Monomi

 

Monomio definizione

 

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Monomi

 

Che cos'e' un monomio

Supponiamo di avere 2 mele ; cosa significa? che abbiamo un numero (2) seguito dalla proprieta' di essere mele; ecco questo e' un monomio, cioe' intuitivamente  un monomio e' un numero seguito da una proprieta'
Ad esempio saranno monomi 2 case, 3 quaderni, ed anche un numero e' considerato monomio In greco MONOS significa uno solo cioe' noi consideriamo più cose come un tutto unico

-2a²b

e' un monomio ed il numero -2 ha la proprieta' di essere a²b cioe'
-2 moltiplicato a moltiplicato a moltiplicato b

infatti e' per nostra comodita' che noi scriviamo ad esempio

2a³

mentre dovremmo scrivere

2×a×a×a.

Da notare che il segno di prodotto tra il numero e le lettere e tra le lettere e' sottointeso; ogni volta che potrai toglierai il simbolo del prodotto fra i fattori del prodotto stesso

inoltre dovrai usare le seguenti convenzioni:
non scrivere il numero 1 davanti alle lettere cioe' invece di scrivere -1a²b scriverai -a²b
non scrivere il segno + davanti ad un monomio cioe' invece di scrivere +7ab² scriverai 7ab²
devi mettere le lettere in ordine alfabetico
Quindi invece di scrivere +1ba scriverai semplicemente ab

 

NOTA: le lettere piu' usate sono di solito le prime dell'alfabeto a, b, c,.. ma per far capire agli studenti che le lettere possono essere qualunque talvolta di usano x. y, z, t.(queste a dire il vero servono per abituarsi ai problemi dove al posto di una lettera devi trovare un numero) e talvolta addirittura m, n, p,...

 

Nel monomio si distinguono 3 parti:
-3a2b3
il segno -         il numero 3         le lettere a2b3
intuitivamente possiamo dire che:

  • sui segni devi usare le regole studiate nei numeri interi relativi
  • sui numeri devi usare le regole dei numeri razionali (frazioni)
  • sulle lettere devi usare le regole delle potenze


La definizione matematica di monomio e'
Un insieme di numeri e lettere in cui non compaiono operazioni di addizione e sottrazione ma solamente di moltiplicazione e divisione.  (Ricorda che l'elevamento a potenza e' una moltiplicazione ripetuta)

Esempi di monomi
-3a   e' un monomio
7ab   e' un monomio
¾a³bc²   e' un monomio
¼-a non e' un monomio

 

 

GRADO DI UN MONOMIO

 


Proviamo a scrivere 2case e poi scriviamo 2casse sono due cose diverse, perche?
evidentemente perche' i numeri due si riferiscono ad oggetti diversi, ma perche' sono diversi?
perche' nel primo oggetto c'e' una lettera s in meno e nel secondo c'e' una lettera s in piu'
quindi e' importante contare quante lettere fanno parte del monomio perche' quantita' diverse di lettere rappresentano cose diverse

cioe' ab² e' diverso da a²b

Il numero delle lettere che fanno parte del monomio si chiama grado del monomio: i due monomi sopra hanno lo stesso grado ma rappresentano cose diverse

Ad esempio
2abc ha grado3 mentre
2a³b²c ha grado 6 in totale perche'
a³=aaa e' formato da tre lettere
b²=bb e' formato da due lettere
mentre c e' una lettera sola
Quindi il monomio ha
grado 3 rispetto alla lettera a
grado 2 rispetto alla lettera b
grado 1 rispetto alla lettera c
in totale rispetto a tutte le lettere ha grado 6

Le salsicce vanno con le salsicce ed i fagioli vanno con i fagioli

SOMMA E DIFFERENZA FRA MONOMI

 

Per capire le regole che guidano la somma fra monomi devi pensare al seguente esempio:
2 mele + 3 banchi = (2 mele + 3 banchi)
2 mele + 3 mele = 5 mele
Infatti puoi sommare fra loro degli oggetti solamente se sono dello stesso tipo cioe' se dopo il numero hai le stesse lettere, altrimenti se proprio vuoi indicare che quegli oggetti li vuoi considerare insieme puoi mettere una parentesi
Fai attenzione che le lettere dopo i numeri oltre ad essere uguali devono anche avere gli stessi esponenti.
Cioe':
2 case + 5 casse = (2 case + 5 casse)
2 case + 5 case = 7 case
2 monomi che abbiano le stesse lettere con le stesse potenze si dicono SIMILI
Quindi se devi definire due monomi simili devi dire
Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale

 

Regola: Puoi sommare due monomi se sono simili e in tal caso farai la somma dei coefficienti numerici (i numeri davanti alle lettere) senza modificare la parte letterale

 

Esempi di somma
2a+3a=5a
3a+a=4a (ricorda che 1 davanti ad a e' sottointeso)
3a+2b=3a+2b oppure (3a+2b)
3a²b+2ab+5a²b=8a²b+2ab

 

DIFFERENZA FRA MONOMI

PER LA DIFFERENZA LE REGOLE SONO LE STESSE CHE PER LA SOMMA INFATTI BASTERA' SOTTRARRE INVECE DI SOMMARE QUINDI

5a³b²-2a³b²=3a³b²

mentre

5a³b²-2a²b²

resta cosi' perche' i monomi non hanno la stessa parte letterale (le lettere sono le stesse ma non sono uguali le potenze)

QUINDI D'ORA IN AVANTI QUANDO PARLEREMO DI SOMMA SI INTENDERA' LA SOMMA ALGEBRICA, CIOE' SIA LA SOMMA CHE LA DIFFERENZA

PRODOTTO FRA MONOMI

 

Per fare il prodotto fra monomi devi seguire queste semplici regole
Il segno va moltiplicato con il segno secondo le regole dei segni della moltiplicazione fra i numeri interi.
(se il segno non c'e' e' sottointeso +)
Il numero (coefficiente numerico) va moltiplicato con il numero secondo le regole del prodotto dei numeri razionali
(se il numero non c'e' e' sottointeso 1)
Le lettere vanno moltiplicate con le lettere secondo le regole delle potenze
(se la lettera non c'e' e' sottointeso a°b° ecc..)

 

quindi
(-3a²b)(+4ab²)=
- moltiplicato + e' uguale a -
3 moltiplicato 4 e' uguale a 12
a² moltiplicato a e' uguale ad a³
b moltiplicato b² e' uguale a b³
(-3a²b)(+4ab²)=-12a³b³

 

Se poi devi fare il prodotto fra piu' monomi prima moltiplica il primo per il secondo, poi quello che viene per il terzo e cosi' via.

 

DIVISIONE O QUOZIENTE FRA MONOMI

 

PER DIVISIONE SI INTENDE L'OPERAZIONE, PER QUOZIENTE IL RISULTATO

 

Per fare il quoziente fra monomi devi seguire queste semplici regole come per il prodotto;
infatti il quoziente e' ancora un prodotto ( anche se e' visto alla rovescia; come una discesa vista dall'altra parte e' una salita)
Il segno va diviso (moltiplicato) con il segno secondo le regole dei segni della moltiplicazione fra i numeri interi.Infatti
(se il segno non c'e' e' sottointeso +)
Il numero (coefficiente numerico) va diviso per il numero secondo le regole del quoziente dei numeri razionali
(se il numero non c'e' e' sottointeso 1)

Le lettere vanno divise con le lettere secondo le regole delle potenze
(se la lettera non c'e' e' sottointeso a°b° ecc..)

 

quindi
(-6a²b³c):(+2ab²)=
- diviso (moltiplicato) + e' uguale a -
6 diviso 2 e' uguale a 3
a² diviso a e' uguale ad a
b³ diviso b² e' uguale a b
c non viene diviso (oppure se vuoi c¹viene diviso per cº) quindi resta uguale
(-6a²b³c):(+2ab²)= -3abc

 

Se poi devi fare il quoziente fra piu' monomi prima dividi il primo per il secondo, poi quello che viene per il terzo e cosi' via.

ELEVAMENTO A POTENZA DI MONOMI

 

Se ricordi che l'elevamento a potenza e' semplicemente una moltiplicazione ripetuta tante volte quant'e' l'esponente puoi trovare da solo quali sono le regole per l'elevamento a potenza cioe' al solito devi moltiplicare tra loro i segni, i numeri, le lettere

 

Per il segno, se e' + non vi sono problemi: resta +
se e' - devi vedere se l'esponente e' pari o dispari
moltiplicando il - per un numero pari di volte (2,4,6,8,..) il risultato e' +

 

Una piccola nota, la forma italiana e' piuttosto inesatta; in matematica moltiplicare qualcosa 6 volte non significa fare 6 moltiplicazioni ma fare il prodotto fra 6 fattori e quindi le moltiplicazioni sono 5. Il pari si riferisce al numero di fattori non al numero di moltiplicazioni
ricorda che per moltiplicare ad esempio il segno - per 4 volte: (-per-per-per-) devi moltiplicare il primo - per il secondo - , quello che viene va moltiplicato per il terzo - e il risultato va moltiplicato per il quarto segno -

 

moltiplicando il segno - per un numero dispari di volte (3,5,7,9,..) il risultato e' -
Il numero (coefficiente numerico) va moltiplicato con se stesso tante volte quant'e' l'esponente secondo le regole del prodotto dei numeri razionali

 

Le lettere vanno moltiplicate con le lettere stesse tante volte quant'e' l'esponente ma e' meglio usare la regola di potenza di una potenza che troverai nelle regole delle potenze

MASSIMO COMUN DIVISORE FRA MONOMI


Intuitivamente, anche se non e' del tutto esatto per capire il concetto di M.C.D. fra monomi puoi pensare al seguente esempio:

Siete tre amici e volete organizzare una vacanza insieme; quanto mettete in comune?

Perche' nessuno ci rimetta ognuno dovra' versare nella cassa comune la stessa cifra e poiche' siete in tre se il primo dispone di 100 euro, il secondo di 200 euro ed il terzo di 300 euro metterete assieme 100 euro a testa.

Questo e' il concetto di M.C.D. quando i numeri (i simboli matematici) sono in forma di prodotto (come nei monomi) devi mettere in comune quello che c'e' di uguale

nota: attenzione nel Massimo Comun Divisore la parola che conta e' DIVISORE non MASSIMO cioe' il M.C.D. e' generalmente piu' piccolo dei monomi di partenza, quindi non farti portare fuori strada dalla parola MASSIMO

allora per fare il M.C.D. prima di tutto devi scomporre in fattori il numero davanti ai monomi poi sceglierai quello che hanno di uguale

m.c.m. FRA MONOMI

 

Il minimo comune multiplo e' il piu' piccolo fra i multipli comuni, cioe' devi trovare un monomio tanto grande che possa essere diviso fra tutti i monomi che consideri (e questo e' il multiplo) ma di monomi cosi' ce ne sono tanti e tu devi prendere il piu' piccolo (e questo e' il minimo), in pratica il minimo comune multiplo per essere divisibile deve contenere tutti i monomi di partenza quindi deve essere o piu' grosso od almeno uguale al monomio di partenza

Cioe' dovremo prendere tutti i fattori con l'esponente piu' alto facciamo un esenpio:

Trovare il m.c.m. fra

6a²b³c e 4ab²

Allora il multiplo tra 6 e 4 e' 12 poi

Tra a² ed a sceglieremo a²

Tra b³ e b² sceglieremo b³

Nel primo c'e' c e nel secondo non c'e' quindi prendiamo c

Qindi il minimo comune multiplo e' 12a²b³c

 

Fonte: http://www.5ctproma.it/Sirio/MATEMATICA/MATEMATICA_SIRIO.docx

Sito web da visitare: http://www.5ctproma.it/

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

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