Goniometria

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Goniometria

NOZIONI DI BASE:

A qualcuno sembrò una magia quando Guglielmo Marconi effettuò la prima radiotrasmissione di un segnale, ma non era magia: alla base di quell’invenzione, e non solo di quella, c’è la goniometria.

Sempre in fisica, quando si è trattato il moto circolare uniforme, subito si è arrivati a parlare di frequenze, periodi, velocità angolari, ed è uscito subito fuori il grafico della curva seno per definire il comportamento del moto armonico. Ogni applicazione della fisica che parla di Hertz (computer, forni a micro onde, impianti stereo, telecomunicazioni, e persino chimica, astronomia, sismologia..) si avvale dei semplici assunti di cui stiamo per avere completa esposizione.

La misura degli angoli

Dal greco, γονον μετρεω = misuro gli angoli, e τριγονον μετρεω = misuro i triangoli.

Per cominciare, è necessario chiarirsi quindi sulla misura di un angolo: il coefficiente angolare “m” finora sembrava raccontare solo un rapporto ordinate/ascisse. Sarà essenziale, ma non misura ancora l’angolo.

Esistono due modi per raccontare un angolo: la più comune è dividere un cerchio in 360 gradi col sistema sessagesimale, ma altrettanto è possibile esprimerlo come “arco sotteso dall’angolo”. In tal caso la misura è in radianti (qualcosa che ricorda bene la pulsazione o velocità angolare in meccanica: rad/sec).

sistema sessagesimale

Siamo comunemente abituati a definire il tempo con le parole: sono le 12:30 e 20 secondi del giorno, mese.. E siamo abituati che 60 secondi fanno 1 minuto, che 60 minuti fanno un’ora, da cui, a seconda del fenomeno, si determina un range (giorno terrestre: 24 ore) oltre le quali scatta un giorno (un giro completo).

Forse alle medie qualcuno ha studiato il sistema decimale (ogni 10) ed il sessagesimale (ogni 60).

In tal senso, mezzogiorno e mezza e 20 secondi si scrive: 12° 30’ 20“.

In goniometria raramente capiterà di usare primi e secondi, concentrandoci per lo più sui gradi. Ora, mentre il fenomeno periodico del giorno viene diviso in 24° (ore), la circonferenza in generale si divide in 360°.

Da un punto di vista grafico, tale convenzione riporta almeno tre nomenclature fondamentali:

90° angolo retto
180° angolo piatto
360° angolo giro

ma è inoltre importante visualizzare la divisione in 2 a 45° (in blu), e le divisioni in 3, quindi 30° - 60° (in verde) dell’angolo 90°. Ad esse corrispondono negli altri quadranti gli stessi valori opposti per simmetria.

Ad esempio 120° = 90° + 30° e risponde in maniera opposta ai 60°.

utilizzare i radianti

meno intuitivo, ma semplice: il radiante non misura l’apertura dell’angolo, bensì la porzione di circonferenza sottesa a tale angolo.

In particolare, si cerca un arco l che abbia la stessa lunghezza del raggio R:

goniometria la misura della circonferenza è 2πR, vista da un angolo sessagesimale di 360°.

In radianti, basta dividere la circonferenza per il raggio:

2πR = 360 ° → 2π = 360° ; π = 180° ; π = 90° ; π = 45° …

l (=R) 2 4

Trasformazioni: da gradi a radianti: da radianti a gradi:

270° . π = 3 π 3 π . 180 = 135°

180° 2 4 π

La circonferenza goniometrica

Nel piano cartesiano è possibile individuare il luogo geometrico dei punti P equidistanti da un unico punto detto centro O della circonferenza, che, in maniera analitica per il riferimento cartesiano x;y, si traduce in:

X² + Y² = R²

Questa sarebbe l’equazione di una circonferenza con centro all’origine. Se noi considerassimo una simile circonferenza con raggio unitario, avremmo subito degli enormi vantaggi:

X² + Y² = 1

goniometria

Essa costituisce l’equazione della circonferenza goniometrica.

Osservate la figura al lato: alla misura dell’angolo α corrisponde lungo la circonferenza un punto P, traguardato dall’origine O.

Questo punto ha un valore in ascisse (OH) e in ordinate (PH).

Ebbene, chiamando:

seno di α = PH (=Yp)

coseno di α = OH (=Xp)

la nostra equazione della circonferenza goniometrica diventa:

sen²α + cos²α = 1

Questa è la relazione base fondamentale della trigonometria.

Ora possiamo trattare gli angoli come misure riportate sugli assi.

Si deve considerare che lo studio di queste funzioni, seno e coseno, sono antichissime. Ogni calcolatrice scientifica ha un pulsante apposta per le funzioni trigonometriche e persino sul proprio computer, anche senza dover accedere ad excel (eccezionale programma), la calcolatrice di serie ha l’opzione per visualizzare i tasti scientifici. In simili strumenti, è richiesto specificamente di stabilire se si utilizzano i gradi o i radianti.

Dall’assunto precedente, escono subito fuori due importanti relazioni tra seno e coseno:

cos²α = 1 – sen²α sen²α = 1 – cos²α

Analizziamo il comportamento delle due curve:

quando α = 0° → cos α = 1 ; sen α = 0
quando α = 90° → cos α = 0 ; sen α = 1

La stessa cosa si verifica negli altri quadranti. In pratica le due funzioni hanno ciò che si chiama uno sfasamento, in tal caso esattamente di 90°. Da questa considerazione emergono nuovi assunti:

cos α = sen( 90° – α ) sen α = cos( 90° – α )

Se infatti proviamo a graficizzare le due curve, appare chiaro l’effetto dello sfasamento di π/2 :

goniometria

Valori notevoli di seno e coseno

Al valore preciso, decimale, di seno e coseno, si preferisce un risultato numerico notevole per tali angoli: il procedimento di base è sempre il teorema di Pitagora, pertanto alcuni valori resteranno sotto radice.

goniometria Angolo a 45° ( π/4 )

Stiamo ragionando sulla circonferenza goniometrica, pertanto il raggio, ovvero l’ipotenusa del triangolo in esame, è unitario, il valore in ordinata e ascissa è rispettivamente riportato con seno e coseno di 45°. In geometria, la diagonale d (ipotenusa = raggio) di un quadrato di lato ℓ, rispetto ad esso: d = ℓ√2 .

Ovviamente, il lato, rispetto la diagonale unitaria del cerchio: ℓ = 1 / √2 .

Per noi, ℓ = sen 45 = cos 45. Per il teorema di Pitagora:

I² = C² + c² → 1 = sen²45 + cos²45

Sappiamo che in tale configurazione seno e coseno sono uguali, quindi potremmo scrivere:

1 = 2 sen²45 da cui sen²45 = 1 → sen 45 = 1 . √2 = √2

2 √2 √2 2

Nell’ultimo passaggio si è semplicemente razionalizzato il denominatore. Ovviamente, cos(45°) = √2/2

goniometria Angolo a 30° ( π/6 ) e 60° ( π/3 )

Si parte dalle considerazioni sul triangolo equilatero, avente tre angoli di 60° e tre lati uguali di misura ℓ . La bisettrice è anche mediana, dunque il triangolo (ruotato) che contiene le informazioni che cerchiamo ha un’altezza h = ℓ / 2 ed una base b = ( √3 / 2 ) ℓ. Nel nostro caso, ℓ=1, h = sen 30 ; b = cos 30.

Si intuisce subito: sen 30 = ½

Per il coseno, basta applicare Pitagora:

I² = C² + c² → 1 = sen²30 + cos²30 → cos²30 = 1 – ½ ² = ¾ → cos 30 = √3 / 2

Nel caso dei 60°, la situazione si ribalta: cos 60 = ½ ; sen 60 = √3/2

Nei vari quadranti ritroveremo per simmetria gli stessi valori, alternati di segno a seconda del quadrante.

gradi – rad	Seno	Coseno
0/360 – 0/2 π	0	1
30 - π/6	½	√3/2
45 - π/4	√2/2	√2/2
60 - π/3	√3/2	½
90 - π/2	1	0
120 - π 2/3	√3/2	– ½
135 - π 3/4	√2/2	– √2/2
150 - π 5/6	½	– √3/2
180 - π	0	– 1
210 - π 7/6	– ½	– √3/2
225 - π 5/4	– √2/2	– √3/2
240 - π 4/3	– √3/2	– ½
270 - π 3/2	– 1	0
300 - π 5/3	– √3/2	½
315 - π 7/4	– √2/2	√2/2
330 - π 11/6	– ½	√3/2

TANGENTE, COTANGENTE, COSECANTE, SECANTE

NOZIONI DI BASE:

Seguono quattro funzioni, tutte derivanti da rapporti tra seno e coseno, fondamentali per la goniometria:

tangente: è un valore preso esternamente al cerchio, esprime il vecchio coefficiente angolare m

cotangente: è l’inverso della tangente

cosecante: è l’inverso del seno

secante: è l’inverso del coseno

diversamente da seno e coseno, i cui valori oscillano tra + 1 e – 1 queste funzioni presentano valori infiniti, pur restando periodiche. Molte In fisica si ricorre spesso a tali funzioni, e saranno determinanti per la trigonometria.

Tangente

goniometria Disponiamo una retta di equazione X=1 in modo tangente alla circonferenza goniometrica come indicato in figura. Notiamo che su tale riferimento, l’angolo α stacca un segmento relativamente allo zero, indicato in figura con il tratto rosso. Tale valore è detto essere la tangente dell’angolo α , indicata indistintamente con Tan α o Tg α .

Come si può osservare, per valori di α pari a 90° e 270° la tangente perde di definizione, procedendo in parallelo con l’asse delle ordinate.

goniometria A differenza di seno e coseno, la tangente, e la cotangente, non sono costrette nella circonferenza, pertanto possono assumere valori infinitamente grandi. Non essendoci due tangenti, qualora l’angolo α eccedesse i 90° si ricerca il valore associato nel tratto inferiore, negativo.

goniometria

goniometria Cotangente

goniometria

gradi – rad	Tangente	Cotangente
0 - 0π	0	∞
30 - π/6	√3/3	√3
45 - π/4	1	1
60 - π/3	√3	√3/3
90 - π/2	∞	0
120 - π 2/3	– √3	– √3/3
135 - π ¾	– 1	– 1
150 - π 5/6	– √3/3	– √3
180 - π	0	∞
210 - π 7/6	√3/3	√3
225 - π 5/4	1	1
240 - π 4/3	√3	√3/3
270 - π 3/2	∞	0
300 - π 5/3	– √3	– √3/3
315 - π 7/4	– 1	– 1
330 - π 11/6	– √3/3	– √3
360 - 2π	0	∞

Per la resa grafica si deve tener conto del comportamento asintotico(1) delle curve: ad esempio a 90° il seno ha il valore massimo, positivo, ma il coseno è nullo, pertanto il rapporto che da luogo alla tangente di 90° ha la forma 1/ 0 , quindi infinito.

Riparte da meno infinito, ha un flesso a 180°, dove il seno è nullo, per poi risalire verso valori infiniti e positivi.

Sia la tangente che la cotangente hanno un periodo di 180°:

TANGENTE

goniometria

COTANGENTE

goniometria

goniometria Secante e cosecante

Rappresentano l’inverso algebrico delle funzioni coseno e seno:

Sec α = 1 Cosec α = 1 _

Cos α Sen α

La dimostrazione geometrica considera una retta tangente

alla circonferenza goniometrica nel punto P, il quale è

ovviamente traguardato rispetto all’origine O da un

angolo α. Tale retta interseca gli assi in due punti,

in figura indicati con S ed S’ .

La secante dell’angolo è il segmento staccato dalla

retta tangente in P sull’asse delle ascisse x rispetto l’origine;

La cosecante è l’altro segmento, staccato sulle ordinate y.

Il segmento OP ha il valore del raggio, pari ad uno, è perpendicolare al segmento SS’, diviso in due porzioni

PS – PS’. Il primo dei due tratti è pari alla tangente dell’angolo, l’altro, alla cotangente.

Se applicassimo Pitagora, ad esempio per trovare la secante:

Sec α = √ 1² + Tg² α = √ Cos² α + Sen² α = √ 1 = 1 _

√ Cos² α √Cos² α Cos α

Appare chiaro come, al variare dell’angolo, la secante può arrivare a valori infinitamente grandi o infinitamente piccoli, negativi. Per ricercare i valori basta invertire quelli di seno e coseno:

gradi – rad	Secante	Cosecante
0 - 0π	1	∞
30 - π/6	2/√3	2
45 - π/4	√2	√2
60 - π/3	2	2/√3
90 - π/2	∞	1
120 - π 2/3	– 2	2/√3
135 - π ¾	– √2	√2
150 - π 5/6	– 2/√3	2
180 - π	– 1	∞
210 - π 7/6	– 2/√3	– 2
225 - π 5/4	– √2	– √2
240 - π 4/3	– 2	– 2/√3
270 - π 3/2	∞	– 1
300 - π 5/3	2	– 2/√3
315 - π 7/4	√2	– √2
330 - π 11/6	2/√3	– 2
360 - 2π	1	∞

SECANTE

goniometria

COSECANTE

goniometria

(1) Un asintoto è una retta cui una curva tenderà ad avvicinarsi senza mai raggiungere una vera intersezione se non all’infinito. Dal greco: α = privativo: senza , συμ = insieme τιθημι = pongo, = senza che mai si incontrino.

Fonte: http://www.webalice.it/greendog/cs/files/matematica41.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

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