Misura degli angoli

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Misura degli angoli

Fino ad ora abbiamo misurato gli angoli col sistema sessagesimale (in inglese degree). Secondo tale sistema l’angolo giro è di 360°, quello piatto è di 180°, quello retto è di 90°. I sottomultipli del grado sono i primi e i secondi e occorrono 60 secondi per fare un primo e 60 primi per fare un grado.

Questo sistema è poco coerente con il sistema decimale e richiede calcoli più o meno complessi per compiere operazioni matematiche.

Per questo motivo gli anglosassoni usano il sistema centesimale (in inglese grad). In tale sistema l’angolo giro è di 400°, il piatto di 200° e il retto di 100°.

La grande semplificazione di tale sistema sta nel fatto che il primo sottomultiplo del grado è il decimo di grado, il secondo è il centesimo di grado, il terzo il millesimo di grado e così via.

Per questo motivo in tale sistema si applicano le comuni operazioni dell’aritmetica decimale.

In matematica e soprattutto in fisica e in informatica il sistema più usato è quello “radiante” che fa corrispondere all’angolo giro 2p, al piatto p, al retto p/2. Possiamo sintetizzare quanto detto nella seguente tabella:

ANGOLO	GRADI SESSAGESIMALI	GRADI CENTESIMALI	RADIANTI
GIRO	360°	400°	2p
PIATTO	180°	200°	p
RETTO	90°	100°	p/2

Vediamo ora come è possibile passare dalla misurazione degli angoli in gradi sessagesimali alla misurazione in radianti. Per fare ciò ricorriamo ad una proporzione. Si voglia, ad esempio, trasformare in radianti l’angolo di 30°. Se chiamiamo x la misura in radianti dell’angolo di 30°, possiamo affermare che 180° corrisponde a p come 30° corrisponde a x.

In notazione matematica questa affermazione diviene:

180°:p=30°:x,

da cui ricaviamo che :

x = 30p = p.

180 6

Riportiamo nella seguente tabella gli angoli più importanti:

GRADI SESSAGESIMALI	RADIANTI
0°	0
15°	p/12
30°	p/6
45°	p/4
60°	p/3
75°	5p/12
90°	p/2
180°	p
270°	3p/2
360°	2p

L’utilità del sistema radiante si sostanzia nella corrispondenza diretta esistente tra angoli espressi in radianti al centro di una circonferenza ed archi corrispondenti sulla circonferenza stessa.

Si consideri una circonferenza di raggio r:

Il perimetro della circonferenza è pari a P=2pr.

In sostanza, per calcolare il perimetro della circonferenza abbiamo moltiplicato l’angolo giro 2p per il raggio r.

Si noti che la circonferenza può essere considerata l’arco corrispondente all’angolo 2p.

Usiamo questa proprietà per calcolare la misura di qualsiasi arco.

Ad esempio si voglia calcolare la misura dell’arco AB di una circonferenza di raggio r corrispondente ad un angolo al centro di 30°.

Poiché l’angolo di 30° corrisponde a p/6 radianti, l’arco AB si ottiene moltiplicando l’angolo espresso in radianti e il raggio:

AB =p/6 *r.

Fonte: http://www.ettorevotta.it/TRIGONOMETRIA.doc

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