Matematica teoria

 


Matematica teoria

 

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Matematica teoria

 

- Matematica teoria -

 

Goniometria

Gli angoli si possono misurare in gradi e radianti. Il grado è la 360esima parte dell’angolo giro; il grado ha dei sottomultipli che sono il primo e il secondo:

  • un primo è una sessantesima parte del grado;
  • un secondo è una sessantesima parte del primo e 1/3600 di un grado.

Un radiante è l’ampiezza dell’angolo al centro che insiste su un arco lungo quanto il raggio (all’incirca 57°).

Seno e Coseno

Si definisce coseno di x l’ascissa del punto in cui il lato finale dell’angolo incontra la circonferenza goniomentrica. Si definisce seno di x l’ordinata del punto in cui il lato finale dell’angolo incontra la circonferenza goniometrica.

                                                                                                                     2                        2

Identità fondamentale:         cos  x + sen  x = 1

Funzione

Una funzione da A in B è una relazione che ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B (corrispondenza univoca).

Intorni e punti d’accumulazione

Si dice intorno completo di Xo un qualsiasi intervallo aperto che lo contiene. Un intorno completo di Xo si dice circolare se Xo è il punto medio dell’intorno.

Sia A un sottoinsieme dei numeri reali e Xo sia un punto appartenete o non appartenente ad A. Si dice che Xo è un punto di accumulazione di A se in ogni intorno di Xo cadono infiniti punti di A. Un punto di A che non sia d’accumulazione si dice isolato; se non appartiene ad A si dice esterno.

Punto isolato

Un punto Xo appartenete ad A si dice isolato, se esiste almeno un intorno di Xo che non contiene punti di A diversi da Xo.

Limite ( la prima definizione complessa delle superiori non si scorda mai =D)

Sia data una funzione y = f(x) di dominio D e sia Xo un punto d’accumulazione del dominio (Xo non deve essere un punto isolato perché in quel caso non avrebbe senso chiedersi cosa succede quando x si avvicina a Xo). Si dice che f(x) ha per limite l (elle) e per x che tende a Xo, se per ogni E (epsilon) maggiore di 0 e comunque piccolo, è possibile determinare un intorno completo di Xo tale che qualunque sia x appartente all’interno del dominio (escluso al più Xo, poiché il comportamento non ci interessa in Xo, ma in sua vicinanza) risulti:    l-E < f(x) < l+E

Proprietà dei limiti

  • Teorema dell’unicità del limite: il limite se esiste è unico.
  • Teorema del limite di una somma: il limite della somma è uguale alla somma dei limiti.
  • Teorema del limite di un prodotto: il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti.
  • Teorema del limite di un quoziente: il limite di un quoziente è uguale al quoziente dei limiti.
  • Il limite di una costante è uguale alla costante stessa.
  • Teorema del limite di una differenza: è uguale alla differenza dei limiti.

Forme indeterminate

Sono: OO /OO  ; o/o (si deve scomporre il numeratore e il denominatore); + OO   e  -- OO  (si prende il termine di grado più alto).

Il numero e

E’ un numero irrazionale compreso tra 2,7 e 2,8. Si trova facendo il limite di x che tende a infinito, aperta tonda 1+1 fratto x, tutto elevato a x.  

                                                                                  X      

Lim  (1 + 1/x) = e

X à OO

 

Definizione derivata

Si dice derivata di unafunzione in un punto Xo, il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale per h che tende a 0.

                                                Lim  f(Xo+h)-f(xo)

                                                                                                                                                                                                                               ________________________________________________________________________________________

                                                h à 0            h

 

Il significato geometrico di una derivata della funzione è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in Xo.

Funzione reale di una variabile reale: si dice funzione reale di una variabile reale una relazione tra D sottoinsieme di R e R che associa ad ogni elemento di D uno ed un solo numero reale.

Funzione reale di due variabili reali: si dice funzione reale di due variabili reali , una relazione che associa ad ogni coppia ordinata di numeri reali appartenenti al dominio uno e un solo numero reale z.

Dominio: è l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali che hanno per corrispondente uno e un solo numero reale z; il dominio è sottoinsieme di R elevato al quadrato.

Codominio: è l’insieme delle corrispondenti immagini (z); è sottoinsieme di R.

Il grafico è sottinsieme di R cubo.

Linee di livello: si ricorre alle linee di livello per rappresentare graficamente una superficie. Una linea di livello è la proiezione ortogonale sul piano xy dell’insieme dei punti della superficie che hanno la stessa quota. Servono anche per trovare eventuali massimi e minimi relativi. Se le linee di livello si restringono e tendono a un punto per valori di K crescenti, c’è un massimo relativo (se decrescenti c’è un minimo).

Teorema di inversione dell’ordine di derivazione (teorema di Swarz): se le derivate miste della funzione z=f(x,y) esistono e sono continue in un punto (Xo,Yo), allora in tale punto sono uguali.

Piano tangente in un punto

Tra tutti i piani che passano per quel punto è quello che meglio approssima la superficie in vicinanza del punto P(Xo,Yo).                        Z=f(Xo,Yo)+f ‘x(Xo,Yo)(X-Xo)+f ’y(Xo,Yo)(Y-Yo)

Massimo relativo: si dice che il punto Po(Xo,Yo) è un massimo relativo per la funzione Z=f(x,y) se esiste un intorno di Po contenuto nel dominio, tale che qualunque sia P appartenete all’intorno risulti f(x,y)<=f(Xo,Yo). La definizione di minimo è uguale, soltanto che cambial il segno. Se la relazione valesse per tutto il dominio, si avrebbe un massimo assoluto.

Punti stazionari: si dice che Po (Xo,Yo) è un punto stazionario o critico per la funzione se in esso si annullano entrambe le derivate parziali prime. In quel punto il piano tangente è Z=K. In un punto stazionario ci può essere un massimo, un minimo o un punto di sella(es: z = xy). Un punto di sella è un punto stazionario che non è nè un massimo nè un minimo, cioè è un punto che ha un minimo lungo una direzione e un massimo lungo un’altra direzione.

Massimi e minimi vincolati: max e min che si vanno a cercare in un sottoinsieme del dominio. Gli esercizi possono essere risolti con la sostituzione o con le linee di livello.

Derivata parziale rispetto a x in un punto P(Xo,Yo): Si dice... il limite se esiste ed è finito del seguente rapporto incrementale del limite per h che tende a 0 di f(Xo+h,Yo)-f(Xo,Yo), tutto fratto h.

Significato geomettrico derivata parziale...: la derivata parziale rispetto a x in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva, ottenuta intersecando la superficie con il piano Y=Yo (parallelo al piano xz) nel punto P (Xo,Yo,Zo).   Per le funzioni in due variabili la derivabilità non implica la continuità.

 

Matematica finanziaria

 

Montante rendita posticipata o all’atto dell’ultimo versamento:

 

Montante rendita anticipata o dopo l’ultima rata: alla formula precedente si moltiplica ( 1 + i )

Valore attuale rendita posticipata o in coincidenza della prima rata:

 

 

Valore attuale rendita anticipata o in coincidenza della prima rata: formula precedente si moltiplica ( 1 + i ).

Valore attuale rendite perpetue (numero infinito di rate): V=R / i  Post       V=(R/ i)*(1+i )      Ant

Ricerca operativa

 

La ricerca operativa è nata durante la prima rivoluzione industriale con lo scopo di razionalizzare l’uso delle risorse. L’obiettivo della ricerca operativa è ottimizzare l’uso delle risorse esistenti e creare modelli affidabili per favorire i processi decisionali. Per analizzare un problema e prendere delle decisioni viene fatto un modello matematico, ossia uns rappresentazione formale della realtà; i passi per arrivare al modello matematico sono:

 

  • Formulazione ipotesi e obiettivi
  • Raccolta dati
  • Costruzione modello matematico
  • Determinazione delle soluzioni matematiche
  • Verificare che il modello sia adatto a quella realtà (perché alla base del modello c’è un ipotesi)
  • Applicazione modello

Nella ricerca operativa un modello matematico è formato da:

- funzione obiettivo: esprime l’obiettivo in maniera matematica (generalmente sotto forma di equazione);

- vincoli (ad esempio la massima capacità produttiva);

-indicazione del dominio delle variabili: le variabili possono assumere valori interi (discreto) o valori reali (continuo-numeri con la virgola).

Infine si ottimizza la funzione obiettivo, cercando quei valori che rendono massimo o minimo il valore della funzione obiettivo.

Differenze fra problemi di scelta a una e a due alternative

1– Nei problemi di scelta a un’alternativa il problema richiede solitamente di scrivere e rappresentare la funzione dell’utile, trovare la quantità massima dell’utile, trovare il punto di equilibrio (facendo il sistema fra la funzione dell’utile e l’asse delle x). Se c’è un vincolo, solitamente, è la massima capacità produttiva. L’ipotesi iniziale è che tutto ciò che produziamo viene venduto.

2– Nei problemi a 2 alternative ci può essere richiesto di rappresentare la funzione dell’utile o dei costi, trovare il punto di indifferenza (sistema 2 funzioni) e scrivere le conclusioni.

Insiemi aperti / chiusi – limitati / illimitati

Un insieme può essere limitato o illimitato. Un insieme è limitato quando esiste un intorno che lo contiene (rettangolare o circolare). Un insieme può essere aperto, chiuso o né aperto né chiuso. Un insieme aperto quando non contiene i punti della frontiera. ( > ; < ) Un insieme è chiuso quando contiene tutti i punti della frontiera.

Condizione necessaria per l’esistenza di massimi e minimi nelle funzioni in 2 variabili

La condizione necessaria è che entrambe le derivate parziali prime siano uguali a zero, ma non è sufficiente perché ci può essere un punto di sella. Quindi la condizione sufficiente è che l’hessiano calcolato in quel punto sia maggiore di 0.

Concetto di limite per le funzioni in due variabili

Po(Xo,Yo) è un punto di accumulazione, cioè non deve essere un punto isolato. Si dice che, la funzione         z = f(x,y) di dominio D sottoinsieme di R quadro, tende a l (elle) per P che tende comunque a Po e si scrive ………………. se per ogni ε (epsilon) maggiore di 0 e comunque piccolo, è possibile determinare un intorno circolare di Po tale che qualunque sia P appartente all’intorno (escluso al più Po) risulti: | f(x,y)- l |<ε

 

  Lim             f(x,y) = + OO  

 (x,y)à (Xo,Yo)

 

Questo limite è vero se per ogni E maggiore di 0 e comunque grande, è possibile determinare un intorno di (Xo,Yo) tale che per ogni punto P appartente all’intorno risulti:             f(x,y)>E

 

Problemi di scelta ad effetti differiti

Nei problemi di scelta ad effetti immediati si suppone che l’intervallo di tempo che intercorre fra il momento in cui si prende la decisione e quello in cui si realizzano le conseguenze è breve. Invece nei problemi di scelta ad effetti differiti occorre tener di conto dell’intervallo di tempo che decorre dal momento in cui si prende la decisione e in cui si realizzano le conseguenze.

Criterio dell’attualizzazione: consiste nel calcolare per ogni alternativa il risultato economico attualizzato (r.e.a)                            rea = V(R)-V(C) = differenza valore attuale dei ricavi e dei costi

Il tasso è una scelta soggettiva.

 

 

 

Fonte: http://www.riassuntibuse.altervista.org/Matematica%20teoria.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

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