Polinomi

 


 

Polinomi

 

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Polinomi

 

Polinomi

 

Iniziamo dando la definizione: si chiama polinomio la somma algebrica di più monomi interi.

Un polinomio ridotto in forma normale si dice:

  • Nullo se tutti i suoi termini sono nulli, ad esempio 0x2+0ab+0
  • Binomio se ha due termini non nulli, ad esempio 3a+x2
  • Trinomio se ha tre termini non nulli, ad esempio 2x-3y+1
  • Quadrinomio se ne ha quattro non nulli, ad esempio x2-4xy+y2-5x3

 

Il grado complessivo di un polinomio è il massimo fra i gradi dei monomi che lo compongono.

 

Un polinomio può anche essere:

Omogeneo: se tutti i suoi termini sono dello stesso grado.

Es.: 1ab2+4xyz+w2b

Ordinato: se leggendolo da sinistra verso destra, gli esponenti di quella lettera vanno decrescendo (o crescendo).

Es.: 5x5+1x4y+4x3y2+6x2y3+7xy4+2y5

Completo: se una lettera vi compare con tutte le potenze, da quella più grande a quella di grado zero.

Es.: vedi l’esempio precedente.

 

Il termine noto di un polinomio (se esiste) è quello che ha grado zero rispetto a tutte le lettere. Es: 3xy-5wz+8xz+7       >>>>>>>>>>>>   7 è il termine noto      

 

Le operazioni con i polinomi

 

Addizione e Sottrazione

L’addizione fra polinomi è molto semplice e la spiegheremo con qualche esempio.

(2ab+5b)+(6ab+9b) >>> togliamo le parentesi >>> 2ab+5b+6ab+9b

Dobbiamo sommare i monomi con la stessa parte letterale quindi:

2ab+6ab=8ab e 5b+9b=14b 

Quindi il risultato sarà 8ab+14b. La sottrazione ha un funzionamento analogo.

N.B.: se davanti alla parentesi ci fosse stato un meno, tutti i termini all’interno della parentesi avrebbero cambiato segno cioè:

(2ab+5b)-(6ab+9b) = 2ab+5b-6ab-9b = -4ab-4b

Moltiplicazione

Nella moltiplicazione si applica la proprietà distributiva cioè:

3xy*(2xy+x2) = 6x2y2+3x2y

Quindi per calcolare il prodotto di un monomio per un polinomio si moltiplica tale monomio per ciascun termine del polinomio e si sommano algebricamente i prodotti ottenuti.

Molto importante ricordare:

+ * - = -     + * + = +     - * - = +

Facciamo un ultimo esempio:

(2xy+7ab)*(4y-2yb) = 8xy2-4xy2b+28aby-14ab2y

 

Divisione

La divisione è l’operazione più complessa nel campo dei polinomi.

Se vogliamo calcolare

(8x2+3x2+2+7x):(2+3x)

seguiremo i seguenti “steps”:

1° step: Ordiniamo i polinomi secondo le potenze decrescenti di x e costruiamo lo schema della divisione.

3x3+8x2+7x+2   3x+2

                       

2° step: Dividiamo il primo termine del polinomio dividendo per il primo termine del polinomio divisore: 3x3:3x = x2

3x3+8x2+7x+2  3x+2  

 

                          x2

 

3° step: Moltiplichiamo il primo quoziente x2 per il polinomio divisore e sottraiamolo dal polinomio dividendo.

3x3+8x2+7x+2  3x+2

-3x3-2x2            x2

-  +6x2+7x+2                         

 

4° step: Continuare la divisione finché il resto non sarà zero.

 

 

 

 

 

Il triangolo di Tartaglia

 

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

 

Questa è una parte del triangolo di Tartaglia. Come si può vedere un numero è sempre la somma dei sue sopra. Per esempio 6 è formato da 3+3, 10 da 6+4, 20 da 10+10. Questo calcolo ci permette di trovare i coefficienti per scomporre un elevamento a potenza di polinomi. Per esempio, per scomporre (a+b)3 bisogna andare alla terza riga del triangolo e vedere i coefficienti ricordandosi che le parti letterali devono essere ordinate e il risultato deve essere omogeneo.

Quindi: (a+b)3 = 1a3+3a2b+3ab2+1b3

Facciamo ancora un esempio:

(a+b)2 1a2+2ab+1b2

 

Scomposizione di un polinomio

 

Definizione: scomporre vuol dire scrivere un polinomio nel prodotto di altri polinomi di grado più piccolo.

Ecco i modi per scomporre un polinomio:

 

  • 2 termini    differenze di quadrati                             a2 - b2 = (a+b) * (a-b)

                       somma o differenza di cubi                  a3+ b3 = (a+b) * (a2-ab+b2)

                                                                                   a3- b3 = (a- b) * (a2+ab+b2)

  • 3 termini    quadrato di un binomio                       a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

                       trinomio particolare                              a2 +2a –3 = (a-1) * (a + 3)

                       somma per differenza                     [(a + b)2 +c2] = (a+b+c) * (a+b-c)

  • 4 termini    cubo di un binomio                               a3 +3a2b +3ab2 +b3 = (a + b)3

                       raccoglimento a fattore comune parziale

                       combinazione dei metodi precedenti

  • 5 termini    combinazione dei metodi precedenti
  • 6 termini    quadrato trinomio                   a2+b2 +c2+2ab+2bc+2ac = (a+b+c)2

                       raccoglimento a fattore comune parziale

                       combinazione dei metodi precedenti

Dopo aver scomposto il polinomio occorre controllare che la scomposizione sia realmente conclusa.

 

 

La regola di Ruffini

 

La regola di Ruffini è un’altra regola per scomporre un polinomio di qualsiasi tipo.

Prendiamo un polinomio da scomporre.

2x3-7x2+2x+3

Per iniziare a scomporre questo polinomio bisogna trovare i numeri interi che, sostituiti a x lo annullano. Nel nostro caso il numero è +1 quindi il polinomio è divisibile per x-1 (N.B.: bisogna sempre cambiarlo di segno).

P(+1)=2-7+2+3=0

 

         |2 –7 +2| +3

    +1 |     2  -5| -3

_______________

|2x2-5x-3| 0

 

Di rosso troviamo scritti i coefficienti del polinomio iniziale e più in basso i coefficienti del risultato. In verde troviamo scritti i termini noti. +1 invece è il numero che dobbiamo dividere. Iniziamo abbassando il 2 sotto la linea e lo moltiplichiamo per 1. Il risultato (2) lo mettiamo sotto il –7. Poi sottrarremo 2 a –7 e il risultato lo metteremo sotto la linea. Ripetiamo l’operazione fino al resto, che è evidenziato in azzurro e in questo caso è 0. Scriviamo la parti letterali (con il coefficiente ottenuto) in modo che il polinomio risultante sia ordinato, cioè:

2x3-7x2+2x+3 = (x-1)(2x2-5x-3)

 

                                                                 

 

 

 

Fonte: http://spazioinwind.libero.it/1E/Polinomi.doc

Autore del testo:    A. Barsotti

Parola chiave google : Polinomi tipo file : doc

 

Breve ripasso sull'algebra dei polinomi

 

definizione1. Si chiama monomio una quantità che si ottiene da numeri e lettere su cui si eseguono operazioni di prodotto, elevamento a potenza, quoziente.

            esempio: 3x3y2ab-2,  2.7.39x9a2y3,….

Il prodotto dei numeri presenti nel monomio si chiama coefficiente, il prodotto delle lettere si chiama parte letterale.

definizione2.Si chiama polinomio una somma di monomi interi (ossia in cui non compaiono potenze negative delle lettere)

            esempio: 3x3y2ab2+xyzt3a4

definizione3.Si dice grado di un monomio intero la somma delle potenze delle lettere che vi compaiono e grado di un polinomio il più grande dei gradi dei monomi che lo compongono.

            esempio: nel polinomio 3x3y2ab2+xyzt3a4, il primo monomio è di grado 8 (=3+2+1+2), il             secondo è di grado 10 (=1+1+1+3+4) e il polinomio è di grado 10

definizione4. La somma di due monomi simili (ossia che hanno esattamente la stessa parte letterale) è un monomio che ha la stessa parte letterale degli addendi e ha per coefficiente la somma dei coefficienti

            esempio: 3x3y2ab2-6.2x3y2ab2=-9x3y2ab2

La somma di due polinomi è il polinomio costituito dalla somma di tutti i monomi contenuti nei polinomi addendi:

esempio: (3x3y2ab2+xyzt3a4)+(xyza3-6 x3y2ab2)= 3x3y2ab2+xyzt3a4+xyza3-6 x3y2ab2=

            =-3x3y2ab2+xyzt3a4+xyza3

Il prodotto di due monomi è un monomio il cui coefficiente è il prodotto dei coefficienti dei monomi fattori e la cui parte letterale è il prodotto delle parti letterali dei monomi fattori (eseguito nel rispetto delle proprietà delle potenze).

            esempi:  (3x2y-1a3)(2xy3tz)=6x3y2a3tz

                        (3x2y-1a3)(x-2ya-3/2)=3/2

Il prodotto di un polinomio per un monomio si ottiene sommando i prodotti del monomio per tutti i monomi che compongono il polinomio.

            esempio: (2ab2x3)(axy-2xy2+yx-1)=2a2b2x4y-4 ab2x4y2+2 ab2x2y

Il prodotto di due polinomi si esegue moltiplicando ogni monomio del primo polinomio per il secondo polinomio e sommando i risultati, o, indifferentemente, moltiplicando il primo polinomio per tutti i monomi del secondo e sommando i risultati

            esempio: (a2+x)(a+x2)=a3+a2x2+ax+x3 =  (monomi del primo per il secondo)

                        = a3+ ax+ a2x2+ x3   (monomi del secondo per il primo)

La divisione di un polinomio per un monomio si effettua dividendo per il monomio tutti i monomi che compongono il polinomio e sommando i risultati.

ATTENZIONE! Non è detto che il risultato della divisione sia un polinomio!

            esempi: (3xy2+4x3y):(xy)=3y+4x2

                        (3xy2+4x3y):(x2y)=3x -1y+4x

La divisione di un polinomio per un altro polinomio si basa sullo stesso principio della divisione fra numeri interi, pur di sostituire alle colonne delle unità, decine, centinaia…quelle delle diverse potenze che compaiono nel polinomio.

 

Fonte: http://www.esamildb.altervista.org/materiale/polinomi.DOC

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

 

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