Logica

 


 

Logica

 

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Logica

 

SCHEDE SULLA LOGICA

 

Alcune nozioni di logica

La logica sarebbe programma di prima, ma chiaramente ci sono parti che non è utile insegnare nella prima adolescenza, perché mancano le strutture cognitive e non si ha sufficiente esperienza, né in matematica né nella vita quotidiana. Pertanto se ne tratta qui, usando la logica come introduzione al calcolo delle probabilità.

 

Giudizi

Un giudizio è una frase costituita da un soggetto (ed eventuali complementi collegati), un verbo essere e un predicato (ed eventuali complementi collegati).

 

Esempio: la mela è rossa.

Il soggetto è ‘la mela’, il verbo essere è ‘è’, il predicato è ‘rossa’.

 

Esempio: il cane di Melandro sarà stanco per la corsa.

Il soggetto è ‘il cane di Melandro’, il verbo è ‘sarà’, il predicato è ‘stanco per la corsa’.

 

Esistono frasi che in apparenza non sono giudizi, ma possono essere letti come tali.

 

Esempio: piove.

Il soggetto (sottinteso) è ‘il tempo atmosferico (ora e qui)’, il verbo è ‘è’, il predicato è ‘piovoso’.

 

Non tutte le frasi sono giudizi: ad esempio, non lo sono le esclamazioni, le domande, gli ordini. Non vanno trattate come giudizi nemmeno le frasi in cui il soggetto o il predicato non sono ben definiti.

 

Esempio: la mamma è buona.

Questo non è un giudizio, perché il predicato ‘buona’ non è ben definito.

 

Esempio: i bimbi piccoli usano i pannolini.

Questo non è un giudizio, perché non è chiaro che cosa si intenda per ‘bimbi piccoli’: a che età ci fermiamo? O ne facciamo una questione di peso? O di capacità di pronunciare la ‘s’?

 

Gli insiemi sono predicati

La logica si collega all’insiemistica: il giudizio la matita è gialla può essere letto in termini insiemistici come l’elemento matita appartiene all’insieme delle cose gialle. Questo suggerisce forti legami fra i concetti che seguono ed alcuni concetti di insiemistica.

 

I valori di verità

In sostanza, un giudizio è una frase con una struttura che si può ridurre a

 

soggetto - verbo essere - predicato

 

e che ha sempre senso chiedersi se sia vera o falsa. La logica di cui si tratterà nel seguito, prima di introdurre il calcolo delle probabilità, sarà appunto una logica in cui i giudizi possono essere soltanto veri o falsi; tale logica si chiama binaria.

Nel seguito, è comodo indicare la verità di un giudizio con 1 e la falsità con 0. I valori 1 e 0 si chiamano valori di verità. Dovrebbe essere intuitivo il motivo dell’indicazione: un giudizio vero è “pieno” di verità, cioè è vero al 100% e 100% = 1. Invece, un giudizio falso è “vuoto” di verità, cioè è vero allo 0% e 0% = 0.

 

I connettivi

Nell’italiano corrente, le frasi sono collegate da congiunzioni. Non è facile dare un senso logico chiaro a tutte le congiunzioni, ma per alcune è possibile. In questi casi, vengono chiamate connettivi.

 

* NON (simbolo logico: Ø). Se il giudizio A è vero, allora ØA è falso; se il giudizio A è falso, allora il giudizio ØA è vero. Mettiamo i risultati in tabella. Tabelle come la seguente, che mostrano come cambiano i valori di un giudizio quando questo viene cambiato mediante una congiunzione, si chiamano tavole di verità.

 

A

ØA

1

0

0

1

 

Una regola algebrica abbastanza naturale per collegare A e ØA è ØA = 1-A.

La negazione in logica è analoga al complemento in insiemistica.

 

* E (simbolo logico: Ù). Se due giudizi sono veri, anche il giudizio che li adotta insieme lo è. Ma basta che uno dei giudizi sia falso e l’intera congiunzione è falsa.

 

Esempio: A: gli alberi sono di legno; B: gli alberi sono ramificati.

Entrambi giudizi sono veri ed è vera anche la loro congiunzione AÙB: gli alberi sono di legno e ramificati.

Basta tuttavia che una sola fra A e B sia falsa e AÙB diventa falsa: poniamo A: gli alberi sono di ferro e teniamo la vecchia B; si ottiene AÙB: gli alberi sono di ferro e ramificati, che è chiaramente falsa.

Il discorso è simile se si usa la vecchia A e una nuova B: gli alberi sono senza rami.

Figuriamoci poi se sono false sia A sia B.

 

Mettiamo i risultati in tabella.

 

AÙB

B

1

0

A

1

1

0

0

0

0

 

Un modo più comune di scrivere la tabella è il seguente, che sarà sempre adottato nel seguito.

 

A

B

AÙB

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

 

Si noti che i valori nelle colonne A e B sono combinati in modo che si ottengano su ogni riga tutte le 4 combinazioni possibili: 1 e 1, 1 e 0, 0 e 1, 0 e 0.

 

Una regola algebrica abbastanza naturale per collegare A, B e AÙB è AÙB = A×B; un’altra regola è AÙB = min(A, B).

La congiunzione in logica è analoga all’intersezione in insiemistica.

 

* O (simbolo logico: Ú). Se due giudizi sono falsi, anche il giudizio che li adotta insieme lo è. Ma basta che uno dei giudizi sia vero e l’intera disgiunzione è vera.

 

Esempio: A: in un buon processo penale, l’imputato è assolto se non ha compiuto il fatto (un caso particolare si ha quando il fatto non sussiste); B: in un buon processo penale, l’imputato è assolto se il fatto non costituisce reato.

Chiaramente, basta una delle due condizioni (l’imputato non ha compiuto il fatto o il fatto non costituisce reato) per essere assolto. Infatti la frase completa corretta dev’essere una disgiunzione AÚB: in un buon processo penale, l’imputato è assolto se non ha compiuto il fatto o se il fatto non costituisce reato. L’unico caso in cui non si è assolti è quando si compie il fatto e questo costituisce reato.

 

Mettiamo i risultati in tabella.

 

A

B

AÚB

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

 

Una regola abbastanza naturale per collegare A, B e AÚB è AÚB = A+B-A×B; un’altra è AÚB = max(A, B).

La disgiunzione in logica è analoga all’unione in insiemistica.

 

* QUINDI (simbolo logico: ®). Si assume che un’implicazione sia sempre vera, tranne quando si parte da una verità e si arriva ad una falsità (questo è il concetto di eccezione).

 

Esempio: partiamo da A: lascio andare un oggetto e B: l’oggetto va verso il basso.

Si ottiene subito la regola A®B: lascio andare un oggetto, quindi l’oggetto va verso il basso. La stessa regola può essere letta anche in altri modi:

se lascio andare un oggetto, (allora) l’oggetto va verso il basso;

un oggetto lasciato andare va verso il basso;

lasciar andare un oggetto implica che l’oggetto vada verso il basso;

basta lasciar andare un oggetto affinché quello vada verso il basso e così via.

Come tutte le regole, anche questa è confutata soltanto da un’eccezione (che quindi, come peraltro dovrebbe essere ovvio a chiunque, non conferma affatto la regola; questa bella trovata è al massimo una battuta di basso livello) e l’eccezione si ha soltanto se è vero che io lasci andare un oggetto ed è falso che questo vada verso il basso.

 

Mettiamo i risultati in tabella.

 

A

B

A®B

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

 

Una regola abbastanza naturale per collegare A, B e A®B è A®B = 1-A+A×B; un’altra è A®B = max(1-A, B).

L’implicazione in logica è analoga all’inclusione in insiemistica, nel senso che A®B è analogo a AÍB.

 

Vanno notate anche le relazioni A®B = ØAÚB e AÚB = ØA®B.

 

Nota critica: questa nozione di implicazione funziona molto bene in matematica, ma presenta alcune debolezze in altri ambiti, chiamate paradossi dell’implicazione. Ecco le principali.

* Risulta essere 1®1 = 1, perciò da qualunque giudizio vero si ottiene correttamente qualunque giudizio vero; ad esempio, l’esistenza delle lasagne al forno implica che i conigli hanno le orecchie lunghe.

* Risulta essere 0®1 = 1, perciò da qualunque giudizio falso si ottiene correttamente qualunque giudizio vero; ad esempio, l’inesistenza delle lasagne al forno implica che i conigli hanno le orecchie lunghe.

* Il seguente schema è sempre vero, come si trova facilmente con le tavole di verità: (A®B)®[(AÙC)®B].

Ma prendiamo A: frego un fiammifero, B: vedo una fiamma e C: il fiammifero è bagnato. In questo caso, chiaramente lo schema dà risultati assurdi.

Va notato tuttavia che, volendo essere intuitivamente corretti, bisognerebbe adottare A1: frego correttamente un fiammifero; e A2: il fiammifero è funzionante; nel qual caso, si avrebbe C = ØA2 e lo schema diventerebbe (A1ÙA2®B)®[(A1ÙA2ÙØA2)®B], che smette di essere vero per A1 = A2 = 1.

 

* CIOÈ (simbolo logico: solitamente «, ma è sensato anche usare =). Si ha una verità se due giudizi sono veri insieme o falsi insieme, altrimenti si ha una falsità.

Esempio: partiamo da A: il triangolo ha i tre lati uguali e B: il triangolo ha i tre angoli uguali.

Le due affermazioni sono vere insieme o false insieme. Questa equivalenza si scrive A«B o anche A = B: il triangolo ha i tre lati uguali, cioè il triangolo ha i tre angoli uguali. I due giudizi hanno uguale valore di verità, il che giustifica il simbolo =.

Invece di CIOÈ, si può anche usare il cattivo italiano SE E SOLO SE (a volte anche i matematici scrivono come burocrati) o il migliore italiano SEMPRE E SOLTANTO SE.

 

Mettiamo i risultati in tabella.

 

A

B

A«B

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

 

Una regola abbastanza naturale per collegare A, B e A«B si trova notando che invece di A«B si può scrivere (A®B) Ù (B®A), da cui si ottiene (1-A+AB)(1-B+AB) = 1-B+AB-A+AB-A2B+AB-AB2+A2B2 = 1-A-B+3AB-A2B-AB2+A2B2.

In logica binaria, si ha A2 = A e B2 = B, perciò l’espressione si semplifica in 1-A-B+3AB-AB-AB+AB = 1-A-B+2AB = 1-A2-B2+2AB = 1-(A2+B2-2AB) = 1-(A-B)2.

Riassumendo, si ottiene A«B = 1-(A-B)2.

L’implicazione in logica è analoga all’uguaglianza in insiemistica, nel senso che A«B è analogo a A = B.

 

Altre congiunzioni di cui si può trovare una chiara tavola di verità

* MA: prendiamo i giudizi A: sono stanco e B: sono contento, da cui si ottiene la frase A MA B: sono stanco, ma contento.

Si trova facilmente che la sua tavola di verità è la stessa di E. Quindi anche per MA si può usare il simbolo Ù. Lo stesso simbolo si può usare, per gli stessi motivi, anche per SEBBENE e tutte le altre congiunzioni concessive.

 

* PERCHÉ (causale): prendiamo le frasi A: corro e B: sudo. Vale chiaramente l’implicazione A®B: corro, quindi sudo.

Questa frase si può anche leggere B¬A: sudo perché corro. Uno studio attento della tavola di verità seguente conferma che l’idea è corretta.

 

A

B

A¬B

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

 

Quindi per PERCHÉ si può usare il simbolo ¬, nel preciso significato di ‘® inverso’.

 

* SENZA CHE: prendiamo le frasi A: mangio e B: bevo, da cui posso ottenere A SENZA CHE B: mangio senza che io beva o mangio senza bere.

Questa frase è vera soltanto se mangio e non bevo, perciò equivale a AÙØB.

La tavola di verità è questa.

 

A

B

C = ØB

AÙC

1

1

0

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

 

Si noti che AÙØB è la negazione di A®B; ad esempio, la frase mangio e non bevo è la negazione di se mangio allora bevo; infatti rappresenta proprio l’eccezione a questa regola.

Gli stessi ragionamenti valgono anche per TRANNE.

L’analogo insiemistico di questo connettivo è la differenza, nel senso che A SENZA CHE B è analogo a A-B.

 

Tautologie, contraddizioni, contingenze

Una frase sempre vera, cioè con una tavola di verità che si conclude con una colonna che contiene soltanto 1, si chiama tautologia.

Una frase sempre falsa, cioè una tavola di verità che si conclude con una colonna che contiene soltanto 0, si chiama contraddizione.

Una frase a volte vera e a volte falsa, cioè che si conclude con una colonna che contiene qualche 1 e qualche 0, si chiama contingenza.

 

Le più utili sono le tautologie, perché sono schemi di ragionamento validi indipendentemente dal valore di verità delle frasi che li compongono. Ecco alcuni casi, ma se ne potrebbero dare molti altri.

 

Nota critica: sia chiaro che molte delle tautologie che seguono funzionano soltanto quando gli unici valori di verità sono 1 e 0.

Ad esempio, poniamo che ci sia un terzo valore di verità, pari a ½, a cui attribuiamo il significato di possibile. Allora usando la regola secondo cui è AÙB = A×B, il principio di non contraddizione, enunciato subito sotto, dà 1-×(1-½)] = ¾; invece, adottando la regola secondo cui è AÙB = min(A, B), dà 1-min[½, (1-½)] = ½. In ogni caso, non dà 1.

 

Non contraddizione

Secondo questo principio, non è accettabile che una cosa sia in un modo e insieme non sia in quel modo.

Ad esempio, non è accettabile che una persona sia insieme diplomata e non diplomata.

In formule, Ø(AÙØA).

Ecco la dimostrazione con le tavole di verità.

 

A

B = ØA

C = AÙB

ØC

1

0

0

1

0

1

0

1

 

Come si nota, in logica binaria il valore di questa formula è sempre 1.

 

Terzo escluso

Secondo questo principio, una cosa è in un modo o non è il quel modo; non ci sono altre possibilità (il terzo modo che appunto viene escluso).

Ad esempio, una persona o è diplomata o non lo è, terzo escluso.

In formule, AÚØA.

Ecco la dimostrazione con le tavole di verità.

 

A

B = ØA

AÚB

1

0

1

0

1

1

 

Leggi di De Morgan

* Negare la congiunzione di due giudizi è come affermare la disgiunzione delle loro negazioni.

Ad esempio, il divieto di correre a piedi nudi e di graffiare i piccioni equivale al divieto di correre a piedi nudi o al divieto di graffiare i piccioni.

In formule, è Ø(AÙB) = ØAÚØB.

 

Ecco la dimostrazione con le tavole di verità.

 

A

B

C = AÙB

ØC

D = ØA

E = ØB

DÚE

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

 

Come si nota le due colonne in grassetto sono uguali, come prescrive l’uguaglianza scritta sopra.

 

* Negare la disgiunzione di due giudizi è come affermare la congiunzione delle loro negazioni.

Ad esempio, non accettare di mangiare farfalle o di nuotare nel Naviglio equivale a non accettare di mangiare farfalle e a non accettare di nuotare nel Naviglio.

In formule, è Ø(AÚB) = ØAÙØB.

 

Ecco la dimostrazione con le tavole di verità.

 

A

B

C = AÚB

ØC

D = ØA

E = ØB

DÙE

1

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

 

Come si nota le due colonne in grassetto sono uguali, come prescrive l’uguaglianza scritta sopra.

 

Maggior ragione

Chiamato anche a fortiori.

Se vale un certo giudizio, aggiungendo un altro giudizio il primo continua a valere.

Ad esempio, se la sporcizia favorisce le malattie e inoltre ci sono pochi medici, la sporcizia favorisce le malattie a maggior ragione.

In formule è (AÙB)®A.

La dimostrazione è lasciata per esercizio.

 

Nota critica: l’argomento va usato con discernimento: se A è una regola e B un’eccezione, allora il fatto che alla fine valga A mostra che c’è qualcosa di sbagliato. In effetti, l’incongruenza sta nello scrivere una generica B invece che esplicitamente ØA; la formula resta una tautologia, ma nella forma (AÙØA)®A assume un significato diverso: se parto affermando tutto e il contrario di tutto, cioè AÙØA, posso concludere con qualunque giudizio, anche con A. Questa formula mostra la portata devastante degli errori in un ragionamento.

 

Inferenza per esclusione

Possono essere vere soltanto due cose; dato che una delle due non vale, vale l’altra.

Ad esempio, soltanto uno dei due cani, Fido e Fuffi, può aver scavato nel giardino; Fido non è stato (perché è rimasto in casa tutto il tempo), quindi è stato Fuffi.

In formule, è [(AÚB)ÙØA]®B.

La dimostrazione è lasciata per esercizio.

 

Modus ponens

Se una cosa ne implica un’altra e la prima capita, allora capita anche la seconda.

Ad esempio, se correre implica che si ansima e capita di correre, allora capita di ansimare.

In formule è [(A®B)ÙA]®B.

La dimostrazione è lasciata per esercizio.

 

Modus tollens

Se una cosa ne implica un’altra e la seconda non capita, allora non capita nemmeno la prima.

Ad esempio, se il fatto che un numero finisca per 0 implica che sia divisibile per 5 e il numero non è divisibile per 5, allora il numero non finisce per 0.

In formule è [(A®B)ÙØB]®ØA.

La dimostrazione è lasciata per esercizio.

 

Legge di Scoto

La forma comune è in latino: ex falso sequitur quodlibet, cioè da una falsità si ottiene qualunque cosa. Ad esempio, se sostengo che si deve e non si deve mentire, secondo le circostanze potrò pretendere una verità o una menzogna; ma si può andare oltre: secondo le circostanze, potrò pretendere qualunque verità o qualunque menzogna.

Per questo in ogni teoria degna di tal nome le contraddizioni vanno evitate: se non vengono evitate, dalla teoria si ottiene tutto, cioè non si ottiene niente che abbia significato.

In formule è (A®ØA)®B.

La dimostrazione è lasciata per esercizio.

 

Transitività dell’implicazione

Se una prima cosa ne implica una seconda e la seconda ne implica una terza, allora la prima ne implica una terza.

Ad esempio, se un mio movimento causa la caduta di un vaso e la caduta del vaso determina la rottura del pavimento, allora il mio movimento determina la rottura del pavimento.

In formule è [(A®B)Ù(B®C)]®(A®C).

 

Ecco la dimostrazione con le tavole di verità. Si ponga attenzione a come sono collocati gli 1 e gli 0 nelle prime tre colonne, in modo da considerare tutte le situazioni possibili.

 

A

B

C

D = A®B

E = B®C

F = DÙE

G = A®C

F®G

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

 

Paradossi

Il “paradosso dell’avvocato”, tratto da Wikipedia.

“Il paradosso dell’avvocato (anche detto paradosso di Protagora) è un paradosso citato da Aulo Gellio e secondo la tradizione riferito ad elaborazioni della scuola stoica.

Secondo questa versione, Protagora avrebbe formato agli studi di legge, come istitutore, un giovane promettente, Evatlo (Euathlus), dal quale ebbe solo la metà di quanto richiesto per le lezioni e col quale stabilì che il resto sarebbe stato saldato dopo che questi avesse vinto la sua prima causa.

Ma Evatlo non cominciò la professione di avvocato, anzi si diede alla politica, e non avendo vinto la sua prima causa poiché non ne aveva mai fatte, Protagora non veniva pagato; quest’ultimo lo convenne dunque in giudizio per essere saldato del prezzo delle sue lezioni.

Il giovane decise di difendersi da solo, divenendo perciò avvocato di sé medesimo, e creando questa situazione di indeterminatezza:

secondo Protagora:

se Evatlo avesse vinto, avrebbe dovuto pagarlo in base all’accordo, perché avrebbe vinto la sua prima causa;

se Evatlo avesse perso, avrebbe dovuto pagarlo comunque per effetto della sentenza.

secondo Evatlo:

se Evatlo avesse vinto, non avrebbe dovuto pagare Protagora per effetto della sentenza;

se Evatlo avesse perso, non avrebbe dovuto pagare Protagora perché in base all’accordo non aveva vinto la sua prima causa.”

 

Il “paradosso del mentitore”, tratto da Wikipedia.

“Secondo alcuni, quello che oggi chiamiamo paradosso nacque con una nota affermazione di Epimenide di Creta (VI secolo a.C.), il quale, cretese egli stesso, ebbe a dire che «[tutti] i Cretesi sono bugiardi»; essendo come detto egli medesimo fra questi, anch’egli avrebbe dovuto conseguentemente essere bugiardo e perciò l’affermazione avrebbe dovuto essere falsa poiché proveniente da un bugiardo. Ma se così non fosse stato, se cioè Epimenide fosse stato un cretese che, almeno in questa occasione, non diceva il falso, l’affermazione sarebbe risultata ugualmente falsa poiché non tutti i cretesi erano bugiardi.”

 

Il “paradosso del barbiere”, tratto da Wikipedia.

“Il paradosso del barbiere è uno dei più famosi paradossi della filosofia matematica moderna, formulato da Bertrand Russell, filosofo e matematico inglese, nel 1918, a seguito di alcune domande poste già nel 1901, tutt’oggi al centro di continue discussioni.

Un villaggio ha tra i suoi abitanti uno ed un solo barbiere, uomo ben sbarbato.

Sull'insegna del suo negozio è scritto ‘il barbiere rade tutti - e unicamente - coloro che non si radono da soli’.

La domanda a questo punto è: chi rade il barbiere?

La risposta che siamo portati naturalmente a dare è ‘il barbiere si rade da solo’.

Ma in questo modo violiamo una premessa: il barbiere rasandosi non raderebbe unicamente coloro che non si radono da soli. Allora viene spontaneo pensare che il barbiere sarà raso da qualcun altro, ma ancora una volta si viola una premessa: che il barbiere rade tutti coloro che non si radono da soli (per dirla in altre parole, il barbiere se si rade da solo non dovrebbe radersi, se non si rade da solo dovrebbe radersi).”

 

Il “paradosso del Comma 22”, tratto da Wikipedia.

“Il paradosso del Comma 22 è un paradosso contenuto nel libro ‘Catch 22’ (in italiano ‘Comma 22’) di Joseph Heller.

Il libro, edito nel 1961, rappresentò una feroce critica alla guerra narrando le avventure di un gruppo di aviatori statunitensi dediti ai bombardamenti in Italia durante la seconda guerra mondiale. Riportava i regolamenti cui i piloti erano soggetti, e fra questi due articoli contraddittori:

Articolo 12, Comma 1: L’unico motivo valido per chiedere il congedo dal fronte è la pazzia.

Articolo 12, Comma 22: Chiunque chieda il congedo dal fronte non è pazzo.

Gli articoli furono poi copiati in Star Trek nel cosiddetto Codice Militare Spaziale del Pianeta dei Klingon (fonte non canonica con la serie televisiva).”

 

 

Un’applicazione poliziesca: il delitto di Goldhouse

Sir Gold invita a una cena d’affari un creditore, Mr. Money, che muore fra una portata e l’altra. Secondo l’autopsia, la causa della morte è un veleno contenuto nella zuppa di cipolle. Il commissario Clear esamina i fatti e interroga le persone presenti a Goldhouse al momento del delitto. I sospettati sono il cuoco, il maggiordomo e Sir Gold, che avevano tutti un movente e l’occasione.

- Il cuoco, in precedenza al servizio della vittima, è stato cacciato senza preavviso con un’accusa di furto infondata; naturalmente, per lui non sarebbe stato un problema inserire il veleno nella zuppa.

- Il maggiordomo ha una giovane sorella, illusa e abbandonata dalla vittima; niente di più facile che versare il veleno nella zuppa, durante il tragitto dalla cucina alla sala da pranzo.

- Sir Gold è in ristrettezze finanziarie e difficilmente in condizioni di restituire il dovuto a Mr. Money, peraltro privo di eredi. Un pretesto per distrarre brevemente la vittima e il veleno è già nella zuppa.

 

Le domande poste ai possibili testimoni danno le seguenti risposte.

* Sir Gold afferma di aver visto il maggiordomo portare la zuppa senza versare alcun veleno e che il cuoco è una persona sincera.

* Il maggiordomo dichiara di aver visto il cuoco preparare la zuppa senza avvelenarla.

* Secondo il cuoco, Sir Gold ha mangiato la zuppa e il maggiordomo è una persona sincera.

 

Il commissario Clear, esperto e dotato di intuito, non fatica a capire che l’assassino non ha complici e che al massimo c’è una persona che mente, non necessariamente l’assassino. Infatti, bisogna considerare che a nessuno dei sospetti fa piacere incriminare chi ha tolto di mezzo una persona detestata.

Chi ha avvelenato Mr. Money?

 

Anzitutto, bisogna capire chi è il bugiardo, in modo da rileggere le dichiarazioni dei testimoni avendo le idee più chiare.

 

Definiamo allora i seguenti giudizi.

C: il cuoco è sincero.

M: il maggiordomo è sincero.

G: Sir Gold è sincero.

c: il cuoco è innocente.

m: il maggiordomo è innocente.

g: Sir Gold è innocente.

 

In questo modo, si può rendere formali le risposte dell’interrogatorio.

Dichiarazione di Sir Gold: (G®m)Ù(G®C).

Dichiarazione del maggiordomo: (M®c).

Dichiarazione del cuoco: (C®g)Ù(C®M).

 

Si noti che queste implicazioni per se stesse sono complessivamente vere, perché sono il risultato dell’interrogatorio, che è chiaramente un dato di fatto. Quindi la frase composta da tutte le implicazioni, cioè F = (G®m)Ù(G®C)Ù(M®c)Ù(C®g)Ù(C®M), è vera.

 

Unendo queste conclusioni a quelle basate sull’intuito del commissario Clear, scopriamo che c’è esattamente un bugiardo (quindi soltanto una fra C, M e G è falsa) ed esattamente un assassino (quindi soltanto una fra c, m e g è falsa).

 

Costruiamo allora una tabella che consideri tutti i possibili casi di falsità.

Se ad esempio sono false C e c, allora si ha

C

M

G

c

m

g

F

0

1

1

0

1

1

0

 

Il risultato di F si ottiene sostituendo i valori nella formula F e ottenendo (1®1)Ù(1®0)Ù(1®0)Ù(0®1)Ù(0®1) = 1Ù0Ù0Ù1Ù1 = 0,

 

Se invece sono false C e m, allora si ha

 

C

M

G

c

m

g

F

0

1

1

1

0

1

0

 

Continuando così, si ottiene la tabella

 

C

M

G

c

m

g

F

0

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1

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1

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1

1

0

0

 

Le prime tre righe in caratteri normali assumono che il cuoco sia l’assassino (dato che è falsa C), le seconde tre righe in corsivo assumono che l’assassino sia il maggiordomo (dato che M è falsa), le terze tre righe in grassetto assumono che l’assassino sia Sir Gold (dato che G è falsa).

Si nota che la penultima riga è l’unica che porta alla verità di F, cioè è l’unica riga che rende conto dei fatti; se ne ottiene che sono G = 0 e m = 0, perciò Sir Gold ha mentito e il maggiordomo è colpevole.

 

ESERCIZI SULLA LOGICA

 

1) Trova l’intersezione dei seguenti insiemi.

A = {x|x£15} e B = {x|x³15}

A = N e B = Q

A = {x|x pari} e B = {x|x dispari}

A = {x|x punti di un piano} e B = {x|x punti di una sfera}

A = {x|x Î N; x non dispari}

A = {x|x non è < Ö2}

 

2) L’enunciato A è più forte di B se A implica B; ad esempio, Ezra è dell’Arizona è più forte di Ezra è americano, perché essere dell’Arizona implica essere americano. Gli enunciati più forti di tutti sono le contraddizioni, quelli più deboli di tutti sono le tautologie.

Ordina dal più forte al più debole questi enunciati.

A: o alcuni tori hanno le corna o alcuni bufali hanno le corna.

B: ci sono tori e bufali; tutti quanti hanno le corna.

C: i tori esistono e hanno tutti le corna.

D: alcuni tori hanno le corna.

E: o qualche toro ha le corna o nessun toro ha le corna.

F: tutti i tori hanno le corna, ma certi tori non le hanno.

 

3) Emma scommette che, se Sacchi tornasse ad allenare la Nazionale, questa vincerebbe sempre. In quale dei casi che seguono Emma perde sicuramente la scommessa?

A) Sacchi non torna ad allenare la Nazionale.

B) Sacchi torna ad allenare la Nazionale e questa non perde mai.

C) Sacchi torna ad allenare la Nazionale e questa non vince tutte le partite.

D) Sacchi non torna ad allenare la Nazionale e questa vince sempre.

E) Sacchi non torna ad allenare la Nazionale e questa non vince mai.

 

4) Alcuni matematici hanno studiato un particolare sottoinsieme dei numeri naturali, che hanno chiamato speciali. Su questi numeri sono stati dimostrati i teoremi che seguono. Uno di essi implica tutti gli altri. Quale?

A) Ci sono infiniti numeri dispari che non sono speciali.

B) Ci sono infiniti numeri dispari e infiniti numeri pari che non sono speciali.

C) Per ogni numero speciale s c’è un numero naturale n non speciale per cui è n > s.

D) C’è soltanto un numero finito di numeri speciali dispari.

E) Un numero speciale non può avere più di 1000 cifre (decimali).

 

5) Trova due interpretazioni, non necessariamente vere, per ognuna delle seguenti formule.

a) AÙØB®B

b) (A®B)ÚA

c) A®(BÚA)

d) (ØA®B)Ú(A®C)

e) ØAÙBÚØB

f) (AÙB)®Ø(CÚA)

 

6) Scopri se le seguenti formule sono tautologie.

a) (A®B)®A

b) (A®B)®ØB

c) (ØA®B)®ÙA

d) (A®B) = (AÙB)Ú(ØAÙØB)Ú(ØAÙB)

e) [(AÙØB)®C]ÚØB

f) [Ø(AÙB)®(AÙC)]®(ØAÚB)

g) (ØAÚB)®Ø(AÙØB)

h) [(A®B)Ù(A®ØB)]®ØA

i) [(A®B)Ù(A®C)]®[A®(BÙC)]

j) (A®B)®[(AÙC)®(BÙC)]

k) (A®B)®[(AÚC)®(BÚC)]

l) (ØA®A)®A

m) ØA®(A®B)

n) (AÙB)®(A®B)

 

7) Semplifica queste espressioni.

Ø(ØAÙB)Ú(AÚB).

(AÙØB)ÙØ(AÚB).

 

8) Usando N per ‘nevica’ e P per ‘piove’, scrivi in forma simbolica le seguenti frasi.

a) Piove o nevica.

b) Piove, ma non nevica.

c) Piove e nevica.

d) Non è vero che piove e nevica.

e) Se non piove, allora nevica.

f) Non è vero che, se piove, allora nevica.

g) Non è vero che, se nevica, allora piove.

h) Non piove né nevica.

i) Se piove e nevica, allora nevica.

j) Se non piove, allora non è vero che nevica e piove.

k) Piove e nevica; o nevica, ma non piove.

l) Se non piove e non nevica, allora non piove.

 

9) Scrivi in forma simbolica le seguenti argomentazioni, usando le lettere indicate.

a) Se l’aereo fosse precipitato, avremmo avuto qualche contatto radio. Non abbiamo avuto alcun contatto radio, quindi l’aereo non è precipitato (P, R).

b) Dato che oggi non è giovedì, dev’essere venerdì, perché oggi è giovedì o venerdì (G, V).

c) Siamo nel fine settimana sempre e soltanto se è sabato o domenica. Dunque siamo nel fine settimana, dato che è sabato (F, S, D).

d) Siamo nel fine settimana soltanto se è sabato o domenica, ma non è sabato né domenica; perciò non siamo nel fine settimana (F, S, D).

 

10) Trova la conclusione giusta per (cioè semplifica) le seguenti affermazioni.

a) È sbagliato negare che è falso che il quadro non sia stato dipinto da Raffaello.

b) Interrogato dal magistrato, Ermanno negò di non aver rifiutato di affermare il falso.

c) In base alle informazioni in suo possesso, l’investigatore non può non negare che è falso quanto affermato dal suo informatore, il quale dichiarò di non conoscere l’autore della rapina di ieri.

 

11) Spiega come puoi confutare queste affermazioni.

a) Piove.

b) Non piove.

c) Piove e fa freddo.

d) Piove o fa freddo.

e) Se piove, fa freddo.

f) Piove sempre e soltanto se fa freddo.

g) Tutte gli animali marini sono pesci.

h) Qualche leone è alto più di tre metri.

 

12) Esercizio guidato. Ordina i seguenti ragionamenti secondo le implicazioni contenute.

Nando dev’essere a casa; la porta è aperta, l’auto è nel vialetto e il televisore è acceso, dato che se ne scorge il bagliore dalla finestra.

Svolgimento: le affermazioni che formano le implicazioni sono le seguenti.

A: Nando dev’essere a casa.

B: la porta è aperta.

C: l’auto è nel vialetto.

D: il televisore è acceso.

E: se ne scorge il bagliore dalla finestra.

E implica D. D implica A. B implica A. C implica A. In simboli: [(E®D)Ù(DÚBÚC)]®A.

 

13) Ordina i seguenti ragionamenti secondo le implicazioni contenute.

a) Oggi è martedì o mercoledì; ma non può essere mercoledì, dato che l’ambulatorio medico questa mattina era aperto e quell’ufficio è sempre chiuso di mercoledì. Quindi oggi dev’essere martedì.

b) L’Italia è una nazione intensamente industrializzata e la FIAT è a Torino, perciò in Italia. Di conseguenza, la FIAT non è un’impresa del terzo mondo, perché il terzo mondo è composto esclusivamente da nazioni in via di sviluppo e le nazioni in via di sviluppo sono, per definizione, industrializzate poco intensamente.

 

14) Esercizio guidato. Scrivi in modo simbolico il seguente ragionamento e calcolane la tavola di verità: nessuna persona supera i 150 anni di vita, ma io, pur essendo una persona, arriverò oltre i 150 anni.

Svolgimento: primo, si trova un modo di rappresentare le frasi elementari.

p: essere una persona.

m: essere io.

v: superare i 150 anni.

Non sempre tale modo è unico. Ad esempio, la frase indicata con v avrebbe potuto essere: non superare i 150 anni (naturalmente, si sarebbe dovuto adeguare il seguito a questa posizione).

Secondo, si collegano le frasi mediante i connettivi più adeguati.

(p®Øv)Ù(m®p)Ù(m®v)

Anche qui, non sempre tale modo è unico. In questo caso, tuttavia, non sembra che ci siano alternative interessanti.

Terzo, si scrive la tavola di verità.

 

p

m

v

Øv

a: p®Øv

b: m®p

c: m®v

aÙbÙc

1

1

1

0

0

1

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0

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0

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0

0

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1

1

1

 

Quarto, si dà uno sguardo d’insieme a ciò che si è fatto, per capirne il senso: il ragionamento è contingente e fila soltanto se almeno due affermazioni sono false (tranne il caso in cui è vera m).

 

15) Scrivi in modo simbolico i seguenti ragionamenti e calcolane le tavole di verità.

a) Senza tesserino non si passa; ho dimenticato il mio tesserino, ma sono passato lo stesso, perciò la regola non vale.

b) Si entra in discoteca soltanto se si ha un tatuaggio o le treccine; io ho sia un tatuaggio sia le treccine, quindi non posso entrare.

c) L’assassino può essere soltanto il maggiordomo, il giardiniere o la cuoca; il giardiniere e la cuoca non sono, quindi è il maggiordomo.

d) Quando piove, i capelli mi si arricciano, ma oggi mi sono fatta la permanente, quindi non piove.

e) Soltanto ciò che si basa sull’esperienza sensoriale può essere conosciuto. Quindi nessuna verità matematica può essere conosciuta, dato che nessuna verità matematica si basa sull’esperienza sensoriale.

f) O starò a casa e ci sarà il sole o andrò a spasso e pioverà; non andrò a spasso, quindi ci sarà il sole.

g) Adelma è architetto o geometra; se Adelma fosse architetto, allora sarebbe laureata; Adelma non è laureata; quindi Adelma è geometra.

 

16) Gli insiemi A = {1; 2; 9}, B = {4; 5; 7}, C = {0; 3; 6} e D = {3; 8} possono formare una partizione? Se sì, di quale insieme? Se no, indica un cambiamento in qualche insieme che porti ad una partizione.

 

17) Indicando con A-B l’insieme AÙØB, usa le tavole di verità per mostrare che è A-(BÙC) = (A-B)Ú(A-C).

 

18) Mostra che vale il risultato dell’esercizio precedente senza usare le tavole di verità. [Usando le leggi di De Morgan, ...]

 

19) Usando le tavole di verità, mostra l’autodistributività dell’implicazione: (A®B)®(A®C) = A®(B®C).

 

20) Usa il risultato precedente per mostrare la validità del modus ponens condizionale: {[A®(B®C)] Ù (A®B)}®(A®C).

 

21) Alice, Bruno e Carla sono sospettati di terrorismo. Le testimonianze sono:

Bruno è un terrorista, Carla no;

Se Alice è una terrorista, allora lo è anche Carla;

Carla non è una terrorista, ma almeno uno degli altri due sì.

È possibile che tutte le testimonianze siano vere? Se sì, chi è terrorista e chi no? Se no, perché?

[Sì; Bruno]

 

22) L’Eroe è davanti a quattro porte. Una si apre sulla sala del tesoro, le altre innescano un trabocchetto mortale. Ecco ciò che sta scritto sulle porte.

Porta d’avorio: APRI LA PORTA DI PIETRA O QUELLA DI LEGNO

Porta di pietra: NON APRIRE LA PORTA DI LEGNO

Porta di legno: APRI LA PORTA DI FERRO SOLTANTO SE APRENDO ME MORIRAI

Porta di ferro: NON APRIRE LA PORTA D’AVORIO

Un’iscrizione sul pavimento riporta questo avvertimento: ALMENO DUE PORTE SONO BUGIARDE.

Qual è la porta che aprirà l’astuto Eroe? E perché?

 

23) Dovete decidere che facoltà universitaria seguire e chiedete a quattro vostri conoscenti, laureati in varie materie. Uno di loro sta facendo carriera, mentre gli altri tre campano alla meno peggio. Ecco le loro dichiarazioni.

Ingegnere: non fare l’avvocato.

Commercialista: diventa ingegnere o avvocato.

Medico: non fare il commercialista.

Avvocato: fai il medico soltanto se è meglio non fare l’avvocato.

Un vostro amico vi avverte che almeno due di loro sono dei bugiardi irrecuperabili.

Sulla base delle informazioni raccolte, qual è l’unica facoltà universitaria promettente? E perché?

 

24) In un delitto, i sospetti sono un macellaio, un farmacista e un postino. L’assassino è unico, ma ha un complice. Dalle indagini si hanno questi risutati.

Se il macellaio è il complice, allora l’assassino è il farmacista.

Se il complice è il farmacista, allora l’assassino è il postino.

Se l’assassino è il farmacista, allora il complice è il postino.

Se il complice è il postino, allora l’assassino è il macellaio.

Se l’assassino è il macellaio, allora il complice è il farmacista.

Chi è l’assassino è chi il suo complice?

 

25) Un manuale d’istruzioni riporta i seguenti consigli.

Se colleghi il filo F o il filo A con il filo E, allora devi collegare il filo B con il filo C.

Se colleghi il filo C con il filo F, allora devi collegare il filo E con il filo D.

Se colleghi il filo F con il filo D, allora devi collegare il filo E con il filo C.

Se colleghi il filo C con il filo B, allora devi collegare il filo D con il filo F.

Se colleghi il filo F con il filo A, allora devi collegare il filo B con il filo C.

Se colleghi il filo C con il filo E, allora devi collegare il filo F con il filo A.

Se colleghi il filo F con il filo B, allora devi collegare il filo E con il filo A.

Quali sono le tre coppie di fili giuste?

 

26) Un capufficio deve assegnare alcuni incarichi ai suoi sottoposti. Valutando le loro capacità e le relazioni fra di loro, raggiunge queste conclusioni.

Se Bellotti inserisce i dati al terminale, allora Dolci e Tarenghi rispondono al telefono.

Se Dolci inserisce i dati, allora Amaldi e Tarenghi rispondono al telefono.

Se Amaldi sta in archivio, allora Tarenghi e Bellotti rispondono al telefono.

Se Amaldi risponde al telefono, allora lo fa anche Bellotti e Dolci va in archivio.

Se Tarenghi non inserisce i dati, allora lo fa Bellotti o Dolci.

Se Bellotti va in archivio, allora Tarenghi e Dolci rispondono al telefono.

Quale impiegato va in archivio, quale inserisce i dati e quali rispondono al telefono?

 

27) Un’industria dolciaria deve stabilire come specializzare i suoi stabilimenti. Stabilito che ogni stabilimento deve produrre un solo genere dolciario, gli esperti raggiungono questi risultati organizzativi.

Se lo stabilimento di Belluno produce merendine, allora a Domodossola si fanno torte.

Se a Belluno si fanno pandori, allora a Empoli si producono merendine.

Se a Cremona si fanno gelati, ad Ancona si producono torte.

Se a Belluno o ad Ancona si producono caramelle, allora a Domodossola si fanno merendine.

Se a Empoli si producono pandori, allora ad Ancona si fanno caramelle.

Se a Empoli si fanno merendine, allora a Domodossola si producono gelati.

Se a Domodossola non si producono caramelle, allora si producono merendine.

Se a Domodossola non si producono torte, allora a Belluno non si fanno gelati.

Come vengono assegnate le produzioni?

 

Il ciclo dei giornalisti

I seguenti esercizi si basano tutti sullo schema che segue: nella repubblica di Bizzeffe, i giornalisti hanno tre possibili convinzioni politiche, potendo essere idealisti, realisti o arrivisti. I giornalisti poi si distinguono in due categorie, quelli seri e quelli loschi. L’aspetto interessante è il loro atteggiamento verso la verità: gli idealisti seri non dicono mai il vero, mentre quelli loschi lo dicono sempre. I realisti seri dicono sempre il vero, mentre quelli loschi non lo dicono mai. Gli arrivisti non dicono mai il vero. In tabella:

 

 

Idealisti

Realisti

Arrivisti

Seri

Falso

Vero

Falso

Loschi

Vero

Falso

Falso

 

Naturalmente, i lettori non sanno a che categoria appartengono i giornalisti e devono dedurlo da ciò che dichiarano.

 

28) Un giornalista scrive: io sono arrivista o realista.

A quale categoria appartiene?

 

29) Durante una polemica fra tre giornalisti, vengono fatte queste dichiarazioni:

Alice: Carla è un’arrivista e io non sono un idealista losco.

Bruno: Alice è un’arrivista e Alice e Carla sono serie.

Carla: Bruno è un arrivista losco.

A quale categoria appartiene ciascun giornalista? E quale convinzione ha?

 

30) In un dibattito, tre giornalisti dichiarano:

Anna: Berto è un arrivista, mentre io sono seria.

Berto: Caterina è un’arrivista, mentre io sono serio.

Caterina: io sono seria.

Si sa che due di loro sono arrivisti.

A quale categoria appartiene ciascun giornalista? E quale convinzione ha?

 

31) Tre giornalisti, dei quali uno solo è arrivista, affermano:

Ada: Cornelia è una realista seria.

Bertoldo: Ada è un’arrivista losca, mentre io sono serio.

Cornelia: Ada non è una realista e Bertoldo è un arrivista.

A quale categoria appartiene ciascun giornalista? E quale convinzione ha?

 

32) Quattro giornalisti dichiarano:

Agata: io sono un realista losco o un idealista serio, mentre Bartolomeo è un idealista.

Bartolomeo: Io e Agata siamo seri, io per di più sono un realista, mentre Cecilia è un’idealista losca.

Cecilia: io non sono una realista, pur essendo seria, e Bartolomeo è losco.

Davide: Io è Cecilia siamo loschi; io per giunta sono un idealista; Agata e Bartolomeo sono arrivisti.

Almeno un giornalista è arrivista.

A quale categoria appartiene ciascun giornalista? E quale convinzione ha?

 

33) Tre giornalisti, almeno uno dei quali è un arrivista, dichiarano:

Adele: io sono idealista o realista; inoltre, io è Chiara abbiamo la stessa convinzione.

Biagio: Adele non è un’idealista e Chiara è un’arrivista.

Chiara: Adele mente e Biagio non è serio.

A quale categoria appartiene ciascun giornalista? E quale convinzione ha?

 

34) Ecco le dichiarazioni di altri tre giornalisti:

Aurelia: io sono una realista; tutti e tre siamo seri; Clelia è un’idealista.

Bernardo: io non sono serio e Clelia è una realista.

Clelia: io e Aurelia non siamo della stessa categoria, Aurelia è un’idealista e Bernardo è serio.

A quale categoria appartiene ciascun giornalista? E quale convinzione ha?

 

35) Altre tre dichiarazioni:

Assunta: Beniamino dichiarerà che Corinna è losca; io, dal canto mio, sono un realista e Beniamino è serio.

Beniamino: Corinna è un’idealista e dichiarerà che Assunta è seria.

Corinna: Assunta, che è una realista, dichiarerà che Beniamino è un idealista.

A quale categoria appartiene ciascun giornalista? E quale convinzione ha?

 

L’epopea di Breathonos

Il tesoro cercato da Breathonos è nascosto nel Castello Dalle Mille Porte. Sul portale sono scolpiti questi versi:

 

In ogni stanza, ci sono più porte,

ma una sola permette di inoltrarsi,

mentre le altre destinano alla morte.

Ogni porta guardata dà sentenza,

ch’è sempre falsa o sempre vera scienza.

 

Ecco le prove superate da Breathonos.

 

36) Nella prima sala, Breathonos si trova davanti a queste porte, almeno una delle quali non è sincera.

Porta di Sale: oltrepassami e troverai le fauci del serpente.

Porta di Zucchero: la porta di Sale è sincera.

Qual è la porta giusta?

 

37) Nella seconda sala, una delle tre porte è mendace.

Porta di Pietra: la porta di Sasso è sincera.

Porta di Sasso: evita la porta di Pietra.

Porta di Scoglio: aprimi e sarai salvo.

Qual è la porta giusta?

 

38) Nella terza sala, una delle tre porte è mendace.

Porta di Frassino: apri la porta di Quercia.

Porta di Quercia: apri la porta di Noce, a meno che tu non debba aprire la porta di Frassino.

Porta di Noce: aprimi e sarai salvo.

Qual è la porta giusta?

 

39) Nella quarta sala, almeno due porte sono mendaci.

Porta di Rubino: apri la porta di Diamante o quella di Zaffiro.

Porta di Diamante: non aprire la porta di Zaffiro.

Porta di Zaffiro: la porta di Smeraldo ti salva se non ti salvo io.

Porta di Smeraldo: la porta di Rubino conduce alla morte.

Qual è la porta giusta?

 

40) Nella quinta sala, almeno tre porte sono mendaci.

Porta del Pollice: non aprire la porta del Medio.

Porta dell’Indice: la porta del Mignolo è sincera.

Porta del Medio: la porta del Pollice è mendace.

Porta dell’Anulare: apri la porta del Medio.

Porta del Mignolo: la porta del Medio è mendace.

Qual è la porta giusta?

 

41) Nella sesta sala, tre porte sono mendaci.

Porta di Dotto: apri me o la porta di Brontolo.

Porta di Brontolo: la porta di Gongolo è mendace.

Porta di Eolo: apri la porta di Cucciolo.

Porta di Mammolo: apri me o la porta di Pisolo o quella di Gongolo.

Porta di Pisolo: se la porta di Dotto conduce alla morte, allora apri la porta di Eolo o quella di Cucciolo.

Porta di Gongolo: apri la porta di Eolo o quella di Brontolo.

Porta di Cucciolo: la porta di Eolo è mendace.

Qual è la porta giusta?

 

 

Fonte:

http://schedematematica.wikispaces.com/file/view/SCHEDE%20SULLA%20LOGICA.doc

http://schedematematica.wikispaces.com/file/view/ESERCIZI%20SULLA%20LOGICA.doc

Sito web da visitare :http://schedematematica.wikispaces.com/

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