Calcolo delle probabilità

 


Calcolo delle probabilità

 

Questo sito utilizza cookie, anche di terze parti. Se vuoi saperne di più leggi la nostra Cookie Policy. Scorrendo questa pagina o cliccando qualunque suo elemento acconsenti all’uso dei cookie.I testi seguenti sono di proprietà dei rispettivi autori che ringraziamo per l'opportunità che ci danno di far conoscere gratuitamente a studenti , docenti e agli utenti del web i loro testi per sole finalità illustrative didattiche e scientifiche.

 

Le informazioni di medicina e salute contenute nel sito sono di natura generale ed a scopo puramente divulgativo e per questo motivo non possono sostituire in alcun caso il consiglio di un medico (ovvero un soggetto abilitato legalmente alla professione).

 

 

Calcolo delle probabilità

 

 

Definizioni

 

Il calcolo delle probabilità tende a rendere razionale il comportamento dell’uomo di fronte all’incertezza; di fatto viene utilizzato in tutte le situazioni in cui non sono prevedibili tutti i fattori osservabili e in quei casi in cui si debbono prendere decisioni in base ad ipotesi riguardanti eventi futuri.

Un evento casuale (detto anche evento aleatorio) è rappresentato da uno dei possibili risultati di un esperimento casuale. L’evento aleatorio può essere:

 

  • certo: quando il risultato è positivo e noto a priori (estrarre una pallina bianca da un un’urna contenente solo palline bianche);

  • impossibile: quando il risultato è nullo e noto a priori (estrarre una pallina nera da un un’urna contenente solo palline bianche);

  • possibile: quando il risultato non è noto a priori (estrarre una pallina nera da un un’urna contenente palline bianche e nere).

 

Nell’ultimo caso l’insieme dei risultati possibili si definisce spazio campionario e si indica con il simbolo W .

Lo spazio campionario si indica con:

W º (E1; E2;E3;……;En)

 

essendo Ei il generico evento possibile ed  n  il numero di tali eventi.

A titolo di esempio:

 

  • l’estrazione di una pallina da un’urna con palline bianche e nere darebbe  W º (B;N);

 

  • il lancio di due monete in successione darebbe  W º (TT;TC;CT;CC);

 

  • l’estrazione di un bussolotto della tombola darebbe  W º (1;2;3;4;…….;88;89;90);

 

  • il lancio di due dadi in successione darebbe W º (12;13;14;15;16;21;22;…….;64;65;66).

 

Due o più eventi si dicono incompatibili se il verificarsi di uno degli eventi esclude il verificarsi degli altri; si diranno compatibili nel caso contrario.

Due eventi incompatibili si dicono necessari se uno di essi deve verificarsi necessariamente.

Due o più eventi si dicono indipendenti se il verificarsi di uno non modifica il verificarsi dell’altro; si diranno dipendenti nel caso contrario.

Si chiama complementare dell’evento E quello corrispondente al non verificarsi dell’evento (si indica con Ē e si legge E negato o non E).  

 Ad esempio lanciando un dado, l’evento complementare all’uscita del numero 3 è dato dall’uscita dei numeri 1,2,4,5,6.

 

Si possono dare 4 diverse definizioni di probabilità:

  • soggettivista: la probabilità di un evento è il grado di aspettativa del verificarsi dell’evento (se diciamo che la probabilità di uscita della faccia testa nel lancio di una moneta è il 50% (1/2) gli attribuiamo un grado di fiducia maggiore di quello che attribuiremmo all’uscita del numero 3 nel lancio di un dado a cui diamo probabilità del 16,6% (1/6). Pertanto visto che la probabilità di un evento impossibile è zero e quella di un evento certo è 1, per il generico evento  E  si può scrivere:

0 ≤ Pr(E)  ≤ 1

 

 

  • classica: la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili, purché tutti i casi siano ugualmente possibili; a titolo di esempio:

 

    • l’uscita di doppia testa nel lancio di due monete in successione è pari ad  1/4  essendo TT uno dei 4 casi possibili (TT, TC, CT,CC);

     

    • l’uscita di una carta di bastoni da un mazzo di carte napoletane è pari ad  10/40  essendo 10 il numero dei bastoni presenti nel mazzo di 40 carte;

     

    • l’estrazione di una pallina bianca da un’urna contenente 5 palline rosse, 12 bianche e 8 nere è pari a 12/25 essendo 12 il numero dei casi favorevoli e 25 quelli possibili.

     

  • frequentista: la probabilità di un evento è il limite a cui tende la frequenza relativa di un evento (riscontrata in precedenti situazioni) al crescere del numero delle prove; si ricorda che la frequenza relativa è il rapporto tra il numero delle prove in cui si è manifestato l’evento e tutte le prove fatte.
  • assiomatica: la probabilità di un evento è quel numero reale p tale che:

 

    • 0 ≤ p ≤ 1;

     

    • se l’evento è certo p(E)=1 e se l’evento è impossibile p(E)=0;

     

    • se due eventi E1 ed E2 sono incompatibili allora  p(E1 o E2) = p(E1) + p(E2).

 

Teoremi

Quando si parla di eventi dipendenti debbono essere analizzate le probabilità subordinate, cioè la probabilità che il secondo evento si verifichi subordinatamente al verificarsi del primo evento; ad esempio se si volesse calcolare la probabilità di estrarre una carte di spade da un mazzo napoletano si avrebbe 10/40, qualora tuttavia la carta estratta fosse una seconda carta la sua probabilità risulterebbe diversa sapendo che la prima carta è stata il 3 di bastoni (probabilità=10/39) oppure il 5 di coppe (probabilità=10/39) oppure il 2 di spade (probabilità=9/39) e cosi via). La probabilità del verificarsi dell’evento E2 subordinatamente all’evento E1 si indica con  p(E2 / E1). E’ evidente che nel caso di eventi indipendenti si avrebbe p(E2 / E2)= p(E2)     

I teoremi fondamentali sulle probabilità possono sintetizzarsi in:

 

 

  • probabilità composte:  la probabilità del verificarsi di un evento che risulta dal concorso di due eventi è data dal prodotto delle probabilità del primo evento e del secondo subordinatamente al primo:

 

    • eventi dipendenti      -   p(E1 e E2) = p(E1) * p(E2 / E1)

     

    • eventi indipendenti   -   p(E1 e E2) = p(E1) * p(E2)

     

  • probabilità totali: la probabilità che si verifichi uno dei due eventi E1 o E2  è data dalla somma delle probabilità dei due eventi diminuita della probabilità che si verifichino entrambi:

 

  • eventi compatibili     -   p(E1 o E2) = p(E1) + p(E2) - p(E1 e E2)

 

  • eventi incompatibili  -  p(E1 o E2) = p(E1) + p(E2)   (la probabilità che si verifichino entrambi è ovviamente nulla).

 

Richiami di calcolo combinatorio

Per le applicazioni di calcolo delle probabilità è necessario conoscere alcune nozioni di calcolo combinatorio che possono essere sintetizzate nelle seguenti:

Permutazioni

Si dicono permutazioni di N elementi tutti quei gruppi che si possono formare con gli N elementi cambiando l’ordine degli elementi stessi; ad esempio avendo le prime tre lettere dell’alfabeto a, b, c, è possibile ottenere i seguenti gruppi: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Il numero dei gruppi che si possono formare risulta pari a

 

 

Il simbolo N! si legge N fattoriale e sta ad indicare il prodotto di N termini crescenti da 1 fino ad N.

Disposizioni

Si dicono disposizioni di N elementi di classe k tutti quei gruppi che si possono formare prendendo ogni volta  k  degli  N  elementi e cambiando ogni volta un elemento o l’ordine degli elementi stessi.

Le disposizioni possono essere:

  • senza ripetizione: quando ogni elemento deve comparire una sola volta in ciascun gruppo e risultano pari a (il numero dei termini del prodotto è pari a k):

 

ad esempio avendo le prime quattro lettere dell’alfabeto a, b, c, d, prendendole a due a due è possibile ottenere i seguenti gruppi: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc; il numero dei gruppi risulta

  • con ripetizione: quando ogni elemento può comparire più volte in ciascun gruppo e risultano pari a:
  •   

ad esempio avendo le prime quattro lettere dell’alfabeto a, b, c, d, prendendole a due a due è possibile ottenere i seguenti gruppi: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd; il numero dei gruppi risulta

Combinazioni

Si dicono combinazioni di N elementi di classe k tutti quei gruppi che si possono formare prendendo ogni volta  k  degli  N  elementi e cambiando ogni volta un elemento e non l’ordine degli elementi stessi.

Le combinazioni possono essere:

 

  • senza ripetizione: quando ogni elemento deve comparire una sola volta in ciascun gruppo e risultano pari a:

 

 

 

ad esempio avendo le prime cinque lettere dell’alfabeto a, b, c, d, e, prendendole a due a due è possibile ottenere i seguenti gruppi: ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de; il numero dei gruppi risulta

 

  • con ripetizione: quando ogni elemento può comparire più volte in ciascun gruppo e risultano pari a: 

 

 

 

ad esempio avendo le prime cinque lettere dell’alfabeto a, b, c, d, e, prendendole a due a due è possibile ottenere i seguenti gruppi: aa, ab, ac, ad, ae, bb, bc, bd, be, cc, cd, ce, dd, de, ee; il numero dei gruppi risulta

 

 

Legge empirica del caso

Sottoponendo un evento con probabilità  p(E)  ad una serie  n  di prove indipendenti ed effettuate nelle medesime condizioni, questo presenterà una frequenza assoluta  k  (numero delle volte in cui si è manifestato l’evento) ed una frequenza relativa  f=k/n

La legge empirica del caso, denominata anche legge dei grandi numeri, afferma che al crescere del numero delle prove la frequenza relativa  f  tende alla probabilità  p(E); si deve precisare che la legge è molto generica: non vengono precisati i concetti di crescita del numero delle prove che non è comunque quella del limite nel senso di analisi matematica ed inoltre molto spesso è impossibile sottoporre un evento ad un numero molto grande di prove (basta pensare ad un esperimento scientifico).

In ogni modo, nei casi in cui la quantità delle informazioni è molto elevata, il fenomeno è assimilabile ai giochi d’azzardo (lancio di una moneta, estrazione di una carta) e quindi l’approccio frequentista può coincidere con quello soggettivista.

 

Teorema di Bayes

Riprendiamo il teorema delle probabilità composte ed il concetto delle probabilità subordinate e quindi quello di eventi dipendenti; per il teorema sugli eventi dipendenti si può scrivere:

 

p(E1 e E2) = p(E1) * p(E2 / E1)         oppure        p(E2 e E1) = p(E2) * p(E1 / E2)

 

e visto che le due probabilità  p(E1 e E2)  e  p(E2 e E1)sono uguali si può scrivere:

p(E1) * p(E2 / E1) =  p(E2) * p(E1 / E2)   da cui

 

 

 

 

Le diverse probabilità che appaiono nell’ultima relazione che rappresenta il teorema di Bayes possono essere interpretate come:

p(E1 / E2)  probabilità a posteriori, cioè la probabilità che avendo osservato l’evento E1questo sia stato generato dalla causa E2;

 

p(E1)         probabilità a priori;

 

p(E2)probabilità dell’evento E2 indipendentemente dall’altro evento;

 

p(E2 / E1verosimiglianza cioè la probabilità dell’evento E2 subordinatamente all’evento E1.

Il teorema di Bayes consente di utilizzare tutta una serie di informazioni, disponibili da altre indagini statistiche relative agli eventi interessati (ad esempio la probabilità a priori e la verosimiglianza) in modo da poter ottenere una serie di convinzioni tradotte in distribuzioni a priori di probabilità.

 

Teorema delle prove ripetute

Considerando un evento E, estrazione di una pallina da un’urna contenente palline bianche e nere,  con probabilità p e probabilità contraria q (pari a 1 – p), se si eseguono n estrazioni reinserendo ogni volta la pallina nell’urna, si vuole calcolare la probabilità che si presentino h palline bianche. La probabilità di estrarre le prime h palline bianche e le successive nere è data da (teorema delle probabilità composte):

Considerando tutti i modi possibile di uscita nelle n prove (cioè alternando uscite bianche e nere) delle h palline bianche (combinazioni senza ripetizione di n elementi di classe h) si avrà che la probabilità cercata è pari a:

 

Fonte: estratto per uso didattico da http://www.sociologia.uniroma1.it/users/studenti/Appunti/Appunti%20Statistica/Appunti_Corso_Intensivo_Statistica.doc

Autore del testo:

Corso di Statistica
Prof.ssa Mary Fraire
Docente: Bruno Delle Donne

Parola chiave google : Calcolo delle probabilita tipo file : doc

 

Calcolo delle probabilità

 

 

 

Visita la nostra pagina principale

 

Calcolo delle probabilità

 

Termini d' uso e privacy

 

 

 

 

Calcolo delle probabilità