Statistica scarto quadratico medio

 


Statistica scarto quadratico medio

 

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Statistica scarto quadratico medio

 

LO SCARTO QUADRATICO MEDIO.

 

                          

 

  s =                 

             N

 

         con

               

  N =     

         

     

       i = 1

 

 

Scarto = faccio la somma degli scarti di ciascuna modalità con la media  

              aritmetica.

Quadratico = perché gli scarti sono elevati al quadrato.

Medio = perché facendo la somma degli scarti al quadrato poi si fa la media 

              (divido per N).

 

Quella presentata è la formula più generica: moltiplico la somma degli scarti per la frequenza con cui si presenta la modalità. 

 

s = (sigma minuscolo) indica lo scarto quadratico medio.

 = frequenza delle modalità; (nel caso di modalità che si presentano con una sola frequenza n(base i) scompare).

 = è la modalità che si presenta con una certa frequenza.

 

S = simbolo di somma

K = numero delle modalità che si presentano.

N = totale della popolazione

 

 

 

Ho 6 modalità, di ciascuna faccio lo scarto della media quadratica, lo moltiplico per il numero delle frequenze con cui la modalità si presenta e divido per n (numero totale della popolazione).

Se con un’operazione preliminare individuo la frequenza con cui si presentano le modalità, ottengo un numero k di modalità diverso da n.

Individuando la frequenza delle modalità, raggruppo le modalità e rendo più semplice il calcolo successivo.

 

La formula senza indice si chiama SIGMA QUADRATO o VARIANZA (usato fino a qualche anno fa soprattutto in Italia, oggi in disuso e sostituita dallo scarto quadratico medio).

                                   

  

                                     

                                        

       N       

 

Con la varianza indico la variabilità al quadrato, mentre con lo scarto quadratico medio indico la variabilità con numeri reali ed elimino “il quadrato” che da un’indicazione amplificata della variabilità.

L’indice di variabilità indica quanto si spalma mediamente il fenomeno in esame su diversi valori ed è espresso con la stessa unità di misura con cui è espresso il fenomeno.

 

                    VARIABILE PESO  (in kg) à

 

52

2

56

1

59

1

60

1

74

1

76

1

81

3

Totale

10

 

Di cui viene calcolata la media aritmetica

        

                   M =    52*2 + 56*1 + 59*1 + 60*1 + 74*1 + 76*1 + 81*3         = 67.2

                                                        10

 

Procedimento :  

    1. si calcolano i singoli scarti dalla media aritmetica
    2. si elevano gli scarti al quadrato e si moltiplicano per le rispettive frequenze
    3. si sommano le quantità ottenute al punto b e si divide la somma ottenuta per il totale delle frequenze
    4. si fa la radice quadrata di quanto ottenuto

 

 

(52 – 67.2)  = 231.04

2

462.08

(56 – 67.2)  = 125.44

1

125.44

(59 – 67.2) = 67.24

1

67.24

(60 – 67.2) = 51.84

1

51.84

(74 – 67.2) = 46.24

1

46.24

(76 – 67.2) = 77.44

1

77.44

(81 – 67.2) = 571.32

3

571.32

(56 – 67.2) = 125.44

10

1401.6

 

 

                            s =

 

In media lo spostamento delle modalità dalla media aritmetica è di 11.8 kg (à il fenomeno ha questa variabilità).

Se fosse stato 0 avrebbe voluto dire che le modalità erano concentrate su un unico valore.

Questo indice è ASSOLUTO : il minimo vale 0 e cresce senza un massimo definito, dipende dal fenomeno in esame.

 

Proprietà della media aritmetica

         - La somma degli scarti dalla media aritmetica è sempre 0.

         - La somma degli scarti dalla media aritmetica costituisce un minimo.

 

                           

 

                                  

 

A è un numero diverso dalla media aritmetica.

 

Lo scarto della variabilità in questo modo indica non solo la variabilità media del fenomeno, ma la indica col numero più piccolo possibile, non c’è spreco.

 

Se i dati sono raggruppati in classi si prende come  il valore centrale di ciascuna classe.

 

 

Classe di reddito

--| 30

24 *

1

(24 - 64.1) = 1608.10 * 1

30 --| 50

40

1

(40 - 64.1)  = 580.81 * 1

50 --| 70

60

4

(60 - 64.1)  = 16.81 * 4

70 --| 90

80

3

(80 - 64.1)  = 252.81 * 3

oltre 90

97 *

1

(97 - 64.1) = 1082.41 * 1

               

totale     

 

 

10

 

4096.9

 

 

                                      s =

 

Come per la media nel caso di dati raggruppati in classi, lo s.q.m. NON è PRECISO.

 

Lo s.q.m. può essere calcolato più velocemente con la seguente formula :

 

                                      s =

M = media aritmetica

tutte le modalità sono elevate al quadrato e messe sotto radice (non ha utilizzo pratico, è utile solo per alcune formulazioni).

 

                                     

 

 

 

 


         N

 

Come la media lo s.q.m. è espresso nella stessa unità di misura della variabile.

 

 

 

 

VARIANZA à s.q.m. elevato al quadrato

 

                                     

                                     

                                            

     N     

 

 

 

DEVIANZA à numeratore della varianza

 

                                      Dev =

 

Per la devianza vale un’importante proprietà, nota come

 

PRINCIPIO DI SCOMPOSIZIONE DELLA DEVIANZA

 

Dato un collettivo suddiviso in 2 o più gruppi, la devianza del collettivo (Dev T) è uguale alla somma delle devianze dei singoli gruppi (Dev W) più la devianza tra le medie dei gruppi (Dev B).

Ciascun termine della Dev B deve essere pesato con la numerosità del relativo gruppo.

 

T = totale

W = within (entro)

B = between (tra)

 

                     Dev(T) = Dev(W) + Dev(B)

 

 

Si ha un collettivo di 5 persone con la seguente distribuzione di reddito :

                            2        3        4        6        10

la media aritmetica è M = 5

 

e la devianza totale è

                   Dev(T) = (2 – 5)=40

 

Dividiamo il collettivo in 2 gruppi e siano le relative distribuzioni dei redditi le seguenti:

 

                   gruppo A       2        6        10

                   gruppo B       3        4

 

         per il gruppo A à      = 6

                                     

Dev = 32

 

 

 

 

per il gruppo B à     = 3.5

                                     

Dev = 0.5

 

La Dev W complessiva sarà :  Dev W = Dev  = 32.5

 

La devianza tra le medie dei due gruppi sarà:

 

                   DevB = (=

 

                              (6 – 5)

                  

                   DevT = DevW + DevB = 32.5 +7.5 = 40 

 

 

Fonte: http://www.sociologia.uniroma1.it/users/studenti/Appunti/Appunti%20Statistica/statistica%20pieri.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

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