Numeri naturali interi

 


 

Numeri naturali interi

 

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Numeri naturali interi

 

I numeri naturali

 

 

I numeri naturali sono i numeri

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . . . .

i puntini indicano che per ogni numero io posso trovare il numero successivo e questo si puo' indicare con il simbolo infinito (

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . . . . 

 

 

I greci ed i romani non potevano concepire che si potesse usare un simbolo per lo zero (il nulla) in quanto se una cosa non esiste come si puo' rappresentare?

e la successione divenne

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . . . .


Come insieme potro' anche indicarlo come:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . . . .


che si legge: N e' l'insieme dei numeri zero, uno, due, tre,     infinito

Ora su dovremo studiare come questi oggetti interagiscono fra di loro, cioe' dovremo studiare le possibili operazioni: somma, prodotto, differenza e quoziente.

Addizione fra numeri naturali


Disegno su una semiretta l'insieme dei numeri naturali:

 

Se voglio fare

3 + 2

disegno a partire da 0 un segmento lungo 3 ed un segmento lungo 2

 

 

Per sommare metto in fila i segmenti e vedo che ottengo un segmento che termina in 5

quindi

3 + 2 = 5

 

Fra tutti i numeri naturali ne esiste uno particolare: lo zero; Lo zero ha la proprieta' di non cambiare niente infatti preso un numero qualunque

0 + numero = numero + 0 = numero

Si esprime questo fatto dicendo che :

zero e' l'elemento neutro per l'addizione

 

Moltiplicazione fra numeri naturali


D'ora in avanti useremo indifferentemente i termini prodotto e moltiplicazione anche se il prodotto indica il risultato mentre la moltiplicazione indica l'operazione

Nei numeri naturali dovremmo indicare l'operazione di moltiplicazione mediante il simbolo x, ma io sono contrario all'uso di questo simbolo e preferisco usare il simbolo ·

Disegno su una semiretta l'insieme dei numeri naturali:

Se voglio fare

3 · 2

disegno a partire da 0 un segmento lungo 3

Per moltiplicare ripeto il segmento 3 per due volte ed ottengo che il risultato termina in 6

quindi

3 · 2 = 6

Fra tutti i numeri naturali ne esiste uno particolare: l'uno; L'uno ha la proprieta' di non cambiare niente infatti preso un numero qualunque

1 · numero = numero · 1 = numero

Si esprime questo fatto dicendo che :

uno e' l'elemento neutro per la moltiplicazione

questa proprieta' sara' sempre valida per tutti i numeri: naturali, interi, razionali, reali, complessi

Anche lo zero e' speciale per la moltiplicazione:
Lo zero ha la proprieta' di "assorbire" tutti i numeri con cui e' moltiplicato facendoli diventare zero

0 · numero = numero · 0 = 0

Si esprime questo fatto dicendo che :

zero e' l'elemento assorbente per la moltiplicazione

 

Sottrazione fra numeri naturali


Disegno su una semiretta l'insieme dei numeri naturali:

Se voglio fare

5 - 2

disegno a partire da 0 un segmento lungo 5 ed un segmento lungo 2

Per sottrarre dalla fine del segmento 5 tolgo il semento lungo 2 ed ottengo un segmento che termina in 3

quindi

5 - 2 = 3

Facendo la differenza fra numeri naturali mi muovo sempre verso sinistra e, a sinistra, i numeri finiscono nello zero; quindi se devo ad esempio eseguire

3 - 5 =

non lo posso fare
E' come quando alle elementari la maestra ti diceva che non si puo' togliere 5 dal 3 perche' il 5 e' piu' grosso del 3

quindi non si puo' fare sempre la sottrazione cioe' la sottrazione fra numeri naturali

Necessita' di ampliare l'insieme N

 

Quindi per poter fare sempre anche la sottrazione dovremo ampliare l'insieme dei numeri naturali aggiungendo anche dei numeri a sinistra dello zero

 

Generalita' sui numeri interi


Il sistema piu' semplice per avere dei numeri a sinistra dello zero consiste nel duplicare i numeri come se fossero visualizzati da uno specchio

e per distinguere i numeri a destra da quelli a sinistra dello zero metteremo davanti al numero + se siamo a destra e - se siamo a sinistra

Detto cosi' sembra una cosa semplice, ma storicamente arrivare a questa semplice definizione e' stata una cosa piuttosto sofferta

Siccome i numeri interi prendono il segno relativamente alla loro posizione rispetto allo zero verranno detti numeri interi relativi

Una rappresentazione mediante teoria degli insiemi potrebbe essere la seguente:

 

 

 

Insieme Z dei numeri interi


Prima cosa da osservare e' che l'insieme dei numeri interi


procede sia a destra che a sinistra quindi i numeri vanno da -
Per indicare i numeri stavolta useremo sempre un segmento con origine in zero e con una freccia che indichi la destra se il numero e' positivo e la sinistra se il numero e' negativo ( tipo vettore)

 

Somma fra numeri interi

Per capire come funziona prendiamo sempre gli stessi numeri e facciamo variare i segni: facciamo ad esempio:

(+3) + (+2) =
(+3) + (-2) =
(-3) + (+2) =
(-3) + (-2) =

dai ragionamenti precedenti vediamo che i risultati sono
(+3) + (+2) = +5
(+3) + (-2) = +1
(-3) + (+2) = -1
(-3) + (-2) = -5
Per scrivere la regola raggruppo i risultati notando che due valgono 5 e due valgono 1
(+3) + (+2) = +5
(-3) + (-2) = -5
I risultati valgono 5 se i due numeri hanno lo stesso segno
(+3) + (-2) = +1
(-3) + (+2) = -1
i risultati valgono 1 se i due numeri hanno segni contrari;
c'e' inoltre da dire che il segno che otteniamo corrisponde a quello del numero piu' grosso

Regola per sommare due numeri interi:
se hanno lo stesso segno faccio la somma e metto il segno che hanno
se hanno segno contrario faccio la differenza e metto il segno del maggiore

 

 

Esempi

 

(-8) + (-7) =
i due numeri hanno lo stesso segno quindi devo fare la somma 8+7=15, il loro segno e' meno quindi
(-8) + (-7) = -15

(+7) + (-11) =
i due numeri non hanno lo stesso segno quindi devo fare la differenza 11-7=4, il segno del piu' grosso e' meno, quindi
(+7) + (-11) = -4

(-8) + (-7) + (+11) + (-3) + (+2) =
qui conviene raggruppare i numeri positivi e sommarli, poi considerare i numeri negativi e sommarli
(-18) + (+13) =
i due numeri hanno segno contrario, quindi devo fare la differenza 18-13=5,
il segno del piu' grosso e' meno, quindi
(-18) + (+13) = -5

 

 

Prodotto fra numeri interi

Per capire come funziona prendiamo sempre gli stessi numeri e facciamo variare i segni: facciamo ad esempio:

 (+3) · (+2) = + 6

E' il caso che deve corrispondere al prodotto fra naturali
considero il primo numero su Z


Per moltiplicare per +2 ripeto due volte il numero dalla stessa parte dove si trova

 

 

 

 


(+3) · (-2) = -6

considero il primo numero su Z


Per moltiplicare per il meno segno riporto il numero dalla parte opposta da dove si trova


(lo rovescio come se fosse un tergicristallo)
e poi lo ripeto due volte

 

 



(-3) · (+2) = -6

considero il primo numero su Z


Per moltiplicare per +2 ripeto due volte il numero dalla stessa parte dove si trova

 

 

(-3) · (-2) = +6

considero il primo numero su Z


Per moltiplicare per il meno segno riporto il numero dalla parte opposta da dove si trova


(lo rovescio come se fosse un tergicristallo)
e poi lo ripeto due volte

 

 

Per scrivere la regola raggruppo i risultati notando che due sono positivi e due negativi

  • (+3) · (+2) = +6
    (-3) · (-2) = -+6
    I risultati sono positivi se i due numeri hanno lo stesso segno
  • (+3) · (-2) = -6
    (-3) · (+2) = -6
    i risultati sono negativi se i due numeri hanno segni contrari;

Regola per moltiplicare due numeri interi:
Moltiplico i valori; se i numeri hanno lo stesso segno metto il segno piu', se hanno segno contrario metto il meno.

Differenza fra numeri interi

 

Pertanto se devo calcolare
(+3) - (+2) =
Posso trasformare in
+3 -2 = +1

 I segni sono diversi: faccio la differenza e metto il segno del piu' grande.

 

Esercizi


calcolare:

(+3) + (+2) - (+4) + (-5) - (-6) =
faccio cadere le parentesi con la regola dei segni
+3 + 2 - 4 - 5 + 6 =
sommo tra loro i positivi ed i negativi
+11 - 9 = +2
ricorda che puoi (anzi dovresti) tralasciare i segni + prima dei numeri se sono iniziali cioe' ad esempio nell'ultimo passaggio e' meglio scrivere
11 - 9 = 2

(+13) - (+12) - (-14) - (-15) + (-16) - (-10) =
faccio cadere le parentesi
13 -12 + 14 + 15 - 16 + 10 =
sommo tra loro i positivi ed i negativi
52 - 28 = 24

 

 

Divisione fra numeri interi

 

Al solito usero' indifferentemente la parola quoziente e la parola divisione anche se la prima indica il risultato e la seconda indica l'operazione

Per eseguire la divisione dovremo fare l'operazione contraria della moltiplicazione, cioe' se nella moltiplicazione ripetevamo il segmento nella divisione dovremo spezzettare il segmento in parti uguali; se ad esempio devo fare
(+6) : (+3) =
significa che devo prendere il segmento lungo +6

e, dalla stessa parte dove si trova devo spezzarlo in tre parti uguali e considerare la prima

quindi:
(+6) : (+3) = +2
Per i segni varranno le stesse regole del prodotto

Sorge pero' un problema: finora i numeri sono come dei paracarri su una stada, cioe' sono a distanza regolare fra loro ma in mezzo fra un numero e l'altro non c'e' niente, quindi la divisione va bene quando cadiamo esattamente su un numero; pero' e' possibile che il risultato della divisione non corrisponda ad un numero ma cada dove numeri non esistono.
Diremo che la divisione non e' un'operazione interna e l'insieme Z non e' chiuso rispetto alla divisione (cioe'non posso sempre fare la divisione in Z)
esempio
(+6) : (+4) =

quindi:
(+6) : (+4) = +?
Ora, per eseguire sempre la divisione abbiamo due strade:

  • la prima e' quella di adattare la divisione introducendo il resto (come si faceva alle elementari)
  • la seconda e' di ampliare l'insieme dei numeri riempiendo lo spazio fra un numero e l'altro in modo da poter sempre fare la divisione

La seconda strada ci porta all'insieme dei numeri razionali Q

 

 

 

 

Fonte: http://www.5ctproma.it/Sirio/MATEMATICA/MATEMATICA_SIRIO.docx

Sito web da visitare: http://www.5ctproma.it/

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

Parola chiave google : Numeri naturali interi tipo file : doc

 

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