Teorema di Ruffini regola di Ruffini

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Teorema di Ruffini regola di Ruffini

La regola di Ruffini

La regola di Ruffini permette di calcolare quoziente e resto della divisione tra due polinomi quando il divisore è un binomio di primo grado che ha il coefficiente del termine di primo grado unitario.

Esempi in cui si può applicare direttamente la regola di Ruffini:

(x³-5x+7):(x-3)

(2x³-3x²+7):(x-3)

Se il coefficiente del termine di primo grado non è unitario allora si deve dividere sia il dividendo che il divisore per il suddetto coefficiente in modo tale che diventi unitario.

Esempi in cui si può applicare la regola di Ruffini dividendo per il coefficiente del termine di primo grado del divisore sia il dividendo che il

divisore :

(5x³-5x²+7):(3x-7) si dividono per 3 tutti i coefficienti del dividendo e del divisore

(-7x⁴-3x⁷+7):(5x-3) si dividono per 5 tutti i coefficienti del dividendo e del divisore

La divisione si esegue poi normalmente con il procedimento descritto nelle pagine seguenti e l’eventuale resto devev essere moltiplicato per il coefficiente del termine di primo grado del divisore ( cioè per lo stesso numero per cui erano stati divisi tutti i coefficienti).

Esempi in cui non si può applicare mai la regola di Ruffini

(3x⁵-11x²+9):(5x⁴-x²+7) il divisore non è di primo grado ma di quarto grado

(-8x⁴-2x⁴+7):(x²+3) il divisore non è di primo grado ma di secondo grado

Negli ultimi due esempi si esegue la divisione in colonna tra i due polinomi dati ( che può essere utilizzata anche quando il divisore ha grado superiore a 1)

Regola di Ruffini per la divisione:

Il quoziente tra un polinomio P(x) di grado n ed il binomio x-a è un polinomio di grado n-1. I suoi coefficienti si trovano mediante la regola illustrata nel seguente esempio:

Innanzitutto si ordina il polinomio dividendo secondo le potenze decrescenti della lettera che vi figura.

Fatto uno schema come quello a fianco, si scrivono i coefficienti del polinomio dividendo, con l'avvertenza di scrivere eventuali 0 in corrispondenza ai termini mancanti.
Ricordarsi che ordinare il polinomio e aggiungere i termini con coefficiente zero è una operazione essenziale per la correttezza della divisione. All'esterno, in basso a sinistra, si mette il termine noto del divisore con il segno cambiato che chiameremo operatore.

La riga più bassa è quella riservata ai coefficienti del polinomio quoziente.
Si inizia abbassando in questa riga il primo coefficiente del polinomio dividendo (in questo caso il 2 che sarà anche il coefficiente del primo termine del polinomio quoziente)

Poi si moltiplica questo numero per l'operatore (3).
Osserva la figura a lato. Il prodotto tra i due numeri va scritto incolonnato con il secondo coefficiente del quoziente.

Si sommano algebricamente i due numeri in colonna ottenendo il secondo coefficiente del polinomio quoziente (nel nostro caso -4)

Si ripete il passo 2 moltiplicando questo coefficiente ancora per l'operatore 3 incolonnando ancora il prodotto con il successivo coefficiente del dividendo.

Si ripete l'operazione vista al passo 3 sommando algebricamente.

Si ottiene il successivo coefficiente del quoziente.

si ripete l'operazione della moltiplicazione

si ripete l'operazione di somma algebrica

I numeri scritti nell'ultima riga orizzontale nella parte interna dello schema (2, -4, -2, -3) sono i coefficienti del polinomio quoziente:
Tale quoziente ha le seguenti caratteristiche:

	deve essere di terzo grado uno in meno del dividendo (abbiamo diviso per un binomio di primo grado quindi per proprietà potenze...)
	è nella stessa variabile x del dividendo
	è ancora ordinato seconde le potenze decrescenti della variabile.

allora: è il quoziente cercato

Il resto della divisione è dato dal numero in basso a destra, cioè -12, che può essere interpretato come polinomio di grado 0.

Si può verificare che

Fonte: http://www.deambrosisnatta.org/files/la_regola_di_ruffini2010.doc

Sito web: http://www.deambrosisnatta.org

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

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