossia è una retta decrescente, e la derivata prima è negativa;

  • nei punti di massimo o di minimo relativi la curva presenta tangente orizzontale, con coefficiente angolare uguale a zero, e la derivata prima è nulla.



Sia f una funzione continua in [a,b], derivabile in (a,b), e sia c un valore singolare per f:

  • se f'(x) > 0 per xЄ(a,b) e f'(x) < 0 per xЄ(c,b) allora (c,f(c)) è un punto di massimo relativo per la funzione f;

  • se f'(x) < 0 per xЄ(a,b) e f'(x) > 0 per xЄ(c,b) allora (c,f(c)) è un punto di minimo relativo per la funzione f;

Concavità e punti di flesso :

1) Si dice che f rivolge la concavità verso l'alto, o che è convessa, in c se in un intorno Ic di c la funzione assume valori non minori dei valori assunti dalla retta tangente al grafico di f in c. In simboli VxЄIc si ha f(x) ≥ f'(c)(x-c) + f(c).

2) Si dice che f rivolge la concavità verso il basso, o che è concava, in c se in un intorno Ic di c la funzione assume valori non maggiori dei valori assunti dalla retta tangente al grafico di f in c. In simboli VxЄIc si ha f(x) f'(c)(x-c) + f(c).

3) una funzione si dice convessa/concava in un intervallo se essa è convessa/concava in ogni punto dell'intervallo.

4) Si dice che F è un punto di flesso per la funzione se, considerati x1 < c e x2 > c, accade che:

  • per xЄ[x1,c] la funzione f è concava e per xЄ[c,x2] la funzione f è convessa;

  • o per xЄ[x1,c] la funzione f è convessa e per xЄ[c,x2] la funzione f è concava;

5) Sia f una funzione continua in [a,b] e derivabile due volte in (a,b).

Allora:

  • se f”(x) > 0 VxЄ(a,b) il grafico della funzione ha, in [a,b], la concavità rivolta verso l'alto;

  • se f”(x) < 0 VxЄ(a,b) il grafico della funzione ha, in [a,b], la concavità rivolta verso il basso.

Regola di De L'Hospital:

Si consideri un punto c appartenente all'intervallo I = (a,b) e due funzioni f e g derivabili nell'intervallo I – {c}.

Inoltre:

  • lim f(x)/g(x) si presenta nella forma indeterminata 0/0 o /∞;

    x → c

  • g'(x) 0 VxЄIc – {c};

  • esiste, finito o infinito, lim f'(x)/g'(x);

                  x → c

Allora:

lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)

x → c x → c

Fonte: http://quartamajorana.altervista.org/fastnews/upload/teoremi.odt

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

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