Numeri razionali

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Numeri razionali

Insieme Q dei numeri razionali

Noticina storica
I numeri razionali non erano noti ai babilonesi che infatti per avere meno divisioni possibili inventarono un sistema di numerazione basato sul 12 (12 e' divisibile per 2, per 3, per 4, per 6) ed e' per questo che ancor oggi abbiamo 12 mesi, 60 minuti, 60 secondi, 360 gradi (tutti multipli di 12)
Invece erano noti (naturalmente senza segno) ai greci che li utilizzavano moltissimo, tra l'altro, anche per studiare musica!

Una rappresentazione molto usata sara':

la retta dei numeri razionali

facendo corrispondere ad ogni numero razionale un punto della retta (3 ad esempio puo' essere pensato 3/1 e quindi razionale)

Una rappresentazione mediante teoria degli insiemi potrebbe essere la seguente:

Z e' un sottoinsieme dell'insieme Q quindi i numeri che si corrispondono in Z ed in Q devono avere in Q le stesse proprieta' che avevano in Z
in particolare lo zero resta l'elemento neutro per l'addizione e l'elemento assorbente per la moltiplicazione mentre l'uno e' l'elemento neutro per la moltiplicazione

Un po' di nomenclatura

3
---
5

il 3 si chiama numeratore
il 5 si chiama denominatore
la linea tra numeratore e denominatore si chiama linea di frazione
il tutto si chiama frazione

Equivalenza fra numeri razionali

Abbiamo ora un insieme ove vi sono numeri che, anche se scritti in modo diverso, hanno lo stesso valore come ad esempio
1/2 2/4 3/6 4/8 5/10 . . . . .
Senza scomodare la retta possiamo anche rappresentarli in questo modo

1/2
1/2 significa che prendo una cosa, la divido in due parti e ne prendo la meta'

2/4
2/4 significa che prendo una cosa, la divido in quattro parti e ne considero due

4/8
4/8 significa che prendo una cosa, la divido in otto parti e ne considero quattro
Eccetera.......

Scriviamo ora la regola di equivalenza fra le frazioni:

Due frazioni si dicono equivalenti se e' possibile trasformarle l'una nell'altra moltiplicando e dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero

Per numero intendiamo anche frazioni:
per trasformare 2/4 in 4/8 basta moltiplicare numeratore (sopra) e denominatore (sotto) per 2
per trasformare 2/4 in 5/10 bisogna moltiplicare sopra e sotto per 5/2, cioe' moltiplicare per 5 e poi dividere per 2 sia al numeratore che al denominatore
2 2·5 10 10:2 5
--- = ---- = ---- = ------- = ----
4 4·5 20 20:2 10

Allora visto che le frazioni equivalenti hanno lo stesso valore quando scrivero' una frazione scegliero' sempre la forma piu' semplice possibile dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero (ricordati che in matematica si sceglie sempre la strada piu' semplice), ad esempio se ho

7
---
14

divido numeratore e denominatore per sette, ottengo

1
---
2

Si dice anche che riduciamo la frazione ai minimi termini

Somma fra numeri razionali

Ora dobbiamo definire come fare la somma fra due numeri razionali
Dividiamo la somma nei due casi possibili

Con lo stesso denominatore

Se le due frazioni hanno lo stesso denominatore penso a delle fette: se divido piu' torte uguali ognuna in 5 parti e prendo una fetta dalla prima e poi due fette dalla seconda in totale ho preso tre fette

	+		=
Equivale a dire
1 ---- 5	+	2 ---- 5	=	1 + 2 ------ 5	3 --- 5

Quindi posso dire :

Se le frazioni hanno lo stesso denominatore per fare la somma basta fare la somma dei numeratori

Con denominatore diverso

Vediamo come procedere se le frazioni non hanno lo stesso denominatore ad esempio su
1      1
--- + --- =
2      3
So dalle frazioni equivalenti che
1      2      3      4     5      6      7     8      9
--- = --- = --- = --- = --- = --- = --- = --- = --- = ........
2      4      6     8    10     12    14    16    18
e che
1      2      3      4     5      6      7
--- = --- = --- = --- = --- = --- = --- = ........
3      6      9    12    15     18    21
Le frazioni hanno tutte lo stesso valore ma quelle in blu hanno lo stesso denominatore nel primo e nel secondo gruppo
Siccome prima, con lo stesso denominatore era facile fare la somma, sostituiamo le frazioni con due frazioni equivalenti che abbiano lo stesso denominatore, e, per semplicita', prenderemo il piu' piccolo ( minimo comune multiplo fra i denominatori o minimo comun denominatore)
1      1       2      3       2 + 3      5
--- + --- = --- + --- = -------- = ----
2      3       6      6          6          6
Ricapitolando :

Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore per fare la somma cerco due frazioni equivalenti che abbiano lo stesso denominatore poi faccio la somma come nel caso precedente

Di solito, per fare la somma piu' rapidamente si abbrevia nel seguente modo:
1      1
--- + --- =
2      3
Il minimo comune multiplo fra 2 e 3 e' 6 quindi scrivo
1      1
--- + --- = --------
2      3           6
Ora faccio 6 diviso 2 , viene 3 e moltiplico 3 per il numeratore 3·1 = 3, lo scrivo sopra
1      1        3 +
--- + --- = --------
2      3           6
Ora faccio 6 diviso 3 , viene 2 e moltiplico 2 per il numeratore 2·1 = 2, lo scrivo sopra
1      1        3 + 2
--- + --- = --------
2      3           6
eseguo la somma
1      1        3 + 2       5
--- + --- = --------- = ----
2      3           6         6
Naturalmente si scrive solo il passaggio qui sopra

Differenza fra numeri razionali

Per la differenza non c'e' molto da dire: valgono le stesse regole che abbiamo trovato per la somma.

Prodotto fra numeri razionali

Cerchiamo di fare il prodotto nel modo piu' semplice possibile: ad esempio se devo fare
2      4
--- · --- =
3      5
moltiplichiamo sopra con sopra e sotto con sotto
2      4      2·4       8
--- · --- = ------ = ----
3      5      3·5      15

Regola:

Per eseguire il prodotto fra numeri frazionari: moltiplico il numeratore con il numeratore e il denominatore con il denominatore

Quoziente fra numeri razionali

Definiamo il quoziente come il prodotto fra la prima frazione e l'inverso della seconda
2      4
--- : --- =
3      5
rovescio la seconda frazione, semplifico sopra e sotto se possibile (in questo caso semplifico il 2 con il 4 e mi restano 1 e 2), ed infine moltiplico
2²     5      1    5      1·5       5
--- · --- = --- · --- = ------ = ----
3      4 ²     3    2      3·2      6

Regola:

Per eseguire la divisione fra frazioni: moltiplico la prima frazione per l'inverso della seconda

Fonte: http://www.5ctproma.it/Sirio/MATEMATICA/MATEMATICA_SIRIO.docx

Sito web da visitare: http://www.5ctproma.it/

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

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